Università degli Studi di Napoli

Università degli Studi di Napoli Dipartimento di Architettura

Corso di Formazione per l’insegnamento della Fisica nella Scuola Secondaria di secondo grado

Ferdinando Casolaro

ferdinando.casolaro@unina.it

Quale Geometria per lo spazio curvo?

Dal vettore nello spazio piatto al tensore nello spazio curvo secondo il Modello di Minkovskj

Napoli, 01 marzo 2019

“ A me la cosa peggiore in una scuola sembra l’uso di metodi basati sulla paura,sulla forza e sull’autorità artificiosa.

Un tale trattamento

- DISTRUGGE I SENTIMENTI SANI, LA SINCERITA’ E LA FIDUCIA IN SE STESSO DELL’ALLIEVO.

- PRODUCE SOGGETTI SOTTOMESSI.

E’ relativamente semplice tenere la scuola lontano da questo gravissimo male.

Date all’insegnante il minor numero di mezzi coercitivi, così che l’unica fonte di rispetto da parte dell’allievo sia

costitutita dalle qualità umane ed intellettuali dell’insegnante stesso”

ALBERT EINSTEIN

Quale Geometria per lo spazio fisico? (*)

Con le Indicazioni nazionali per i licei e le Linee guida per gli Istituti tecnici, dal 2010 (2012?) si richiede di insegnare quegli elementi della Fisica sviluppatesi principalmente nella prima metà del XX secolo, quali Teoria della Relatività, Fisica Quantistica, Ottica moderna.

La Geometria su cui poggia la Fisica classica è essenzialmente quella euclidea.

Attraverso la Geometria euclidea il docente rappresenta analiticamente e graficamente i fenomeni fisici.

Per uno studio corretto della Teoria della Relatività Generale si deve conoscere la Geometria su cui essa si fonda.

(*) <www.aifnapoli2.it> cliccando sulla destra <Relazioni tra Fisica e Matematica> e in basso: <Ferdinando Casolaro>  <Geometria e Relatività>.

Indicazioni nazionali e Linee guida

Nelle ultime Indicazioni nazionali e Linee guida, relativamente alla geometria, si fa solo qualche

confuso cenno allo studio di geometrie che vanno oltre il modello euclideo.

Lo studio ed i risultati dei Nuclei di Ricerca

Didattica istituiti nelle Università italiane negli ultimi sessanta anni portano invece a

considerazioni diverse.

“L’EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA ATTRAVERSO QUATTRO CONGETTURE FONDAMENTALI

SULL’OSSERVAZIONE DEL MONDO FISICO”

1. Prima congettura relativa alla geometria:

L’universo non è piatto, è curvo (VIII-VII sec. a.C) 2. Seconda congettura relativa alla geometria:

"la luce si propaga in linea retta" (III sec. a.C).

3. Dalle congetture di Galileo al concetto di funzione:

“La formalizzazione matematica dei fenomeni fisici”

Lo studio locale della espressione analitica che rappresenta il fenomeno (equazioni differenziali).

4. La congettura nell’incertezza:

La funzione del “Calcolo delle probabilità” nell’analisi di fenomeni reali.

EVOLUZIONE STORICA

- VIII-VII sec. a.C. - I primi frammenti di Geometria sferica (spazio curvo).

- VI sec. a.C.-II sec. d.C. - La geometria euclidea (da Talete a Tolomeo attraverso le scuole filosofiche ed Euclide) e primi tentativi di geometrizzare l'Arte con

l’Ottica degli antichi (Ottica ed elettromagnetismo).

- II sec. d.C-XI sec. d.C. - Oscurantismo culturale (periodo romano); non ci sono risultati, ma solo grandi costruzioni (statica delle masse).

- XII-XVI sec. - Geometria e Arte: si fissano le regole della Prospettiva, alla base degli sviluppi successivi di Geometria descrittiva e geometria proiettiva (Arte e

Matematica; Ferdinando Casolaro pagg. 129-148).

- XVII sec. - La geometria analitica e l'introduzione degli elementi impropri (rappresentazione grafica delle leggi fisiche). Galileo:

“La formalizzazione matematica dei fenomeni fisici”.

- XVIII-XX sec. - Ampliamento della geometria euclidea alla geometria affine (calcolo vettoriale) e proiettiva (trasformazioni geometriche). Le geometrie non

euclidee (Fisica moderna).

La Matematica dell’incerto.

Dallo spazio piatto allo spazio curvo

Nello spazio curvo, i corpi, in assenza di forze non

gravitazionali, percorrono la linea più breve (geodetica) in analogia al percorso rettilineo che è valido solo nello spazio

piatto.

Precisamente, secondo il concetto classico:

- la materia crea un campo gravitazionale e questo fa deviare i corpi;

invece secondo Einstein:

-il campo gravitazionale va interpretato come curvatura dello spazio e tale curvatura determina la sostituzione del concetto di retta con

quello di geodetica.

