Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)

(1)

Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)

Sia X variabile casuale con distribuzione triangolare

( )



 

 ⋅ ≤ ≤

=

altrove 0

5 0

25 per

2 x x

x f

_X

Sia Y variabile casuale funzione di X secondo la relazione

4 X X

2

Y = −

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4 5 6

g1(y) g2(y)

( )

Y y

g

X = ₁⁻¹ =2− 4−

[ ]

0,5

∈ X

(2)

( ) ^g ( ) ^y ^f ( ^g ( ) ^y )

dy y d

f

_y

=

₂⁻¹

⋅

_x ₂⁻¹

( ) (

^y

)

y y

f_y ⋅ + −

−

= − 2 4

25 2 4

2 1 0

5 per − ≤ y<

( )

y

y y f_y

−

⋅

−

= +

4 25

4 2

( ) = ∑

⁻

( ) ⋅ (

⁻

( ) )

i

i x i

y

g y f g y

dy y d

f

¹ ¹

( ) ( ) (

^y

)

y y y y

f_y ⋅ + −

− + −

−

− ⋅

= 2 4

25 2 4

2 4 1

25 2 2 4

2 1

( )

y y

f_y

= − 4 25

4 4

0 per ≤ y<

(3)

( )















<

− ≤

<

≤

− −

⋅

− +

=

altrove y y

y y y

y f_y

0

4 4 0

25 4

0 4 5

25 4 Dunque: 2

fy(y)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Media di Y=g(X)

Come abbiamo già visto si può calcolare E[y]

utilizzando la seguente relazione:

[ ] ^y ⁼ ^E [ ^g ^x ] ⁼ ∫

₋⁺_∞^∞

^g ^x ^⋅ ^f ^x ^dx

E ( ) ( )

_x

( )

dunque

[ ] _∫ ( ) _∫ ^



 



 −

=

⋅

−

=

⁵

0

3 5 2

0

2

25 2 25

8 25

4 x x 2 x dx x x dx

y E

6 5 4

5 5 3 4 25

2 4

25 2 3 25

8

3 ⁴

5

0 4 3

 =





 

 −

 =



 



 −

= x x

(4)

Varianza di Y=g(X)

Analogamente a quanto visto per la media anche per la varianza si può operrare in modo simile:

( )

[

²

] [ ⁽ ^[ ^] ⁾

²

]

2

E y

_y

E g ( x ) E g ( x )

y

= − µ = −

σ

oppure

[

²

] ^[ ^]

²

2

E g ( x ) E g ( x )

y

= −

σ

Oppure, analogamente a quanto detto prima, si potrebbe anche calcolare direttamente da fy(y)

Media e Varianza di Y=g(X)

Tuttavia esiste un modo (approssimato) di calcolare la media e varianza di Y più rapido.

Sia

(

_x

)

x

g x

g x g

y = ( ) ≅ ( µ ) + ′ ( µ ) ⋅ − µ

dunque

[ g ( x ) ] ^≅ E [ g (

_x

) ⁺ g ^′ (

_x

) ^⋅ ( x ⁻

_x

) ] ⁼

E µ µ µ

[ ^g ⁽

_x

⁾ ] ^E [ ^g ⁽

_x

⁾ ⁽ ^x

_x

⁾ ] ^g ⁽

_x

⁾

E µ + ′ µ ⋅ − µ = µ

=

(5)

Media e Varianza di Y=g(X)

Analogamente per la varianza:

( )

[ ⁺ ^′ ^⋅ ⁻ ] ⁻ ⁼

≅

² ²

2

(

_x

) (

_x

) (

_x

) (

_x

)

y

E g µ g µ x µ g µ

σ

[ ] [ ]

[ ^⋅ ^⋅ ^′ ^⋅ ⁻ ] ⁻ ⁼

+

−

′ ⋅ +

=

2 2 2

2

) ( )

( ) ( ) ( 2

) (

) ( )

(

x x

x

g x

g g

E

x g

E g

E

µ µ

µ

[ ⁻ ] ⁻ ⁼

′ ⋅ +

= g ( µ

_x

)

²

g ( µ

_x

)

²

E ( x µ

_x

)

²

g ( µ

_x

)

²

2

)

2

(

_x _x

g ′ µ ⋅ σ

=

Questa relazione prende il nome di “Legge di propagazione della varianza”

Legge di Propagazione della Varianza

Si può applicare quando:

• la variabile casuale X è ben concentrata attorno alla media;

• la relazione Y=g(X) è “morbida”, cioè può essere sostituita dalla sua tangente nella media.

2 2

2

(

_x

)

_x

y

g µ σ

σ ≅ ′ ⋅

Trasformazione di variabile casuale Y=g(X)