Geometria Analitica Il piano cartesiano

Matematica

Geometria Analitica Il piano cartesiano

Autore: prof. Pappalardo Vincenzo

docente di Matematica e Fisica

Questa lezione introduce lo studio della Geometria Analitica, che comporta la fusione tra metodo algebrico e metodo geometrico: gli enti geometrici

della geometria euclidea, ossia il punto e la retta, saranno collocati in un sistema di riferimento

cartesiano che ne consente l ’ interpretazione anche sotto l ’ aspetto algebrico.

INTRODUZIONE

Si dice Sistema di Riferimento Cartesiano a coordinate reali nel piano una coppia di rette perpendicolari che si intersecano nell’origine, sulle quali è fissata un ’ unità

di misura ed un verso di percorrenza.

La posizione di ogni punto P nel piano

cartesiano sarà sempre individuata

dalla coppia di numeri (x;y)

IL PIANO CARTESIANO

Rappresentare i seguenti punti nel piano cartesiano:

A = (5 ; 3) B = (-2 ; 4) C = (-5; -4) D = (2; -3)

X Y

5

3 A

-2

B 4

-5

C -4

2

-3 D

ESERCIZI

X Y

x ₂ x ₁

y ₂

y ₁

B

A C

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo,

per cui l’ipotenusa AB, che rappresenta la distanza

tra i i due punti A (x ₁ ; y ₁ ) e B (x ₂ ; y ₂ ) che vogliamo calcolare,

si determina applicando il teorema di Pitagora:

2 1 2

2 1 2

2 2

AB AC BC ( x x ) ( y y )

D = + = − + −

x ₂ – x ₁

y ₂ – y ₁

AC = x ₂ – x 1 BC = y ₂ – y ₁

DISTANZA TRA DUE PUNTI

1.  Calcolare la distanza tra i seguenti punti:

A =(6; -2) B = (3; -6)

X Y

A

B

6 3

-2

-6 3

4

9 16 25 5

2 1 2

2 1 2

=

= +

=

− +

−

=

− +

−

=

) (

) (

) y y

( )

x x

( D

x ₂ – x ₁ = 3 – 6 = - 3

y ₂ – y ₁ = -6 – (-2) = - 4 0

x ₁ y ₁ x ₂ y ₂

ESERCIZI

2. Calcolare il perimetro del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

A = (- 4; - 2) B = (0; - 4) C = (1; 3)

X Y

- 4

- 2 0

- 4

1

3 C

B A

5 2 5 2 20

4 16 2

4 4

0 +

+ − +

= + = =

⋅ =

= ( ) ( )

D

2 5 2 5 50

49 1

4 3 0

1 −

+ +

= + = =

⋅ =

= ( ) ( )

D

2 5 2 5 50

25 25

3 2 1

4 −

+ − −

= + = =

⋅ =

−

= ( ) ( )

D

Il triangolo ABC è isoscele in quanto i due lati AC e BC sono uguali.

Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati:

P = AB + BC + CA = 5 2 + 5 2 + 2 5 = 18,6

Verificare che il triangolo di vertici A=(-2;7), B=(-2;1), C=(5;1) è un triangolo rettangolo.

Procedura

1. Disegnare i punti su un piano cartesiano

2. Calcolare i tre lati

6 1

2 7

1 − = − =

= y y

AB _X

Y

-2

7

1

5

A

B C

BC = x _B + x _C = 2 + 5 = 7

CA = (x _A − x _C ) ² + (y _A − y _C ) ² = (−2 − 5) ² + (7 −1) ² = 49 + 36 = 85

3. Verificare che il triangolo ABC è rettangolo

U n t r i a n g o l o è rettangolo se verifica il teorema di Pitagora:

I l q u a d r a t o c o s t r u i t o sull’ipotenusa è uguale alla s o m m a d e i q u a d r a t i costruiti sui cateti:

AC ² = AB ² + BC ²

AC ² = AB ² + BC ² 85 = 36 + 49 Il teorema di Pitagora

è verificato

Definizione: il punto medio M divide il segmento AB in due parti uguali.