Prima congettura relativa alla geometria:

L’universo non è piatto, è curvo (VIII-VII sec. a.C)(*) Il problema dell'Astronomia dal periodo Babilonese ad oggi

I più antichi reperti di geometria a nostra disposizione:

VIII-VII sec. a.C.: gli astronomi Caldeo-Babilonesi, cercarono di approfondire le proprietà dello spazio; il campo di studio

su cui operavano era la sfera.

- III sec. A.C.: i greci, studiosi della geometria piana, hanno lasciato tracce di geometria sferica Autolico di Pitane; "Sulle

Sfere mobili" ed "Il sorgere ed il tramontare", tradotti nel 1885.

(*)[F. Casolaro: "Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo". Atti del

Congresso Nazionale Mathesis - Bergamo 2002]

“Nel libro “Sulle sfere mobili” le proposizioni sono disposte in ordine logico secondo lo stile usato da Euclide, il quale pure trattò alcune questioni di Geometria Sferica, nel trattato “I fenomeni” di cui c’è una

traduzione pubblicata nel 1916.

Altri matematici che hanno lasciato tracce sulla “Sferica” sono:

- Teodosio di Bitinia (circa 20 a.C.) - “Sphericae” - Problema fondamentale dell’astronomia greca: determinare l’ora di notte

osservando le stelle.

- Menelao (circa 98 d. C.), che scrisse il trattato “Sphaerica”, pervenuto in una versione araba in tre libri.

- Tolomeo (II sec. d. C.): pone le basi della trigonometria piana, quando già si conosceva la trigonometria sferica, utile per l’Astronomia.

Seconda congettura relativa alla geometria:

"la luce si propaga in linea retta" (III sec. a.C)

Nel periodo greco ebbe origine un gruppo di ricerche, di cui faceva parte Euclide, i cui risultati costituiscono “l'Ottica degli

antichi”.

- III a.C. - Primo tentativo di razionalizzazione dell’arte (dal tridimensionale al bidimensionale) attraverso il concetto di

propagazione rettilinea della luce.

- I a.C – Vitruvio - De Architectura: Primo modello per i trattatisti del Rinascimento:

a) Interesse dei Greci per la rappresentazione come fondamento dell’arte pittorica

b) Limiti dell’Architettura come Scienza

- II-XI d.C. periodo romano e l'oscurantismo culturale

Dall’Ottica degli antichi (III sec. a.C.) all’Architettura gotica (XII-XIII sec. d.C.)

- Testimonianza dell'interesse dei greci per la rappresentazione come fondamento per l'arte pittorica, lo si evince da alcuni

passi di Vitruvio (Marco Vitruvio Pollone, vissuto

probabilmente nel I sec. a.C.) che si può considerare il più significativo trattatista di Architettura del mondo latino.

- Di Vitruvio si sa poco, addirittura si mette in dubbio

l'originalità della sua opera "il De Architectura" (27 a.C.) in cui egli descrive la Basilica di Fano, di cui sarebbe stato il

costruttore (I cap. - V libro).

Il periodo romano: oscurantismo culturale

la matematica in Occidente è sopravvissuta per merito degli Indiani e degli Arabi

Tra il 150 a.C e il 364 d.C. (il periodo più probabile è considerato intorno al 250 d.C.) è vissuto ad Alessandria un grande

matematico, Diofanto, il quale raccolse e risolse problemi che compendiò in un unico trattato "l'Arithmetica" costituito da

tredici libri.

Dal 300 d.C. al 1100, in Europa non vi fu alcun progresso nell'ambito scientifico; si hanno solo tracce di traduttori delle

opere di Euclide, Aristotele e degli antichi greci.

Le traduzioni erano tutte in latino, lingua ufficiale della Chiesa che impose il suo potere nella Cultura

Il periodo romano: oscurantismo culturale

380 - Teodosio dichiara il Cristianesimo religione ufficiale dell'Impero), per cui il Latino diventò la lingua internazionale dell'Europa e, quindi, la lingua della Matematica e della Scienza.

Dal III sec. A.C. al III sec. D.C. (da Euclide a Diofanto), Alessandria era la capitale intellettuale del mondo civilizzato, ma la città fu

ripetutamente minacciata da eserciti stranieri.

Nel 47 a.C. Giulio Cesare incendia la flotta di Alessandria, nei cui pressi era situata la Biblioteca che prese fuoco e centinaia di

migliaia di volumi furono distrutti.

Nel 389 d.C. l'imperatore cristiano Teodosio ordinò al vescovo di Alessandria Teofilo di distruggere tutti i monumenti pagani

compreso il Tempio di Serapide con l’intera Biblioteca.

Il periodo romano: oscurantismo culturale

Nei mille anni successivi alla nascita di Cristo non si riscontra alcun interesse per la matematica in Occidente che è sopravvissuta per

merito degli Indiani e degli Arabi che copiarono le formule dai manoscritti greci sopravvissuti e reinventarono molti teoremi che

erano stati perduti.

