Corsi di Probabilità, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf.Gest.Azienda, a.a.
2010/11 31/1/2011
Esercizio 1. Un PC comprato da alcuni mesi, all’accensione compie alcune operazioni preliminari e poi si ferma in stato di video nero, senza reagire ai comandi; viene allora inviato alla riparazione. Le statistiche su quel modello di PC dicono che nel primo anno di vita un certo danno A all’hardware capita a 1 PC su 1000, un certo danno B al software a 5 PC su 1000, e l’insieme di tutti gli altri danni ad HD o SW capitano a 0.2 PC su 1000 (per semplicità si considerino come mutuamente esclusivi questi danni).
Il danno A provoca il sintomo rilevato (video scuro) nel 20% dei casi. Il danno B lo provoca nel 5% dei casi. Gli altri danni tutti insieme, nel 25% dei casi.
L’addetto alla riparazione usa un manuale della produzione che gli dice in che ordine e¤ettuare i controlli, cioè se smontare il PC per veri…care il danno A, eseguire operazioni software per veri…care il danno B, o esaminare altre possibilità. Cosa gli prescirve il manuale della produzione? Descrivere per bene la soluzione tramite schemi e metodi svolti nel corso, non usando ricette intuitive (salvo che nella traduzione delle prescrizioni del problema in termini di ipotesi e dati numerici dello schema rigoroso).
Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) nulla per x < 0, pari a
C (1 + x) per x 0, con parametro reale e C costante (dipendente da ) da determinare.
i) Stabilire per quali valori di e di C la funzione f (x) è una densità di probabilità, e ricavare il valore di C .
ii) Detta X una v.a. con tale densità, calcolare la funzione di distribuzione FX(x).
iii) Posto Y = log X, calcolare la densità fY (t) di Y .
iv) Posto = 2, calcolare P (jX 3Wj < 5), dove W è una v.a. discreta che vale 1 e -1 con uguale probabilità, ed è indipendente da X.
Esercizio 3. Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5g associata alla seguente matrice di transizione
P = 0 BB BB
@
1=2 1=2 0 0 0
1=2 1=2 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1=2 1=2 0
1=3 0 1=3 0 1=3
1 CC CC A
:
i) Qual è la probabilità, partendo da 5, di essere in 4 dopo 4 passi?
ii) Classi…care gli stati e trovare le classi irriducibili.
iii) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Cercare di usare ragionamenti il più possibile strutturali e non solo calcoli alla cieca.
Esercizio 4. i) Ad una …era di paese giochiamo ad una specie di roulette con 20 possibili risultati. Si vince se si indovina il numero che uscirà, altri- menti si perde. Quando si vince si ricevono 15 euro ed una giocata ne costa 1.
i) Calcolare la probabilità di guadagnare giocando 25 volte.
ii) Supponiamo di giocare …no a quando non vinciamo e sia T la prima giocata in cui vinciamo. Ricostruire la densità discreta di T a partire da ragionamenti elementari (non darla cioè per nota sulla base di esercizi simili già svolti) e calcolare la probabilità che sia T > 15, cioè servano più di 15 giocate per vincere una prima volta.
iii) Vorremmo calcolare la probabilità di vincere almeno 3 volte su 60 giocate. Lo possiamo fare in modo esatto e in uno o più modi approssi- mativamente. Descrivere tutti i modi noti, anche se le approssimazioni a priori sono dubbie. Eventualmente, calcolare i valori dati da tutti i metodi e confrontarli.
1 Soluzioni
Esercizio 1. Indichiamo con A l’evento "il danno è di tipo A", con B l’analogo, con C l’evento "il danno è di altro tipo". Deve valere P (A) + P (B) + P (C) = 1. I tre danni possibili capitano con frequenze 1/1000, 1/1000 e 0.2/1000. Traduciamo questo nell’ipotesi
P (A) = 1=1000
1=1000 + 5=1000 + 0:2=1000 = 0:161 29
P (B) = 5=1000
1=1000 + 5=1000 + 0:2=1000 = 0:806 45 P (C) = 1 0:161 29 0:806 45 = 0:032 26:
Indichiamo poi con D l’evento "il computer manifesta quel tipo di danno".
Vale
P (DjA) = 0:2; P (DjB) = 0:05; P (DjC) = 0:25:
Allora
P (AjD) = P (DjA) P (A) P (D)
ecc. da cui si vede che hanno lo stesso denominatore, quindi basta confrontare i numeratori. Essi valgono:
P (DjA) P (A) = 0:2 0:161 29 = 3: 225 8 10 2 P (DjB) P (B) = 0:05 0:806 45 = 4: 032 3 10 2 P (DjC) P (C) = 0:25 0:032 26 = 8: 065 10 3:
Come c’era da aspettarsi intutivamente, il manuale prescrive innanzi tutto di vedere se il guasto è di tipo B, poi di tipo A, in…ne di altro tipo.
