Funzioni IMPLICITE Funzioni IMPLICITE

(1)

Funzioni IMPLICITE Funzioni IMPLICITE

Data l'equazione ( , ) q f x y f ( , ) y  0

- Esiste y  y x ( ) tale che ( , ( )) f x y x  0?

- Se esiste, y  y x ( ) ? è unica

(2)

3 y  2 x

2

   x 1 0 3 y  2 x x  1 0



3 ( ) 2

2

1 0

! ( ) : y x y x x x 

  



3 ( ) 2 1 0 ed è

! ( ) : y x y x x   x

  

ed è

1

₂

( ) 1 ( 2 1) y x  3  x   x

3 ESISTENZA ED UNICITA’

ESISTENZA ED UNICITA’

(3)

2 2

4 0 y  x   4 0 y  x



2

1

( ) e ( ) : y x y x





2 2 2 2

1 2

2 1

( ) 4 0 ( ) 4 0

( )

e

( )

y y

y x

₁

( )  x   y x

₂

( )  x   e sono

y y

2 2

1

( ) 4 e

2

( ) 4

y x

₁

( )  4  x e ( ) y x

₂

   4 x

y x x y x x

ESISTENZA

(4)

2 2

3 y  x   1 0 3 y  x  1 0



( x ) :

 y

2 2

3 y x ( )  x   1 0

NON ESISTENZA

(5)

Nel caso di sola ESISTENZA ESISTENZA

2 2

4 0 y    x

si ottiene l’unicità l’unicità aggiungendo un’altra condizione

un altra condizione

2

2 2

4 0

! ( ) con ( ) 4 : y x

y x y x x

  

   

2 2

(0) 2 ! ( ) con ( ) 4 :

( ) 4 0 (0) 2

y x y x x

y 

 

2 2

x  y ( ) 4 x   0 (0) e y  2

2

2 2

4 0

y  x   4 0

₂

(0) 2 ! ( ) con ( ) y x y x 4 x : y x

y     

  

2 2

x  y ( ) 4 x   0 (0) e y   2

(6)

2

( ( )) : , ( , ) 0

: : x D x y x A

y D

f A   f x y 



  

 

- , ( , ( )) -

: :

, ( , ( )) 0 x D x y x A x

y D

D f x y x



   

  

 

,

( , ( si chia

)) 0 ma

x D f x y x

 

FUNZIONE IMPLICITA definita FUNZIONE IMPLICITA definita FUNZIONE IMPLICITA definita FUNZIONE IMPLICITA definita

dall’equazione f(x,y)=0

(7)

NB:

NB: A volte la funzione implicita A volte la funzione implicita NB:

NB: A volte la funzione implicita A volte la funzione implicita y(x):f(x,y(x))=0

y(x):f(x,y(x))=0 esiste esiste ma ma non si riesce a non si riesce a ff

darne la forma esplicita darne la forma esplicita

Per es. le funzioni definite dalle equazioni Per es. le funzioni definite dalle equazioni

8 2

o s 0

0 in

y   y x  y   x y 

NON SI ESPRIMONO PER MEZZO DI NON SI ESPRIMONO PER MEZZO DI NON SI ESPRIMONO PER MEZZO DI NON SI ESPRIMONO PER MEZZO DI

FUNZIONI ELEMENTARI

(8)

Sotto quali condizioni l’equazione Sotto quali condizioni l’equazione

f(x y(x))=0 f(x y(x))=0 f(x,y(x))=0 f(x,y(x))=0

definisce una funzione definisce una funzione

implicita?

(9)

TEOREMA DI DINI TEOREMA DI DINI

2

0 0

: , ( , )

f A     x y  A

( ) 0

f x y 

 ₀ ₀

,

( , ) 0

,

Se f f_x f cont_y f x y

inue in A

 





0 0

( , ) 0

fy x y 





0 0

un intorno I di x e un intorno J di y :







0 0

ed ! : :

( ) e

Allora ( , ( )) 0

I J A y I J

y y x f x y x x I

   





  

 

( ) è derivabile

( , ( ))

y x x I

f x y x

 





 ( , ( )) e ( )

( , ( ))

x y

f x y x y x f x y x



  

(10)