Gli arabi avevano dato una struttura allo studio dell'algebra, i cui risultati si sono conosciuti in Europa dall'XI secolo in poi (periodo della rifioritura economica), per merito principalmente di Leonardo

Pisani (1170-1250) detto Fibonacci.

Rifioritura economica: Geometria ed Architettura

Fibonacci era nato a Pisa, ma aveva viaggiato in Europa ed in Asia Minore per seguire il padre; ed è durante questi viaggi che aveva racimolato manoscritti che contenevano gran parte dei risultati di

algebra ottenuti dagli arabi.

Nel 1202 scrisse il Liber Abaci, di cui venne in possesso Dante Alighieri

Siamo ormai nel XIII secolo; da questo momento (e nei tre secoli successivi) l'interesse dei matematici è rivolto principalmente

all'Architettura ed all‘Arte.

XII-XIV secolo - Con l'Architettura gotica, nel sec. XII, si incomincia ad intravedere un principio di rappresentazione più rigorosamente

razionale.

Dall’Architettura gotica alla prospettiva

Il problema principale che poneva l'Architettura gotica era quello di ottenere la massima luminosità possibile e la massima ampiezza degli ambienti con il minimo ingombro delle masse murarie e delle

strutture.

Carattere gotico ebbero le abbazie di Fossanova e di Casamari, la chiesa dei Servi a Bologna e il San Francesco d'Assisi.

Successivamente riscontriamo il primo passo per il superamento della concezione medioevale nelle opere di Giotto (1266 - 1337), di Duccio di Buoninsegna (tra il 1278 ed il 1318 circa) e, qualche decennio più tardi, nelle opere di Ambrogio Lorenzetti (morto a Firenze o a Siena durante la peste del 1348), in cui è evidente la

ricerca per definire lo spazio contenente i vari elementi della rappresentazione.

La Prospettiva

Ma l'adozione di un metodo di PROSPETTIVA LINEARE GEOMETRICA risale all'inizio del 1400 con Filippo

Brunelleschi. (Firenze, 1377-1446), che per primo fissò le norme della Prospettiva.

Le prime opere del Brunelleschi si mantengono ancora nell'ambito della tradizione gotica.

Crocefisso di Santa Maria Novella (1409): si incomincia a intravedere un'opera nuova per le perfette proporzioni e per la simmetrica distribuzione delle parti, (prima applicazione della prospettiva).

Sulla stessa linea si è espresso Leon Battista Alberti (Genova 1404 circa - 1472) che ha anche dedicato al Brunelleschi il suo trattato

"De pictura" in cui scrisse che nell'arte fiorentina di quegli anni si intravedeva già il superamento delle opere dell'antichità.

Piero della Francesca (Arezzo 1415-1492) Matematico dell’Arte

Razionale  richiama Euclide

- Costruisce teorema dopo teorema, problema dopo problema - Piero non si ritrasse mai dalle matematiche nelle quali era stato

tenuto maestro raro, tanto che i libri meritatamente

gli hanno acquistato nome del miglior geometra che fusse nei tempi suoi. - G. Vasari (1511-1574)

“De Perspectiva pingendi” (inviluppo di linee piane)

Leonardo da Vinci

(Firenze 1452-1519)

(“Mirabile e celeste – Vario ed instabile”. Vasari)

genialità – la pittura deve avere un fondamento scientifico Studia prima la scienza, e poi seguita la pratica nata da essa

scienza: quelli che si innamorano della pratica senza la diligenza sono come i nocchieri che entrano in mare sopra nave senza timone o bussola, che mai non hanno certezza dove

si vadino. Sempre, la pratica deve essere edificata sopra una buona teorica, della quale la prospettiva è guida e porta:

senza quella, niente si fa bene, così di pittura come in ogni altra professione. (Trattato della Pittura - cap.VII )

XVI sec. - Federico Commandino (Urbino 1509-1575) - La prospettiva passa dalle mani degli artisti a quelle

degli scienziati.

- Prima intuizione del concetto di omologia

Prospettiva lineare – Riferimento di tutte le figure considerate a due piani fra loro ortogonali (la pianta e l’alzata):

ribalta la figura e fissa gli elementi uniti.

Inaugura il metodo delle proiezioni centrali; definisce il punto

all’infinito; pone le basi della G. D. e della Geometria Proiettiva.

XVII secolo:

Girard Desargues (1591-1661)

Gaspard Monge (1746-1818) Jean Victor Poncelet (1778-1867)

Il piano euclideo ampliato a piano proiettivo.

Nella rappresentazione analitica nel piano viene aggiunta una terza coordinata x₃ che per i punti all’infinito (punti impropri) assume

il valore zero.

La dimensione non è una grandezza assoluta

(nella rappresentazione analitica del Modello relativistico viene aggiunta una quarta coordinata: il tempo).

Se il segmento SP è perpendicolare ad r, la proiezione si dice ortogonale.

Se consideriamo la retta r e la retta PP’ che si intersecano nel punto P’; il loro punto di intersezione P’ è detto sezione, in analogia alla sezione tra due piani, alla sezione di un piano

con una qualsiasi figura solida.

