Y ! X f = = ( x g g ) ( = X ( Y ) dYdXf = ) = ln e X ( y ) = dg dxf ( x ) ( g ( x )) X = ln Y XY + !""!#

DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE.

La variabile X si dice log-normalmente distribuita se:

X

Y = ln è normalmente distribuita

Y = g(X) = ln X ! X = g

^!1

(Y ) = e

^Y

X ! 0 # ! " Y " +! _. Funzione di densità di probabilità:

f

_X

(x) = dY

dX f

_Y

(y) = dg(x)

dx f

_Y

(g(x))

x dx

x

dg ( ) 1

=

! !

"

#

$ $

%

&

' ' ( )

* * +

, -

-

=

ln

2

2 exp 1 2

) 1 (

y y y

X

x x x

f .

µ /

.

[ ] [ ^{ln ln} ] [ ^ln ] ^{(ln )}

)

( X P X x P X x P Y x F x

F

_X

= ! = ! = ! =

_Y

Espressioni teoriche dei momenti:

50 . 0 50

.

0

ln X

y

= Y =

µ

[ ]

[ ]

! !

!

"

! !

!

#

$

+

=

%

=

%

=

&

' ) (

*

+ +

& = ' ) (

*

= +

=

3 2 2

2 2

2

2 2

50 . 0

3

1 ) exp(

1 ) exp(

2 exp 1

2 exp 1

x x

x

y x

y x

x

y y

y x

Cv Cv

Ca Cv

X X

E

, , µ

,

, µ

, µ

Relazioni tra momenti e parametri:

Due parametri: µ

_Y

^e !

Y²

^.

Due momenti della popolazione: µ

_X

^e !

²X 2

2 ln

_X

1

_Y

Y

µ !

µ = " !!

"

#

$$ %

&

+

=

₂

2

ln 1

2

X X

Y

µ

' '

Espressioni semplificate:

) 1

ln(

²

2

x

Y

= + Cv

! ^!> "

Y

! Cv

x

per Cv

x

< 0 . 3

!>

²

2

ln

_X

1

_X

Y

" µ ! Cv µ

[ ]

x x

x x

X

E x

x

Cv Cv Cv

Ca ( ) 3

₃

3

3 3

! +

" =

= #

µ !> Ca

_X

! 3 Cv

_x

per Cv

_x

piccolo

Tracciamento della retta in base al passaggio per 2 punti (si ricordi che con asse delle ascisse cartesiano e relativo alla variabile Y nulla cambia rispetto alla carta probabilistica normale):

1. [ F

_X

= 0 . 5 , x

_0.5

] che, tenuto conto che F

_X

( x ( y

_0.5

)) = 0 . 5 = F

_Y

( y

_0.5

) ^{e che} y

_0.5

= µ

y

( per la normalità) _diventa [ F

_X

= 0 . 5 , e

^µy

]

2. [ F

_X

= 0 . 841 , e

^µy+!y

] , sempre per la corrispondenza tra le x e le y a pari valore di F

LEGGE NORMALE DELLE POTENZE. (Trasformata di Box-Cox).

!

!

" 1

= X

Y " ! 0 ^{Y = ln X} ! = 0

) , (

_{x x}²

N

X " µ ! Y " PN ( µ

_x

, !

_x²

)

[ ] ^{Y = 0}

Ca ^Ca [ ] ^{X = 3 ( 1 " ! ) Cv}

^x

= 1

! X = Y ^Ca [ ] ^{Y = 0}

2

= 1

!

2

1

Y = X ^Ca [ ] ^{Y ! 1 . 5 Cv}

^x

= 0

! Y = ln X Ca [ ] Y ! 3 Cv

x

Distribuzione normale delle radici quadrate

( )

! !

"

#

$ $

%

&

'

=

₂ ²

2 exp 1 2

2 ) 1

(

_r

y y

X

x

x x

f µ

) ( (

Stima con il metodo dei momenti, (Lloyd, 1980):

!! "

#

$$ %

&

' (

=

₂

2

1 8

X X X

y

µ

µ ) µ

X y X

µ

! !

4

2

2

=

DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

La funzione densità di probabilità esponenziale è definita come:

Nella forma più usuale, nella quale il parametro è $=1/", la distribuzione Esponenziale assume la forma:

[ ]

^!