Esercizio 2.
i) Si deve imporre 1 = Z +1
0
C (1 + x) dx = lim
b!+1
Z b 0
C (1 + x) dx, se il limite esiste ed è …nito. Per 6= 1 si ha 1 = C lim
b!+1
1
+ 1(1 + x) +1
b
0
. Il limite esiste …nito solo per < 1, e in tal caso si ha 1 = C 1
+ 1, da cui C = (1 + ). Per = 1, l’integrale improprio
Z 1
0
dx
1 + x diverge, quindi
= 1 non è accettabile
ii) Si ha, per x > 0 (altrimenti F (x) = 0) FX(x) = Z x
0
f (t)dt = (1 +
) 1
1 + (1 + t)1+
x
0
= (1 + ) 1
1 + (1 + x)1+ 1 = 1 (1 + x)1+ . iii) Si ha
FY (t) = P (Y t) = P (log X t) = P (X exp t) = FX(exp t) = 1 (1+et)1+
da cui
fY(t) = dFY(t)
dt = (1 + )et(1 + et) : Oppure basta derivare FX(exp t).
iii) Si ha:
P (jX 3Wj < 5) = P (jX 3Wj < 5jW = 1) P (W = 1) + P (jX 3Wj < 5jW = 1) P (W = 1)
= 1
2P (jX 3j < 5) + 1
2P (jX + 3j < 5)
= 1
2P ( 2 < X < 8) +1
2P ( 8 < X < 2)
= 1
2P (0 < X < 8) +1
2P (0 < X < 2) = 1
2(FX(8) + FX(2))
= 1
2P 1 (1 + 8) 1+ 1 (1 + 2) 1 = 7 9
Esercizio 3. i) In 4 passi ci sono i seguent modi di andare da 5 a 4:
5! 5 ! 5 ! 3 ! 4 5! 5 ! 3 ! 4 ! 4 5! 3 ! 4 ! 3 ! 4 5! 3 ! 4 ! 4 ! 4 per cui la probabilità richiesta vale
1 3
1 3
1
3 1 + 1 3
1 3 1 1
2+ 1 3 1 1
2 1 + 1 3 1 1
2 1
2 = 0:342 59:
ii) Gli stati 1 e 2 comunicano tra loro e con nessun altro, quindi formano una classe chiusa irriducibile. Lo stesso vale per 3 e 4. Lo stato 5 porta in 1 (ed in 3), da cui non può tornare, quindi è transitorio.
iii) Nella classe f1; 2g la matrice è bistocastica, quindi la misura invariante è ( 1; 2) = 12;12 . Nella classe f3; 4g il bilancio di ‡usso in 3 ci dà l’equazione
1
2 4 = 3 a cui dobbiamo unire la 3+ 4 = 1. Sostituendo al prima nella seconda troviamo 12 4 + 4 = 1 da cui 4 = 23, e quindi 3 = 13. Le misure invarianti del sistema complessivo hanno quindi la forma
1 2;1
2; 0; 0; 0 + (1 ) 0; 0;1 3;2
3; 0 = 2;
2;1
3 ;2 1
3 ; 0 al variare di 2 [0; 1].
Esercizio 4. i) Si vince in una giocata con probabilità 201 (gli esiti di una giocata sono uno spazio equiprobabilie). Il numero N di vincite su 25 giocate è una B 25;201 (si può giusti…care introducendo le Bernoulli delle singole giocate, X1; :::; X25, che valgono 1 se si vince; N è la loro somma).
Su 25 giocate si guadagna se si vince almeno 2 volte. Dobbiamo calcolare P (N 2) = 1 P (N = 0) P (N = 1)
= 1 25
0 1 20
0
1 1
20
25 25
1 1 20
1
1 1
20
25 1
= 0:357 62:
ii) Usando le notazioni precedenti, o meglio con la generica Xn, abbiamo, per n = 1; 2; :::
P (T = n) = P (X1 = 0; :::; Xn 1 = 0; Xn= 1) = 1 1 20
n 1 1 20: Quindi in particolare
P (T > 15) = 1 X14 n=1
1 1
20
n 1 1
20 = 1 1 20
X13 k=0
1 1
20
k
= 1 1
20
1 1 201 14
1 1 201 = 0:487 67:
Va anche bene (sarebbe meglio usare ciò che si è appena scoperto) ragionare dicendo che l’evento T > 15 signi…ca che le prime 15 sono andate male, quindi la sua probabilità è 1 201 15.
iii) Il numero N = X1+ ::: + X60di vittorie su 60 giocate è una B 60;201 , quindi
P (N 3) = 1 X2 k=0
60 k
1 20
k
1 1
20
60 k
= 0:582 56:
Ci sono due modi per e¤etuare un calcolo approssimato. Uno è l’uso del teorema degli eventi rari: B 60;201 ' P 60 201 =P (3), per cui
P (N 3)' 1 X2 k=0
e 33k
k! = 0:576 81:
L’altro è il Teorema Limite Centrale:
P (N 3) = P (X1+ ::: + X60 3) = P 0
@X1+ ::: + X60 60 201 p60
q1
20 1 201
3 60 201 p60
q1
20 1 201 1 A
' 1 (0:0) = 0:5
(senza l’uso della correzione di continuità; non la usiamo non essendo in programma 2010/11). Il risultato del teorema degli eventi rari è migliore, come ci si poteva aspettare avendo a che fare con un p piccolo.