II

3 4 2

y   x

JJ y₀  3

0 1

x  

2 2

( , ) 4 0

f x y  x  y  

(11)

n

h t>0

A  A t A 

Forme quadratiche Forme quadratiche

n

se anche t>0

A   : x  A tx   A

• xx

1 2 1 2

( , , ..., ) ( , , ..., )

Se f tx tx tx

_n

 t f x x

^

x

_n

f si dice OMOGENEA di grado f si dice OMOGENEA di grado  

NB:

NB: Se f è omogenea di grado 0Se f è omogenea di grado 0  NB:

NB: Se f è omogenea di grado 0 Se f è omogenea di grado 0 

1 2 1 2

( , , ...,

_n

) ( , , ...,

_n

)

f tx tx tx  f x x x



 f è costante sulle semirette uscenti dall’originef è costante sulle semirette uscenti dall’origine

1 2 1 2

( , , ,

_n

) ( , , ,

_n

)

f f

(12)

Si chiamano

Si chiamano FORME QUADRATICHE FORME QUADRATICHE ii Si chiamano

Si chiamano FORME QUADRATICHE FORME QUADRATICHE i i polinomi omogenei di grado 2 nelle polinomi omogenei di grado 2 nelle

p g g

variabili x

¹¹

, x , x

²²

, …, x , …, x

ⁿⁿ

Es:

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2

( , , ) 2 3 2

( ) 3

q x x x x x x x x x x x x

q x x x x x x

     

 

1 2 1 2 1 2

( , ) 3

q x x  x  x  x x

NB

1 2 1 2

( , , ..., ) 0

NB:

se ... 0

q x x (

₁

,

₂

, ..., x

_n

)  0 se x

₁

 x

₂

 ...  x

_n

 0

q x x x x x x

(13)

Definizioni Definizioni

•• q( q(x x)) definita positiva definita positiva se se  x  0 ( ) q x  0

(negativa)

(negativa) se se id fi i i i id fi i i i

 ^{ } ^x ^{0 ( )} ^q ^x ^ ⁰ 

•• q( q(x x)) semidefinita positiva semidefinita positiva se se

( ) 0 ed 0 : ( ) 0

q x   x   x q x 

(negativa)

(negativa) se se

( ) 0 ed 0 : ( ) 0 q x   x   x q x 

(negativa)

(negativa) se se

 ^{q x} ^{( )} ^ ⁰ ^ ^x ^ed ^{ } ^x ^{0 : ( )} ^{q x} ^ ⁰ 

•• q( q(x x)) indefinita indefinita se se

 

( ) 0 ( ) 0

n n

   

  x 

ⁿ

e :   y 

ⁿ

q x ( )  0 e ( q y )  0

(14)

Si chiama

MATRICE ASSOCIATA MATRICE ASSOCIATA

^alla^alla

forma quadratica q(x

forma quadratica q(x xx xx )) lala matricematrice forma quadratica q(x

forma quadratica q(x¹¹,x,x²²,…,x,…,xⁿⁿ),), la la matrice matrice avente

avente

sulla diagonale sulla diagonale

principale principale

2 2 2

coefficienti di coefficienti di

ee alal

posto (i,j) e (j,i) posto (i,j) e (j,i)

il coefficiente delil coefficiente del

2 2 2

1

, ,

2

...,

_n

x x x

e

e al al

posto (i,j) e (j,i) posto (i,j) e (j,i)

il coefficiente del il coefficiente del termine x

termine xⁱⁱxx^jj moltiplicato per 1/2moltiplicato per 1/2

E i

2 2 2

(

Esempio:

) 3 2

q x x (

₁

,

₂

, x

₃

)  3 x

₁

 x

₂

 x

₃

 x x

₁ ₂

 2 x x

₁ ₃

q x x x  x  x  x  x x  x x

3 1 / 2  1

 3 1 / 2 1 

1 / 2 1 0

A

 

 

  

 1 0 1 

 

   

 

(15)

Un

Un minore di ordine k minore di ordine k costituito dagli costituito dagli Un

Un minore di ordine k minore di ordine k costituito dagli costituito dagli

elementi comuni a k righe e k colonne elementi comuni a k righe e k colonne

ii aventi gli stessi indici, si chiama

aventi gli stessi indici, si chiama minore minore principale di ordine k

principale di ordine k principale di ordine k principale di ordine k Se in particolare si ha un