Proiezione e sezione

Si definisce Proiezione di un punto P su una retta r, da un centro di proiezione S, il punto P’SPr

L’operazione di sezione e proiezione tra rette (o tra piani nello spazio) si definisce prospettività.

Date due rette r ed s del piano ed un punto S esterno sia ad r che ad s, si definisce prospettività di centro S tra le rette s ed r la

corrispondenza che ad ogni punto Ps fa corrispondere il punto P’SPr (cioè la proiezione del punto P di r dal centro

di proiezione S)

Definizione di punto improprio

Se s incide r in un punto U, si può osservare:

a) al punto U corrisponde se stesso: U è detto punto unito;

b) esiste un punto Is tale che la retta IS è parallela ad r, per cui al punto I non corrisponde alcun punto di r.

Associamo al punto Is un elemento J_ di r che è detto punto improprio o punto all’infinito (individuato dalla direzione della retta r).

Infatti, se consideriamo la prospettività di centro S tra la retta s ed una qualsiasi retta r’ parallela ad r, possiamo osservare che al punto Is

corrisponde ancora J_

J_

Punto e Retta nel piano Proiettivo

Partendo dalla rappresentazione di un punto P(x,y) nel piano cartesiano, mediante l’ampliamento proiettivo,

si individua il punto improprio con l’aggiunta di una terza coordinata.

Consideriamo una direzione  del piano (punto improprio P

); sia r la retta per l’origine che

individua P

e sia P

(x,y) un punto di r.

;...

1000 / ,1 1000 / ) 1 1000 , 1000 (

;...

10 / ,1 10 / ) 1 10 , 10 (

;...

2 / ,1 2 / ) 1 2 , 2 ( 1 ; 1, ) , (

1000 10

2 1



 







 







 







 





y y x

x P

y y x

x P

y y x

x y P

y x x

P 



 



 



 



 



 





1000 , 1 ,

;...

10 , 1 , .

;...

2 ,1 , );

1 , ,

( _{2 2 1000}

1 x y P x y P x y P x y

P

I punti di tale successione appartengono tutti alla retta r ed al crescere dell’indice k, cresce la distanza OP_k , ovvero, al tendere a zero del denominatore comune alle due coordinate (o terza coordinata), il punto P_k si allontana indefinitivamente.

Posto:

Possiamo definire le coordinate dei punti impropri come terne di numeri reali (x₁ , x₂ , x₃) in cui risulta x₃ = 0.

Pertanto, l’espressione x₃= 0.

Individua il luogo geometrico dei punti impropri del piano, cioè la retta impropria.

3 2 3

1

y

x x x

x  x 

Prospettività tra piani

Ogni prospettività tra piani  e  nello spazio o la composizione di due o più prospettività, è detta omografia tra piani  e .

Se  e  sono sovrapposti diciamo prospettività del piano in sé.

La composizione di due prospettività nello spazio è detta omologia.

La figura schematizza la prospettività con centro improprio (si considera il sole come punto all’infinito) tra il piano verticale che

contiene la finestra, e il piano orizzontale che contiene la proiezione (quindi è una prospettività tra piani).

A

B S

D C T

A

B S

D

C T

A

B S

T s

Q

P

A S B

T

D

C

Q

P

Proiezione delle finestra sul pavimento la mattina

Proiezione delle finestra sul pavimento alcune ore dopo

Sovrapposizione delle proiezioni

Le trasformazioni geometriche - dal piano euclideo al piano affine;

- dal piano affine al piano proiettivo.

E’ indispensabile ampliare la geometria euclidea alla geometria proiettiva? Si, perché:

- Le trasformazioni euclidee, (quelle conservano gli angoli), in natura sono poche.

- Il primo approccio di un bambino con la geometria ha due caratteristiche:

1. la visualizzazione della forma (approccio euclideo);

2. la visualizzazione delle ombre (approccio proiettivo:

l’ombra di una figura non conserva gli angoli, dunque va oltre la geometria euclidea).

Spazio piatto: da Talete (VI sec. a.C. ad oggi) Trasformazioni lineari

Geometria Proiettiva Geometria Affine Geometria euclidea

Omografie Affinità Similitudini

Invarianti Invarianti Invarianti

Rette in rette Parallelismo Perpendicolarità-Misure angoli Coniche non degeneri Coniche chiuse Circonferenze

Birapporto Rapporto semplice Rapporto distanze

Isometrie Invarianti

Le isometrie conservano tutte le proprietà delle similitudini e mutano segmenti congruenti in segmenti congruenti

[F. Casolaro: Atti del Progetto di Ricerca del Ministero della Pubblica Istruzione sulle

“Interrelazioni tra Disegno e Matematica per una didattica finalizzata all’uso delle nuove tecnologie” - Sorrento, 11 - 15 dicembre 1990, Roma, 6 - 10 maggio 1991,

Roma, 8 - 12 dicembre 1991]

www.ing.unisannio.it/casolaro

Algebra lineare e geometria - Indicazioni

Primo biennio

Lo studente apprenderà gli elementi dell’algebra dei vettori (somma, moltiplicazione per scalare e prodotto scalare), e ne comprenderà il

ruolo fondamentale nella fisica].

