Y ! X f = = ( x g g ) ( = X ( Y ) dYdXf = ) = ln e X ( y ) = dg dxf ( x ) ( g ( x )) X = ln Y XY + !""!#

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Testo completo

(1)

DISTRIBUZIONE LOG-NORMALE.

La variabile X si dice log-normalmente distribuita se:

X

Y = ln è normalmente distribuita

Y = g(X) = ln X ! X = g

!1

(Y ) = e

Y

X ! 0 # ! " Y " +! . Funzione di densità di probabilità:

f

X

(x) = dY

dX f

Y

(y) = dg(x)

dx f

Y

(g(x))

x dx

x

dg ( ) 1

=

! !

"

#

$ $

%

&

' ' ( )

* * +

, -

-

=

ln

2

2 exp 1 2

) 1 (

y y y

X

x x x

f .

µ /

.

[ ] [ ln ln ] [ ln ] (ln )

)

( X P X x P X x P Y x F x

F

X

= ! = ! = ! =

Y

(2)

Espressioni teoriche dei momenti:

50 . 0 50

.

0

ln X

y

= Y =

µ

[ ]

[ ]

! !

!

"

! !

!

#

$

+

=

%

=

%

=

&

' ) (

*

+ +

& = ' ) (

*

= +

=

3 2 2

2 2

2

2 2

50 . 0

3

1 ) exp(

1 ) exp(

2 exp 1

2 exp 1

x x

x

y x

y x

x

y y

y x

Cv Cv

Ca Cv

X X

E

, , µ

,

, µ

, µ

Relazioni tra momenti e parametri:

Due parametri: µ

Y

e !

Y2

.

Due momenti della popolazione: µ

X

e !

2X 2

2 ln

X

1

Y

Y

µ !

µ = " !!

"

#

$$ %

&

+

=

2

2

ln 1

2

X X

Y

µ

' '

Espressioni semplificate:

) 1

ln(

2

2

x

Y

= + Cv

! !> "

Y

! Cv

x

per Cv

x

< 0 . 3

!>

2

2

ln

X

1

X

Y

" µ ! Cv µ

[ ]

x x

x x

X

E x

x

Cv Cv Cv

Ca ( ) 3

3

3

3 3

! +

" =

= #

µ !> Ca

X

! 3 Cv

x

per Cv

x

piccolo

(3)

Tracciamento della retta in base al passaggio per 2 punti (si ricordi che con asse delle ascisse cartesiano e relativo alla variabile Y nulla cambia rispetto alla carta probabilistica normale):

1. [ F

X

= 0 . 5 , x

0.5

] che, tenuto conto che F

X

( x ( y

0.5

)) = 0 . 5 = F

Y

( y

0.5

) e che y

0.5

= µ

y

( per la normalità) diventa [ F

X

= 0 . 5 , e

µy

]

2. [ F

X

= 0 . 841 , e

µy+!y

] , sempre per la corrispondenza tra le x e le y a pari valore di F

(4)

LEGGE NORMALE DELLE POTENZE. (Trasformata di Box-Cox).

!

!

" 1

= X

Y " ! 0 Y = ln X ! = 0

) , (

x x2

N

X " µ ! Y " PN ( µ

x

, !

x2

)

[ ] Y = 0

Ca Ca [ ] X = 3 ( 1 " ! ) Cv

x

= 1

! X = Y Ca [ ] Y = 0

2

= 1

!

2

1

Y = X Ca [ ] Y ! 1 . 5 Cv

x

= 0

! Y = ln X Ca [ ] Y ! 3 Cv

x

Distribuzione normale delle radici quadrate

( )

! !

"

#

$ $

%

&

'

=

2 2

2 exp 1 2

2 ) 1

(

r

y y

X

x

x x

f µ

) ( (

Stima con il metodo dei momenti, (Lloyd, 1980):

!! "

#

$$ %

&

' (

=

2

2

1 8

X X X

y

µ

µ ) µ

X y X

µ

! !