X Y

A

B

x ₁ x ₂

y ₁ y ₂

M

x _M y _M

Le coordinate del punto medio M del segmento

AB sono date dalle seguenti formule:

2

2

1 x

x _M x +

= 2

2

1 y

y _M y +

=

COORDINATE PUNTO MEDIO

1. Calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi:

A = (6 ; -2) B = (-2 ; 4)

X Y

A B

6 -2

-2

4

2 2 2 6

2

2

1 − =

+ =

= x x x _M

2 1 4 2

2

2

1 − + =

+ =

= y y y _M

M

Le coordinate del punto medio M sono:

M=(2;1)

2 1

ESERCIZI

Calcolare la misura delle mediane del triangolo di vertici:

A=(4;-2), B=(1;8), C=(-6;2)

X Y

A

-2

M

Procedura

1. Riportare i punti sul piano cartesiano

4 1

8

-6

2 2. Disegnare il triangolo ABC B

C

3. Disegnare le tre mediane

P

M ’

M ’’

DEFINIZIONE

La mediana è quel segmento che ha origine in uno dei vertici

del triangolo e divide il lato opposto in due parti uguali. Si

chiama baricentro il punto P nel quale s’intersecano le tre

mediane.

5. Calcolare le tre mediane

6 9 3 91 49

3 42 2

5 4

5

2 ^{2 2}

2

2 ( y y ) ( , ) ( ) , , ,

) x x

(

AM = _M − _A + _M − _A = − − + + = + = =

2 8 68 64

4 8

0 1

1 ^{2 2}

2

2 ( y y ) ( ) ( ) ,

) x x

(

BM ^' = _{M '} − _B + _{M '} − _B = − − + − = + = =

6 8 3 73 1

3 72 2

3 6

5

2 ^{2 2}

2

2 ( y y ) ( , ) ( ) , , ,

) x x

( ''

CM = _{M ''} − _C + _{M ''} − _C = + + − = + = =

X Y

A

-2

M

4 1

8

-6

2

B

C ^P

M ’

M ’’

4. Calcolare le coordinate dei punti medi M, M’, M’’

5 2 2

6 1

2 x ,

x _M x ^{B C} − = − + =

= 5

2 2 8

2 + =

+ =

= ^{B C}

M

y y y

2 1 6 4

2 − = −

+ =

= ^{A C}

M

x

x

x 0

2 2 2

2 − + =

+ =

= ^{A C}

M

y y

y

5 2 2

1 4

2 x ,

x _M

x ^{A B} + = + =

= ³

2 8 2

2 − + =

+ =

= ^{A B}

M

y y

y

M=(-2,5; 5) M ’ =(-1; 0) M ’’ =(2,5; 3)

3. Calcolare il perimetro e l ’ area del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

A = (- 4; - 2) B = (0; - 4) C = (1; 3)

X Y

- 4

- 2 0

- 4

1 3 C

B A

AB = (0 + 4) ² + (−4 + 2) ² = 16 + 4 = 20 = 2 ² ⋅ 5 = 2 5 = 4, 5m

BC = (1− 0) ² + (3+ 4) ² = 1+ 49 = 50 = 5 ² ⋅ 2 = 5 2 = 7,1m

CA = (−4 −1) ² + (−2 − 3) ² = 25 + 25 = 50 = 5 ² ⋅ 2 = 5 2 = 7,1m

Il triangolo ABC è isoscele in quanto i due lati AC e BC sono uguali. In un triangolo isoscele l’altezza CH divide la base in due parti uguali ( H punto medio

del segmento AB)

H

-2

-3

2 2 0

4 + = −

= −

x H ₃

2

4

2 + − = −

= − ( )

y _H ^H=(-2;-3)

Coordinate del punto medio H:

AREA = AB ⋅ CH

2 = 4, 5⋅ 6, 7

2 = 15,1 m ²

m , )

( )

(

CH = − 2 − 1 ² + − 3 − 3 ² = 9 + 36 = 45 = 6 7 Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati:

P = AB + BC + CA = 4,5 + 7,1 + 7,1 = 18,7 m

Calcolo dell’area:

Esercizi