• Non ci sono risultati.

Geometria Analitica Il piano cartesiano

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Geometria Analitica Il piano cartesiano"

Copied!
25
0
0

Testo completo

(1)

Matematica

Geometria Analitica Il piano cartesiano

Autore: prof. Pappalardo Vincenzo

docente di Matematica e Fisica

(2)

Questa lezione introduce lo studio della Geometria Analitica, che comporta la fusione tra metodo algebrico e metodo geometrico: gli enti geometrici

della geometria euclidea, ossia il punto e la retta, saranno collocati in un sistema di riferimento

cartesiano che ne consente linterpretazione anche sotto laspetto algebrico.

INTRODUZIONE

(3)

Si dice Sistema di Riferimento Cartesiano a coordinate reali nel piano una coppia di rette perpendicolari che si intersecano nell’origine, sulle quali è fissata un ’ unità

di misura ed un verso di percorrenza.

La posizione di ogni punto P nel piano

cartesiano sarà sempre individuata

dalla coppia di numeri (x;y)

IL PIANO CARTESIANO

(4)

Rappresentare i seguenti punti nel piano cartesiano:

A = (5 ; 3) B = (-2 ; 4) C = (-5; -4) D = (2; -3)

X Y

5

3 A

-2

B 4

-5

C -4

2

-3 D

ESERCIZI

(5)

X Y

x 2 x 1

y 2

y 1

B

A C

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo,

per cui l’ipotenusa AB, che rappresenta la distanza

tra i i due punti A (x 1 ; y 1 ) e B (x 2 ; y 2 ) che vogliamo calcolare,

si determina applicando il teorema di Pitagora:

2 1 2

2 1 2

2 2

AB AC BC ( x x ) ( y y )

D = + = − + −

x 2 – x 1

y 2 – y 1

AC = x 2 – x 1 BC = y 2 – y 1

DISTANZA TRA DUE PUNTI

(6)

1.  Calcolare la distanza tra i seguenti punti:

A =(6; -2) B = (3; -6)

X Y

A

B

6 3

-2

-6 3

2

4

2

9 16 25 5

2 1 2

2 1 2

=

= +

=

− +

=

− +

=

) (

) (

) y y

( )

x x

( D

AB

x 2 – x 1 = 3 – 6 = - 3

y 2 – y 1 = -6 – (-2) = - 4 0

x 1 y 1 x 2 y 2

ESERCIZI

(7)

2. Calcolare il perimetro del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

A = (- 4; - 2) B = (0; - 4) C = (1; 3)

X Y

- 4

- 2 0

- 4

1

3 C

B A

5 2 5 2 20

4 16 2

4 4

0 +

2

+ − +

2

= + = =

2

⋅ =

= ( ) ( )

D

AB

2 5 2 5 50

49 1

4 3 0

1

2

+ +

2

= + = =

2

⋅ =

= ( ) ( )

D

BC

2 5 2 5 50

25 25

3 2 1

4

2

+ − −

2

= + = =

2

⋅ =

= ( ) ( )

D

CA

Il triangolo ABC è isoscele in quanto i due lati AC e BC sono uguali.

Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati:

P = AB + BC + CA = 5 2 + 5 2 + 2 5 = 18,6

(8)

Verificare che il triangolo di vertici A=(-2;7), B=(-2;1), C=(5;1) è un triangolo rettangolo.

Procedura

1. Disegnare i punti su un piano cartesiano

2. Calcolare i tre lati

6 1

2 7

1 − = − =

= y y

AB X

Y

-2

7

1

5

A

B C

BC = x B + x C = 2 + 5 = 7

CA = (x A − x C ) 2 + (y A − y C ) 2 = (−2 − 5) 2 + (7 −1) 2 = 49 + 36 = 85

(9)

3. Verificare che il triangolo ABC è rettangolo

U n t r i a n g o l o è rettangolo se verifica il teorema di Pitagora:

I l q u a d r a t o c o s t r u i t o sull’ipotenusa è uguale alla s o m m a d e i q u a d r a t i costruiti sui cateti:

AC 2 = AB 2 + BC 2

AC 2 = AB 2 + BC 2 85 = 36 + 49 Il teorema di Pitagora

è verificato

(10)

Definizione: il punto medio M divide il segmento AB in due parti uguali.