Se in particolare si ha un minore minore Se in particolare si ha un

Se in particolare si ha un minore minore principale

principale ottenuto dalle ottenuto dalle prime k righe e prime k righe e dalle prime k colonne

dalle prime k colonne, esso si chiama , esso si chiama minore principale di guida

minore principale di guida (o minore (o minore minore principale di guida

minore principale di guida (o minore (o minore principale di nord

principale di nord--ovest) ovest)

(16)

ESEMPIO ESEMPIO

1 0 3 2 1 4 1 2

 

 

ESEMPIO

¹ ⁴ ¹ ²

1 1 0 1

A   

 

0 1 2 3

 

 

0 3

Minore del secondo ordineMinore del secondo ordine (prime due (prime due

4 1

righe, seconde due colonne)righe, seconde due colonne)^(p^(p

0 1 2 3

Minore principale del secondo ordine Minore principale del secondo ordine (terza e quarta riga, terza e quarta (terza e quarta riga, terza e quarta

2 3

1 0 3

colonna) colonna)

1 0 3

1 4 1

Minore principale di guida del terzo Minore principale di guida del terzo ordine

ordine (prime tre righe, prime tre (prime tre righe, prime tre

1 1 0

^colonne)^colonne)

(17)

Data la

Data la forma quadratica forma quadratica q( q(x x)) ^{, sia} ^{, sia} ^{A la} ^{A la}

matrice ad essa associata matrice ad essa associata

•• q( q(x x)) definita positiva definita positiva  

tutti i minoritutti i minori

matrice ad essa associata matrice ad essa associata

•• q( q(x x)) definita positiva definita positiva  

tutti i minori tutti i minori principali di guida di A sono >0

principali di guida di A sono >0

d fi i i

•• q( q(x x)) definita negativa definita negativa  

tutti i minori tutti i minori principali di guida di ordine pari sono >0 principali di guida di ordine pari sono >0

mentre tutti quelli di ordine dispari sono <0 mentre tutti quelli di ordine dispari sono <0

(( )) id fi it id fi it iti iti

i ii i ii ii

•• q( q(x x)) semidefinita semidefinita positiva positiva  

tutti i minori tutti i minori principali di A sono

principali di A sono 00

•• q( q(x x)) semid semidefinita efinita negativa negativa  

^{tutti i}^{tutti i}

minori principali di ordine pari sono

minori principali di ordine pari sono 0 0 mentre tutti quelli di ordine dispari sono mentre tutti quelli di ordine dispari sono 00

(18)

2 2

1 2 1 2 1 2

( , )

Esempio: p q x x q (

₁

,

₂

)  x

₁

 x

₂

 4 x x

₁ ₂

1 2 A  

  1 2

1 1  0 4  0

2 1 A   

  1 1 0 4 0

2 1

    

Minore principale di guida dispari >0 Minore principale di guida dispari >0

Mi o e i i le di id i <0 Mi o e i i le di id i <0 Minore principale di guida pari <0 Minore principale di guida pari <0

Non sono soddisfatte le condizioni precedenti Non sono soddisfatte le condizioni precedentipp



(

₁ ₂

) è i d fi i

( , ) è indefinita q x x

Infatti, per es., q(

Infatti, per es., q(--1,1)=1,1)=--2<0 e q(1,1)=6>02<0 e q(1,1)=6>0

(19)

2 2

1 2 1 2 1 2

( , )

Esempio: p q x x q (

₁

,

₂

)  x

₁

 x

₂

 2 x x

₁ ₂

1 1

A   

  1 1

1 1 0  0

1 1 

A       1 1 0 0 1 1

  



Tutti i minori principali sono Tutti i minori principali sono 00



1 2

( , ) è semidefinita positiva q x x (

₁

,

₂

) è semidefinita positiva q x x

 

²

I f tti (

1 2

) 

1 2



Infatti ( , ) -

ed è =0 per e >0 altrove q x x x x

x x



1 2

ed è =0 per x  x e >0 altrove