CdL in Matematica ALGEBRA 1 prof. Fabio GAVARINI
a.a. 2020–2021
Esame scritto del 24 Febbraio 2021 — Sessione Estiva Anticipata, II appello
N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.
· · · ∗ · · · ·
[1] — Sia U (Z30) ;·
il gruppo degli elementi invertibili dell’anello unitario Z30 . (a) Descrivere esplicitamente il sottoinsieme U (Z30) .
(b) Determinare se esistano in U (Z30) ; ·
elementi di ordine 2, 3, 4, 5 oppure 6.
(c) Stabilire — giustificando opportunamente la conclusione — se il gruppo U (Z30) ; · sia ciclico oppure no.
[2] — Dato n∈ N+ e il gruppo simmetrico Sn su n elementi, siano σ, τ ∈ Sn. Dimostrare che se la composizione σ◦ τ si fattorizza in prodotto di k permutazioni cicliche disgiunte di lunghezze t1, t2, . . . , tk(≥ 1) , allora lo stesso `e vero per τ ◦ σ .
[3] — Sia G un gruppo, e sia Q il sottogruppo di G generato da tutti i quadrati in G, cio`e Q :=
g2 g ∈ G .
(a) Dimostrare che Q `e sottogruppo normale di G .
(b) Determinare l’ordine di un qualunque elemento non banale (cio`e diverso dall’elemento neutro) nel gruppo quoziente G
Q .
[4] — Dimostrare che, per ogni n∈ N+, vale l’identit`a Qn
s=1(2 s− 1) = (2 n)!
2nn!
[5] — Siano A−→ R e Aϕ −→ R due morfismi da un anello A ad un anello R .ψ Dimostrare che Dϕ=ψ :=
a∈ A ϕ(a) = ψ(a)
`e un sottoanello di A .
(( continua... ))
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[6] — Siano A e B due anelli, e sia A× B l’anello prodotto diretto.
(a) Dimostrare che i due sottoinsiemi A× 0B
e 0A
× B sono ideali bilateri dell’anello A× B .
(b) Dimostrare che per ogni I E A e ogni J E B si ha che I × J
E A × B . (c) Supponendo che i due anelli A e B siano unitari, dimostrare che per ogni ideale ΣE A × B
esistono ideali I E A e J E B tali che Σ = I × J .
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