4

2

2

=

(5)

DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

La funzione densità di probabilità esponenziale è definita come:

Nella forma più usuale, nella quale il parametro è $=1/", la distribuzione Esponenziale assume la forma:

[ ]

!

!

x

e x

f = 1

"

F x [ ] = 1! e

!

x

!

Le relazioni teoriche dei momenti sono:

E[X]= 1/ $ Var[X] = 1/ $

2

Cv=1/ $

Ca[X]=2 K[X]=9

(6)

MODELLO DEL MASSIMO VALORE.

Si consideri una serie di n variabili casuali ( X

1

, X

2

,... X

n

) in sequenza ordinata e sia

n i

n i

X

X

!

=

! ) 1

(

max

La probabilità cumulata di questa variabile non può che dipendere da quelle delle altre n-1:

[ X x ]

P x

F

X(n)

( ) =

(n)

! = P [ X

1

! x , X

2

! x , ...., X

n

! x ]

Se gli X

i

sono indipendenti:

[ X x ] [ P X x ] P [ X x ]

P x

F

X(n)

( ) =

1

! "

2

! " ... "

n

! = F

X1

( x ) F

X2

( x )... .. F

Xn

(x )

Se gli X

i

sono identicamente distribuiti con funzione di distribuzione cumulata F

x

(x )

[

X

]

n

n

X

x F x

F

( )

( ) = ( ) o semplicemente F

n

( = x ) [ F ( x ) ]

n

(7)

DISTRIBUZIONI ASINTOTICHE.

[ ] !

"

$ #

%

&

' + '

' ' ' '

+ ' '

=

= ...

6

) 1 )(

2 )(

1 ) (

1 2 (

) 1 ) (

1 ( 1 )

( )

(

2

n n n F

n F F n

n x

F x

F

n n

) 1 ( 3

3 2 2

...

) 1 6 ( )

1 2 ( ) 1 ( 1 ) (

lim

n n F

n

n F e

n F F

n x

F

! !

"

#

$ =

%

&

' (

) ! ! + ! ! ! +

=

Per n grande:

)) ( 1

)

(

(

n F x

n

x e

F =

! !

Al crescere di n la distribuzione di X

(n)

è relativamente insensibile alla esatta forma della distribuzione delle X

i

. E’ stato dimostrato che, a seconda della caratteristica della distribuzione delle X

i

nella coda destra, la distribuzione della massimo X

(n)

tende a solo 3 distribuzioni asintotiche:

(1) $

1

( x ) = exp [ # e

#"(x#!)

] ! > 0 (2)

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

0

/

x ) exp x

2

( x ! 0 ; # > 0 ; " > 0

(3)

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

/

0 x ) exp x

3

( x ! 0 ; # < 0 ; " > 1

(8)

La distribuzione asintotica del tipo 1 o di Gumbel vale quando la coda superiore della variabile originaria cade in maniera esponenziale, cioè se, per x abbastanza grande vale:

)

1

(

)

(

g x

x

x e

F = !

!

essendo g (x ) una funzione crescente di x . Esempio:

x x

g ( ) = ! F

x

( x ) = 1 " e

"!x

Distribuzione esponenziale:

! ) 1 ( x = E

[ ( 1 ( )) ] exp [ ] exp [ ] ( )

exp )

(

( ) 1

)

(

x n F x ne e x

F

X X x x

n

= " " = "

"$

= "

"$ "#

= ! con

) exp( !"

n = .

Il massimo di n variabili esponenziali con media

!

1 è distribuito secondo la legge di Gumbel per

n abbastanza grande.

(9)

Distribuzione asintotica del tipo II o di Frèchet: se, per x abbastanza grande vale:

k

x

x x

F !

"

$ #

%

&

'

= 1

1 )

( (

la relazione tra la distribuzione di tipo I e quella di tipo II è la stessa che tra distribuzione normale e log – normale.

Se x è distribuito con

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

= .

0

/

x ) exp x

2

( y ln = x è distribuito come !