X Y

A

B

x 1 x 2

y 1 y 2

M

x M y M

Le coordinate del punto medio M del segmento

AB sono date dalle seguenti formule:

2

2

1 x

x M x +

= 2

2

1 y

y M y +

=

COORDINATE PUNTO MEDIO

(11)

1. Calcolare le coordinate del punto medio del segmento di estremi:

A = (6 ; -2) B = (-2 ; 4)

X Y

A B

6 -2

-2

4

2 2 2 6

2

2

1 − =

+ =

= x x x M

2 1 4 2

2

2

1 − + =

+ =

= y y y M

M

Le coordinate del punto medio M sono:

M=(2;1)

2 1

ESERCIZI

(12)

Calcolare la misura delle mediane del triangolo di vertici:

A=(4;-2), B=(1;8), C=(-6;2)

X Y

A

-2

M

Procedura

1. Riportare i punti sul piano cartesiano

4 1

8

-6

2 2. Disegnare il triangolo ABC B

C

3. Disegnare le tre mediane

P

M

M ’’

DEFINIZIONE

La mediana è quel segmento che ha origine in uno dei vertici

del triangolo e divide il lato opposto in due parti uguali. Si

chiama baricentro il punto P nel quale s’intersecano le tre

mediane.

(13)

5. Calcolare le tre mediane

6 9 3 91 49

3 42 2

5 4

5

2 2 2

2

2 ( y y ) ( , ) ( ) , , ,

) x x

(

AM = MA + MA = − − + + = + = =

2 8 68 64

4 8

0 1

1 2 2

2

2 ( y y ) ( ) ( ) ,

) x x

(

BM ' = M 'B + M 'B = − − + − = + = =

6 8 3 73 1

3 72 2

3 6

5

2 2 2

2

2 ( y y ) ( , ) ( ) , , ,

) x x

( ''

CM = M ''C + M ''C = + + − = + = =

X Y

A

-2

M

4 1

8

-6

2

B

C P

M

M ’’

4. Calcolare le coordinate dei punti medi M, M’, M’’

5 2 2

6 1

2 x ,

x M x B C − = − + =

= 5

2 2 8

2 + =

+ =

= B C

M

y y y

2 1 6 4

2 − = −

+ =

= A C

M

x

x

'

x 0

2 2 2

2 − + =

+ =

= A C

M

y y

'

y

5 2 2

1 4

2 x ,

x M

''

x A B + = + =

= 3

2 8 2

2 − + =

+ =

= A B

M

y y

''

y

M=(-2,5; 5) M ’ =(-1; 0) M ’’ =(2,5; 3)

(14)

3. Calcolare il perimetro e l ’ area del triangolo avente per vertici i seguenti punti:

A = (- 4; - 2) B = (0; - 4) C = (1; 3)

X Y

- 4

- 2 0

- 4

1 3 C

B A

AB = (0 + 4) 2 + (−4 + 2) 2 = 16 + 4 = 20 = 2 2 ⋅ 5 = 2 5 = 4, 5m

BC = (1− 0) 2 + (3+ 4) 2 = 1+ 49 = 50 = 5 2 ⋅ 2 = 5 2 = 7,1m

CA = (−4 −1) 2 + (−2 − 3) 2 = 25 + 25 = 50 = 5 2 ⋅ 2 = 5 2 = 7,1m

Il triangolo ABC è isoscele in quanto i due lati AC e BC sono uguali. In un triangolo isoscele l’altezza CH divide la base in due parti uguali ( H punto medio

del segmento AB)

H

-2

-3

(15)

2 2 0

4 + = −

= −

x H 3

2

4

2 + − = −

= − ( )

y H H=(-2;-3)

Coordinate del punto medio H:

AREA = AB ⋅ CH

2 = 4, 5⋅ 6, 7

2 = 15,1 m 2

m , )

( )

(

CH = − 21 2 + − 33 2 = 9 + 36 = 45 = 6 7 Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati:

P = AB + BC + CA = 4,5 + 7,1 + 7,1 = 18,7 m

Calcolo dell’area:

(16)

Esercizi

(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)

Riferimenti

Documenti correlati

La mediana di un triangolo relativa a un lato è il segmento che unisce il punto medio del lato con il vertice opposto..

Un piano divide lo spazio in due parti ciascuna delle quali si dice semispazio e tale piano è l’origine di ciascun

Un vertice del triangolo ` e nell’origine. Ai vertici di questo triangolo ci sono tre cariche elettriche puntiformi Q. In una prima fase, l’interruttore T ` e aperto da molto tempo..

[r]

Le piante di tipo A rappresentano il 70% del totale, tutte le altre sono di tipo B.. Un parassita colpisce il 5% delle piante di tipo A e il 12% delle piante di

Scrivi l’equazione della retta parallela e della retta perpendicolare alla retta data, entrambe passanti per A, poi disegna le tre rette... Determina le coordinate dei vertici

Un triangolo isoscele ha la base di 34 cm e il lato obliquo misura 10 cm in meno della base... COMPLETA LA DESCRIZIONE DEI TRIANGOLI CLASSIFICATI SECONDO

In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa al lato maggiore (ipotenusa) divide tale lato in due parti uguali alla mediana stessa. (la mediana è uguale alla