Secondo biennio

Studierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. Approfondirà inoltre la comprensione

del ruolo fondamentale che i concetti dell’algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica.

- Algebra vettoriale ed operazioni tra vettori.

- Dipendenza lineare.

- Calcolo matriciale e determinante di una matrice.

- Equazione della retta, equazione del piano.

- Prodotto scalare.

Definizione di vettore e concetto di iperpiano

In matematica, un vettore è definito come classe di equivalenza di segmenti equipollenti

L'equipollenza tra segmenti è una relazione di equivalenza. Una classe di equivalenza [v] di segmenti equipollenti prende il nome di vettore.

In Fisica, una grandezza si può definire come vettore quando:

1) vale la legge del parallelogramma;

2) è invariante rispetto ai sistemi di riferimento per traslazione.

Un iperpiano di uno spazio S_n è un suo sottospazio ad n-1 dimensioni: la retta è iperpiano di S₂; il piano, individuato come S₂, è iperpiano di S₃. IMPORTANTE: Riferimento a fasci di rette come direzioni del piano e

fasci di piano come giacitura dello spazio S₃.

Le funzioni trigonometriche

 OA sen

H A OA

H A OA

H A

n n

n  





 ... ....

2 2 2 1

1 1

 OH tg

H A OH

H A OH

H A

n n

n  





 ... ....

2 2 2 1

1 1

 cos ....

...

2 2 1

1     

n n

OA OH OA

OH OA

OH

A_n a

A₂ A₁

O ^{α b}

H1 H2 H_n

A 1° teorema sui triangooli rettangoli (1) 2° teorema sui triangooli rettangoli (2)

α 3° teorema sui triangooli rettangoli (3)

O H Dal teorema di Pitagora:

Dividendo membro a membro (1) e (2), si ha:













tg OH AH

OH tg AH

OA OA OH

OH

sen OA AH OA sen

AH



















cos cos

1

cos^{2 2}

2 2 2

2 2

2 2

2

2        sen  

OA OA OA

AH OA

OA OH AH

OH

 





 sen tg

OH AH sen

OA OHOA AH







 cos cos







OH tg H A OH

H A OH

H A

OA OH OA

OH OA

OH

OA sen H A OA

H A OA

H A

n n n

n n

n n n

...

...

cos ...

...

...

...

2 2 2 1

1 1

2 2 1

1

2 2 2 1

1 1

























CONCETTI ESSENZIALI

- Iperpiano – Prodotto scalare

- Equazione della retta, equazione del piano - Dipendenza lineare

- Calcolo matriciale e determinante di una matrice PRODOTTO SCALARE

da cui:







 b a b cos  a    



 



 

 

 

 























           

y y x

xb a b

a b

a b

a      cos  

r

I vettori nella rotazione

PRODOTTO VETTORIALE

α Si applichi una forza F, parallela al piano orizzontale, in un punto del piano α in β modo da far ruotare il piano α intorno alla

retta r fino a sovrapporsi al piano β.

F C’è una retta nello spazio che non cambia la propria direzione?

Le rette parallele alla retta r restano ancora parallele ad r?

Osservazione. Una rotazione nel piano è individuata da una retta che non appartiene al piano, ma è perpendicolare ad esso.

piano terra orizzontale (pavimento)

Dipendenza lineare tra vettori nel piano e determinante della matrice con le componenti dei vettori.

Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione

Se u è un vettore non nullo del piano π, ogni altro vettore v di π, avente la stessa direzione di u, si può esprimere come prodotto del vettore u

per un numero reale α:

v = α u

da cui:

cioè:

se due vettori sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione lineare di essi con scalari non nulli che dà il vettore nullo".

0 v

u  (  1 ) 



Dipendenza lineare tra vettori nello spazio S

Tre vettori u, v, w dello spazio si dicono linearmente dipendenti se hanno la stessa giacitura, cioè se esiste un piano che contiene i

segmenti orientati che li rappresentano.

La giacitura individuata da due vettori u e v non paralleli definisce, tutti e soli i vettori linearmente dipendenti dal sistema {u, v}.

Infatti, se u e v sono due vettori non paralleli e non nulli del piano, un qualsiasi vettore w, appartenente al piano individuato da u e v, si può

decomporre lungo le direzioni di essi, cioè, si può esprimere come somma di due vettori α₁u ed α₂v, linearmente dipendenti da u e da v.

α₁u

u w = α₁u + α₂v =>

v w => α₁u+α₂v+(-1)w=0 α₂v

Equazione della retta in

In un riferimento cartesiano del piano, sia P(x, y) un punto diverso dall'origine, in modo che il segmento orientato identifichi il vettore

che ha per componenti rispettivamente le coordinate x ed y di P.