1

(ln x )

Infatti "

1

(ln x ) = exp [ ! e

!$(x!#)

] =

! !

"

#

$ $

%

&

' (

* ) + - ,

/

.

exp x per $ = # " = ln !

distribuzione di Frèchet = log – Gumbel.

La distribuzione asintotica di tipo III è limitata superiormente. Interessa solo per estremi minimi.

Poiché le variabili idrologiche sono in genere di tipo esponenziale, la distribuzione asintotica del massimo valore di tipo I (Gumbel) è quella che interessa di più in idrologia.

Esempio: Massimo annuale della portata di piena (piena annuale) o Massimo annuale della pioggia giornaliera.

Se non è nota esattamente la distribuzione dei valori di colmo durante i singoli eventi di piena o di pioggia si può applicare la distribuzione di Gumbel invece che applicare la relazione esatta

[ ]

n

n

x F x

F ( = ) ( )

(10)

DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL.

[ ] exp [

( )

]

exp )

( = # $

#"x

= #

#" x#!

X

x e e

F con: exp( "# ) = ! (al posto di n) Significato dei parametri:

! ! : Numero medio di eventi indipendenti in [ ] 0 , t , ad esempio in un anno.

! 1/ & :Valore medio della grandezza dell’evento, esempio portata al colmo.

[ ( )

( )

]

) exp ) (

( =

X

= " # " # ! #

#" x#!

X

x e

dx x x dF

f

[ ] x = µ = " + 0 . 57722 !

E " = µ # 0 . 450 !

[ ]

2

2 2

var 6

!

"

# =

x =

!

"

#

6 1 =

[ ] 6 ( 0 . 57722 ) = 6 (ln ! + 0 . 57722 )

= +

= "

#$

"

µ x %

Cv dipende solo da !

[ ] =

33

= 1 . 1396

! x µ

Ca Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei parametri.

!

"

! ) =

$

= max #

( e

1

f

X

è la moda di x F

X

( " ) = e

!1

= 0 . 368

(11)

!

1 : è proporzionale a ! (misura di dispersione).

), !

( "# : dipendono solo dal coefficiente di variazione Cv .

Variabile ridotta: Y = " ( x # ! )

[ ] Y = 0 . 57722

E costante di Eulero [ ]

6

!

2

Y = var 0

] [ Y =

! 1 [ ] Y = 1

! ! Y [ ] = 1

[ ! ] =

=

" ( Y) P Y y F

Y

( y ) = exp( ! e

!y

)

( ) 0 , 1

1

Y ! EV !

"

$ #

%

&

' EV 1 ) , ( 1 X

Y

F

F 1 ln

! ln

= = + =

" !

F

F

X Y

F ln 1 1 ln

" # ! 1 )

ln ln 1 (ln

! F

"

= #

(Quantile della distribuzione per assegnato F)

(12)

Valore di progetto X

T

con il periodo di ritorno T :

) 1 (

1 1

F T p

= !

=

! =

!

= 1 ln ln 1

T X

T

T

"

# !

"

$ #

%

&

' '

ln 1 1 ln

1 T

T

) ()

Considerando le relazioni tra i momenti teorici ed i parametri ! ed ! ,

x

6 x Cv !

" = = '

Cv

x

6

1 Cv

x

x = ! 0.45

"

si può pervenire ad una relazione tra la variabile di progetto e media e Cv del campione, valida secondo l’approssimazione del metodo dei momenti:

XT =

x

{1 ! Cvx[0.45 + 6

' ln ln ( T T!1)]}

FORMA CARATTERISTICA

X

T

= !

"

$ #

%

&

' '

ln 1 log '

1 T

k T

( con

!"

4343 ,

0 ' = 1

k (caratteristica della distribuzione)

Per T abbastanza grande, in genere superiore ai 20 anni, vale che

T T

T 1

ln 1 !

" ;

Di conseguenza X

T

può essere espressa come:

( k T )

X

T

! " 1+ ' log dove

= ! log ' 1

k => X

T

varia linearmente con Log T

(13)

figura

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