!

x

e x

f = 1

^"

F x [ ] ^{= 1! e}

^!

x

!

Le relazioni teoriche dei momenti sono:

E[X]= 1/ $ Var[X] = 1/ $

²

^Cv=1/ $

Ca[X]=2 K[X]=9

MODELLO DEL MASSIMO VALORE.

Si consideri una serie di n variabili casuali ( X

₁

, X

₂

,... X

n

) in sequenza ordinata e sia

n i

n i

X

X

!

=

! ) 1

(

max

La probabilità cumulata di questa variabile non può che dipendere da quelle delle altre n-1:

[ ^{X x} ]

P x

F

_X(n)

( ) =

_(n)

! = ^P [ ^X

¹

^{! x , X}

²

^{! x , ...., X}

ⁿ

^{! x} ]

Se gli X

_i

sono indipendenti:

[ ^{X x} ] [ ^{P X x} ] ^P [ ^{X x} ]

P x

F

_X(n)

( ) =

₁

! "

₂

! " ... "

_n

! = F

_X1

( x ) F

_X2

( x )... .. F

_Xn

(x )

Se gli X

_i

sono identicamente distribuiti con funzione di distribuzione cumulata F

_x

(x )

[

X

]

ⁿ

n

X

x F x

F

_{( )}

( ) = ( ) o semplicemente ^F

ⁿ

^{( = x )} [ ^{F ( x )} ]

ⁿ

DISTRIBUZIONI ASINTOTICHE.

[ ] _!

"

$ #

%

&

' + '

' ' ' '

+ ' '

=

= ...

6

) 1 )(

2 )(

1 ) (

1 2 (

) 1 ) (

1 ( 1 )

( )

(

²

n n n F

n F F n

n x

F x

F

_n ⁿ

) 1 ( 3

3 2 2

...

) 1 6 ( )

1 2 ( ) 1 ( 1 ) (

lim

_n ^{n F}

n

n F e

n F F

n x

F

^{! !}

"

#

$ =

%

&

' (

) ! ! + ! ! ! +

=

Per n grande:

)) ( 1

)

(

(

^{n F x}

n

x e

F =

^{! !}

Al crescere di n la distribuzione di X

_(n)

è relativamente insensibile alla esatta forma della distribuzione delle X

_i

. E’ stato dimostrato che, a seconda della caratteristica della distribuzione delle X

_i

nella coda destra, la distribuzione della massimo X

_(n)

tende a solo 3 distribuzioni asintotiche:

(1) ^$

¹

^{( x ) = exp} [ ^{# e}

^#"(x#!)

] ! > 0 (2)

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

0

/

x ) exp x

2

( ^x ! 0 ; # > 0 ; " > 0

(3)

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

/

0 x ) exp x

3

( ^x ! 0 ; # < 0 ; " > 1

La distribuzione asintotica del tipo 1 o di Gumbel vale quando la coda superiore della variabile originaria cade in maniera esponenziale, cioè se, per x abbastanza grande vale:

)

1

(

)

(

^{g x}

x

x e

F = !

^!

essendo g (x ) una funzione crescente di x _. Esempio:

x x

g ( ) = ! F

_x

( x ) = 1 " e

^"!x

Distribuzione esponenziale:

! ) 1 ( x = E

[ ^{( 1 ( ))} ] ^exp [ ] ^exp [ ] ^{( )}

exp )

(

^{( )} ₁

)

(

x n F x ne e x

F

_{X X} ^{x x}

n

= " " = "

^"$

= "

^{"$ "#}

= ! con

) exp( !"

n = .

Il massimo di n variabili esponenziali con media

!

1 è distribuito secondo la legge di Gumbel per

n abbastanza grande.

Distribuzione asintotica del tipo II o di Frèchet: se, per x abbastanza grande vale:

k

x

x x

F !

"

$ #

%

&

'

= 1

1 )

( (

la relazione tra la distribuzione di tipo I e quella di tipo II è la stessa che tra distribuzione normale e log – normale.

Se x è distribuito con

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

0

/

x ) exp x

2

( y ln = x è distribuito come !