Se è un vettore ortogonale ad , per definizione di prodotto scalare, si ha:

La (4.4), equazione della retta OP, individua, dunque, il luogo geometrico dei punti P(x, y) del piano tali che il segmento OP è

perpendicolare alla direzione del vettore

.

Se “curvassi” questa retta , otterrei un arco, ed il vettore perpendicolare in ogni punto alla retta tangente all'arco, non avrebbe più direzione

costante, e quindi le componenti a e b del vettore risulterebbero funzioni delle coordinate del punto nel piano.

S2

P O

) , ( b a n 

0 :

,

0  



OP cioè ax by n 

) , ( ba n

) , ( yx P

O

) , (a b n

Sia un vettore del piano applicato nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy.

Determinare il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano tale che il vettore individuato dal segmento orientato sia perpendicolare ad .

. Y

P² P³ P¹

O X OP

 

n a b

  ^,

n a b

n

 

OP x y

Equazione del piano in

Anche per il piano in , si può fissare un riferimento cartesiano ed un punto P(x,y,z) diverso dall'origine, in modo che il segmento

orientato identifichi il vettore che ha per componenti rispettivamente le coordinate x,y,z di P.

Se è un vettore ortogonale ad , per definizione di prodotto scalare, si ha:

l’equazione del piano per l'origine, che contiene i punti A, B, C, individua, dunque,

il luogo geometrico dei punti P(x, y, z) dello spazio tali che il segmento OP è perpendicolare alla direzione del vettore

S₃

0 :

,

0   



 O P cioè ax by cz n  

) , , (a b c n

P O

S₃

) , , (x y z P

O

Equivalente del piano in uno spazio curvo

I vettori perpendicolari al piano in ogni punto, hanno la stessa direzione.

Così di seguito, operando su spazi piatti, di dimensione tre, quattro,

…ecc, i vettori perpendicolari allo spazio hanno tutti la stessa direzione.

In uno spazio curvo, la direzione del vettore perpendicolare allo spazio cambia in ogni punto, per cui le componenti del vettore normale allo spazio in un punto (precisamente al piano tangente la superficie in quel

punto) sono funzioni delle coordinate.

[F. Casolaro: "Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo". Atti del Congresso Nazionale

Mathesis - Bergamo 2002]

0 )

, , ( )

, , ( )

, ,

(

11

x y z dx  g x y z dy  g x y z dz 

g

 0



 by cz

ax

Dipendenza lineare tra vettori nel piano e determinante della matrice con le componenti dei vettori.

Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione

Se u è un vettore non nullo del piano π, ogni altro vettore v di π, avente la stessa direzione di u, si può esprimere come prodotto del vettore u

per un numero reale α:

v = α u

da cui:

cioè:

se due vettori sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione lineare di essi con scalari non nulli che dà il vettore nullo".

0 v

u  (  1 ) 



Ampliamento della geometria euclidea alla geometria affine con l’introduzione dei vettori

Esempio: Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione; in tal caso, dalla rappresentazione cartesiana delle componenti, si deduce che: “la matrice costituita dalle componenti dei vettori ha determinante nullo”:

a_x: b_x = a_y : b_y a_x b_y- a_y b_x = 0 y

cioè:

a a_y a_x b_x

a_{x det = 0}

a_y b_y b

b_y

b_{x x}

Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla.

Considerata una superficie come spazio in sé, come si può costruire su di essa una geometria analoga a quella del piano:

- Ai concetti intuitivi di punto, piano e retta associamo rispettivamente i concetti di punto stesso, superficie e geodetica. Ovviamente l’analogo

del segmento rettilineo sarà l’arco di geodetica.

- Alla seguente relazione di uguaglianza tra figure, in geometria euclidea Due figure piane sono uguali, se possono farsi corrispondere punto per :

punto in modo che le distanze rettilinee fra le coppie di punti corrispondenti, siano uguali,

corrisponde, per la geometria non euclidea:

Due figure su una superficie sono uguali se possono farsi corrispondere punto per punto in modo che le distanze geodetiche fra coppie di punti

corrispondenti sono uguali.

Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla.

Sulla sfera valgono, per figure uguali, proposizioni analoghe ai postulati della congruenza nel piano, in quanto la sfera può muoversi liberamente

su se stessa come il piano (non valgono le proprietà affini [3] e le proprietà del parallelismo che si avvalgono del V postulato).

- Le proprietà fondamentali dell'uguaglianza fra archi geodetici e angoli, corrispondono ai postulati della congruenza tra segmenti ed angoli.

- Quella superficie che si può muovere liberamente su se stessa

(conservando le proprietà locali), come accade per la superficie piana, è caratterizzata da una grandezza costante in ogni suo punto:

la curvatura K

Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla.

La definizione rigorosa di curvatura richiede conoscenze che esulano da un’esposizione elementare. Come per i concetti di retta e di piano in geometria euclidea, riteniamo che si possa

lasciare all’intuito dello studente di immaginare quelle superfici a curvatura zero (il piano), a curvatura costante (la

sfera), a curvatura variabile (ellissoide, o banale esempio

dell’uovo).

Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova applicazione nello spazio fisico.

Riemann, riteneva che le proprietà che distinguono lo spazio fisico da altre varietà, possono essere ricavate solo

dall'esperienza; di conseguenza, egli pensava che gli assiomi della geometria euclidea potessero essere veri solo

approssimativamente per lo spazio fisico e, come

Lobacewscki, riteneva che sarebbe stata l'Astronomia a

stabilire la geometria che meglio si adatta allo spazio fisico.

Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova applicazione nello spazio fisico.

Già nel 1854, Riemann, dedusse che lo studio della geometria non si può astrarre dall'evoluzione fisica.

In uno spazio in cui la curvatura cambia da un luogo all'altro per la presenza della materia, e da un istante all'altro per il moto della materia,

le leggi della geometria euclidea non sono valide. Pertanto, per

determinare la vera natura dello spazio fisico, si deve associare fra loro spazio e materia (e di conseguenza il tempo).

A tale scopo, così si esprimeva:

"O la realtà soggiacente lo spazio forma una varietà discreta, oppure bisognerà cercare il fondamento delle sue relazioni metriche fuori di esso, nelle forze connettive che vi agiscono. Questo ci porta nel dominio

di un’altra scienza, quella della fisica, in cui l’oggetto delle nostre ricerche non ci consente di entrare oggi”

Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova applicazione nello spazio fisico.

Quest'idea, che ha condotto poi alla Teoria della relatività, fu sviluppata da William Clifford (1845-1879) il quale sosteneva che:

"La variazione della curvatura dello spazio sia ciò che accade realmente in quel fenomeno che chiamiamo moto della

materia, sia essa pesante o eterea”.

Riemann, applica allo spazio ordinario i suoi risultati, concludendo che lo spazio fisico è una varietà a tre dimensioni a curvatura costante.

In questa varietà, la geometria non si può astrarre

dall'evoluzione fisica.

Modello di Riemann ed estensione della geometria alla Fisica.

Il modello formulato nel 1854 da Riemann (geometria ellittica), si può considerare una estensione della geometria differenziale di Gauss.

Riemann voleva dimostrare che gli assiomi di Euclide sono verità empiriche (e non verità evidenti) ed adottò l'approccio analitico proprio

perché riteneva che nelle dimostrazioni geometriche si potesse essere indotti ad assumere come verità ciò che è soltanto una nostra

percezione, in quanto conosciamo lo spazio solo localmente; da qui lo studio del comportamento locale dello spazio, cioè l'approccio metrico-

differenziale.

In una varietà tridimensionale di uno spazio a quattro dimensioni , un’equazione lineare in quattro incognite del tipo:

S

0 )

, , , ( )

, , , ( )

, , , ( )

, , ,

(

11

x y z t dx  g x y z t dy  g x y z t dz  g x y z t dt  g

ottenuta dal prodotto scalare tra il vettore g( ) normale alla superficie ) ed il vettore ds (dx, dy, dz, dt) (spostamento

infinitesimo su ), individua un iperpiano

dello spazio in cui le (i = 1,...,4) sono funzioni delle coordinate (x, y, z, t) analoghe a quelle introdotte da Riemann per la sua

geometria non euclidea; la metrica è definita da

14 13

12

11,g ,g ,g g

S4

S4

S

S4

g_ii



 ⁴

1 , 2

j i

j i

ijdx dx g

ds

I sistemi:

In cui le matrici:

hanno rango , , rappresentano, rispettivamente, uno

spazio (analogo al piano euclideo) iperpiano di , ed uno spazio (analogo alla retta euclidea) iperpiano di .

 

 ^

 

S2 S₃

S1

S2





















0 0

24 23

22 21

14 13

12 11

dt g dz g dy g dx g

dt g dz g dy g dx g































0 0 0

34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

dt g

dz g

dy g

dx g

dt g

dz g

dy g

dx g

dt g dz g

dy g

dx g



 





24 23

22 21

14 13

12

1 g11 g g g

g g

g A g



















34 33

32 31

24 23

22 21

14 13

12 11

2

g g

g g

g g

g g

g g

g g

A

Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky

Nell’idea di Einstein, le funzioni , che nelle relazioni precedenti rappresentano i coefficienti delle variabili x, y, z, t, incorporano gli effetti

delle masse gravitazionali nello spazio.

Tali effetti, provocando una curvatura in ogni punto, sono la causa del cambiamento di direzione del vettore normale alla superficie in quel

punto.

Con l’introduzione della coordinata-tempo, si ha poi una più corretta analisi dell’universo, identificato col

cosiddetto spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky [5], in cui l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro

dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico .

g

S

S

Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsk

In tale ottica, lo spazio dei punti (x, y, z) del modello euclideo, visto come sottospazio di

può essere assimilato ad un iperpiano dello spazio-tempo di Minkovsky.