₁

(ln x )

Infatti ^"

¹

^{(ln x ) = exp} [ ^{! e}

^!$(x!#)

] ⁼

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

/

.

exp x per $ = # " = ^ln !

distribuzione di Frèchet = log – Gumbel.

La distribuzione asintotica di tipo III è limitata superiormente. Interessa solo per estremi minimi.

Poiché le variabili idrologiche sono in genere di tipo esponenziale, la distribuzione asintotica del massimo valore di tipo I (Gumbel) è quella che interessa di più in idrologia.

Esempio: Massimo annuale della portata di piena (piena annuale) o Massimo annuale della pioggia giornaliera.

Se non è nota esattamente la distribuzione dei valori di colmo durante i singoli eventi di piena o di pioggia si può applicare la distribuzione di Gumbel invece che applicare la relazione esatta

[ ]

ⁿ

n

x F x

F ( = ) ( )

DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL.

[ ] ^exp [

^{( )}

]

exp )

( = # $

^#"x

= #

^{#" x#!}

X

x e e

F con: exp( "# ) = ! (al posto di n) Significato dei parametri:

! ! : Numero medio di eventi indipendenti in [ ] ^{0 , t} , ad esempio in un anno.

! 1/ & :Valore medio della grandezza dell’evento, esempio portata al colmo.

[ ^{( )}

^{( )}

]

) exp ) (

( =

^X

= " # " # ! #

^{#" x#!}

X

x e

dx x x dF

f

[ ] x = µ = " + ^{0 . 57722} !

E " = µ # ^{0 . 450} !

[ ]

₂

2 2

var 6

!

"

# =

x =

!

"

#

6 1 =

[ ] 6 ( 0 . 57722 ) = 6 (ln ! + 0 . 57722 )

= +

= "

#$

"

µ x %

Cv dipende solo da !

[ ] ⁼

₃³

^{= 1 . 1396}

! x µ

Ca Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri.

!

"

! ) =

^$

= max #

( e

¹

f

_X

è la moda di x F

_X

( " ) = e

^!1

= 0 . 368

!

1 : è proporzionale a ! (misura di dispersione).

), !

( "# : dipendono solo dal coefficiente di variazione Cv .

Variabile ridotta: Y = " ( x # ! )

[ ] ^{Y = 0 . 57722}

E costante di Eulero [ ]

6

!

2

Y = var 0

] [ Y =

! ¹ [ ] ^{Y = 1}

! ^{! Y} [ ] ^{= 1}

[ ^! ] ⁼

=

" ( Y) P Y y F

_Y

( y ) = exp( ! e

^!y

)

( ) ^{0 , 1}

1

Y ! EV !

"

$ #

%

&

' ^{EV 1} ) ^, ( ¹ X

Y

_F

F 1 ln

! ln

= = + =

" !

^F

F

X Y

F ln 1 1 ln

" # ! 1 )

ln ln 1 (ln

! F

"

= #

(Quantile della distribuzione per assegnato F)

Valore di progetto X

T

con il periodo di ritorno T :

) 1 (

1 1

F T p

= !

=

! =

!

= 1 ln ln 1

T X

_T

T

"

# _!

"

$ #

%

&

' '

ln 1 1 ln

1 T

T

) ()

Considerando le relazioni tra i momenti teorici ed i parametri ! ^ed ! ^,

x

6 x Cv !

" = ^{= '}

Cv

_x

6

1 Cv

_x

x = ! 0.45

"

si può pervenire ad una relazione tra la variabile di progetto e media e Cv del campione, valida secondo l’approssimazione del metodo dei momenti:

XT =

x

{1 ! Cvx[0.45 + 6

' ln ln ( T T!1)]}

FORMA CARATTERISTICA

X

T

= !

"

$ #

%

&

' '

ln 1 log '

1 T

k T

( ^con

!"

4343 ,

0 ' = 1

k (caratteristica della distribuzione)

Per T abbastanza grande, in genere superiore ai 20 anni, vale che

T T

T 1

ln 1 !

" ^;

Di conseguenza X

T

può essere espressa come:

( ^{k T} )

X

_T

! " 1+ ' log dove

= ! log ' 1

k => X

T

varia linearmente con Log T