- per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano di , che è lo spazio geometrico euclideo

tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica;

- se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano

modelli cinematici relativistici su , che è l'analogo del piano euclideo

.

S3

S3

S4

S2

S3

S

S4

S3

2 2 2

2 2

2 dx dy dz c dt

ds    

S

Lo spazio

Ad esempio, l'insieme dei punti P(x, y, 0, t)  P(x, y, t) è un iperpiano di , le cui coordinate (x, y, t) individuano i punti-eventi del

piano (x, y) che è prolungato alla cinematica con l'introduzione della coordinata tempo.

In tale contesto, bisogna tener conto che la metrica è definita da:

Tale relazione si può giustificare geometricamente, aggiungendo alla terna reale (O,x,y,z) del riferimento di ,

un quarto asse immaginario ortogonale ad in cui la coordinata tempo è moltiplicata per l'unità immaginaria i e, per uniformità

dimensionale, per la velocità della luce c.

S

S

S3

S3

2 2 2

2 2

2

dx dy dz c dt

ds    

S

x

fig. 6.1

dz ic dt

O

dy

Il vettore ha allora componenti (dx, dy, dz, icdt) (fig. 6.1) e quindi la metrica è definita da:

cioè la (6.1).

Ciò porta a concludere che la geometria non si può astrarre dall’evoluzione fisica.

ds









 ^{2 2 2 2 2 2}

2 dx dy dz i c dt

ds

dx

 dy

 dz

 c

dt

dx

La dimensione: grandezza relativa e non assoluta

Punto e Retta nel piano Proiettivo

Partendo dalla rappresentazione di un punto P(x,y) nel piano cartesiano, mediante l’ampliamento proiettivo,

si individua il punto improprio con l’aggiunta di una terza coordinata.

Consideriamo una direzione  del piano (punto improprio P

); sia r la retta per l’origine che

individua P

e sia P

(x,y) un punto di r.

;...

1000 / ,1 1000 / ) 1 1000 , 1000 (

;...

10 / ,1 10 / ) 1 10 , 10 (

;...

2 / ,1 2 / ) 1 2 , 2 ( 1 ; 1, ) , (

1000 10

2 1



 







 







 







 





y y x

x P

y y x

x P

y y x

x y P

y x x

P 



 



 



 



 



 





1000 , 1 ,

;...

10 , 1 , .

;...

2 ,1 , );

1 , ,

( _{2 2 1000}

1 x y P x y P x y P x y

P

I punti di tale successione appartengono tutti alla retta r ed al crescere dell’indice k, cresce la distanza OP_k , ovvero, al tendere a zero del denominatore comune alle due coordinate (o terza coordinata), il punto P_k si allontana indefinitivamente.

Posto:

Possiamo definire le coordinate dei punti impropri come terne di numeri reali (x₁ , x₂ , x₃) in cui risulta x₃ = 0.

Pertanto, l’espressione x₃= 0.

Individua il luogo geometrico dei punti impropri del piano, cioè la retta impropria.

3 2 3

1

y

x x x

x  x 

Secondo la concezione classica, la geometria esprime un insieme di proprietà relative al movimento dei corpi ed alla propagazione della luce, che si ottengono facendo astrazione

dal tempo e dalle forze.

Quindi, con un’estensione della geometria alla cinematica (che è la teoria del movimento rispetto allo spazio-tempo) e

successivamente alla dinamica (con l’introduzione delle forze) si avranno approssimazioni che ci avvicinano man mano ad un

grado più concreto della realtà fisica, che troverà poi

un’ulteriore correzione con la teoria della relatività generale.

Con tale teoria, Einstein sollevò anche una questione più ampia legata al significato delle g

il cui uso incorporava gli effetti

gravitazionali delle masse nello spazio;

Dunque, il modello newtoniano che assegna una legge per il moto libero di un punto e vi aggiunge poi una forza, risulta essere solo un’astrazione nella nuova costruzione della dinamica di Einstein.

Tale concezione sarebbe reale se la materia fosse composta da piccole masse, poste a distanza tale una dall’altra da potersi

muovere senza subirne la reciproca influenza; invece la materia si muove sotto l’influenza di altra materia che,

secondo la dinamica newtoniana è la causa delle forze

gravitazionali.

Tema 1987/88

Studiare la trasformazione τ : e, tra

E tra l’altro, dimostrare:

1. Le aree di due triangoli che si corrispondono nella trasformazione sono uguali;

2. Le due parti di piano limitate da una retta e da una parabola e,

rispettivamente, dalla retta e dalla parabola ad esse corrispondenti in tale trasformazione, sono equivalenti.

Trasformiamo mediante τ la circonferenza γ di equazione:

Si ha:

che è un’ellisse in quanto risulta:

Pertanto la circonferenza γ è trasformata da τ in un ellisse per cui è un’affinità e non una similitudine.













 2 1 1

2 2

y Y

x X

2 1

2 Y 

X

 

2 2 1

2

2

2  



 



 



 y

x



33

 0

A