• Algoritmo di diagonalizzazione.

LeLing16: Ancora Autovalori e Autovettori.

A ¯ rgomenti svolti:

• Matrici diagonalizzabili.

• Algoritmo di diagonalizzazione.

• Matrici simmetriche.

E ¯ sercizi consigliati: Geoling 16 .

Matrici diagonalizzabili: il bisogno di abbastanza au- todimensione.

Il modo di ricavare la formula di Binet per i numeri di Fibonacci ci ha fatto vedere l’importanza del concetto di autovalori ed autovettori di una matrice quadrata A.

Ricordate che abbiamo cercato di scrivere una matrice data A come:

M DM ⁻¹ = A , cio` e, ci siamo chiesti se la matrice A ` e diagonalizzabile.

Abbiamo visto che se A ` e diagonalizzabile, allora la matrice diagonale D ha sulla diagonale gli autovalori <sup>1</sup> di A, ciascuno con la sua molteplicit` a e le colonne della matrice M sono gli autovettori di M .

Inoltre abbiamo accennato, che non ` e vero che esistono sempre M e D , ad esempio la matrice A =  0 1

0 0



non ` e diagonalizzabile.

Per capire un po’ di pi` u perch´ e a volte esistono M e D e a volte non esistono, occorre studiare pi` u in dettaglio l’algoritmo usato per ricavare D e M in modo astratto.

Per fare partire l’algoritmo di diagonalizzazione ricordate che la matrice A ` e quadrata n × n.

1 Ricordate che questi numeri sono, per forza e definizione, le radici del polinomio caratteristico di

A . Dunque, puo capitare che questi numeri siano complessi e non reali.

La prima tappa dell’algoritmo di diagonalizzazione consiste nel calcolo del poli- nomio caratteristico P (X) della matrice A. Notiamo che il grado di P (X) ` e uguale all’ordine della matrice A, cio` e se A ` e una matrice n × n allora deg(P ) = n.

Una volta fatto questo, ci si pone il problema del calcolo delle radici di P (X), cio` e gli autovalori di A. Dunque dobbiamo calcolare le soluzioni di

P (x) = x ⁿ + a n−1 x ⁿ⁻¹ + · · · + a 1 x + a 0 = 0 ² .

Dalla teoria sappiamo che esistono al pi` u n radici λ <sub>1</sub> , λ <sub>2</sub> , · · · , λ <sub>n</sub> , non necessaria- mente distinte <sup>3</sup> . Ad esempio, se n = 2, il polinomio caratteristico della matrice identit` a Id =  1 0

0 1



`

e P (X) = (X − 1) ² = X ² − 2X + 1. Quindi le soluzioni di x ² − 2x + 1 = 0 sono coincidenti λ ₁ = λ ₂ = 1.

Allora dopo aver calcolato tutte le radici di P (x) = 0 ci rimangono solo r radici distinte, cio` e λ <sub>1</sub> , λ <sub>2</sub> , · · · , λ <sub>r</sub> . Ricordate che questo numero r di radici diverse ` e minore o uguale a n l’ordine della matrice A, in quanto λ ₁ , λ ₂ , · · · , λ _r sono radici di P (x) = 0.

La seconda tappa e ultima tappa consiste nella risoluzione dei sistemi omogenei per ricavare le colonne della matrice M , cio` e nel calcolo degli autovettori. Dunque, si inizia risolvendo il sistema omogeneo associato al primo autovalore λ ₁ :

A − λ ₁ Id = 0 ,

sappiamo della teoria che questo sistema omogeneo ha almeno una soluzione non banale M ₁ , ma pu` o darsi che ne abbia di pi` u. La teoria ci dice che in linea di mas- sima esistono M ₁ , M ₂ , · · · , M _k soluzioni linearmente indipendenti che generano tutte le soluzioni di questo sistema, cio` e M 1 , M 2 , · · · , M k sono una base del sottospazio delle soluzioni di A − λ ₁ Id = 0. Possiamo chiamare auto-dimensione , dell’autovalore λ ₁ il numero k delle soluzioni linearmente indipendenti M ₁ , M ₂ , · · · , M _k e possiamo metterle il nome simbolico a 1 . Ad esempio a 1 = 2 significa che il sottospazio delle soluzioni di A − λ ₁ Id = 0 ha dimensione 2.

2 Storicamente il polinomio caratteristico nasce con il lavoro di Luigi Lagrange su le perturbazioni secolari delle orbite planetarie vicine alle orbite di Keplero. Dunque, la equazione det(A − λId) = 0 era chiamata equazione secolare [Arnold, pag.45]. Ancora oggi in Astronomia, Fisica e Chimica questa equazioni si la conosce come equazione secolare [McSi].

3 Queste radici possono essere numeri complessi non reali. Ecco uno esempio P (x) = x ² + 1 che e’ il polinomio caratteristico della matrice J =

 0 −1

1 0



.

Dopo si ripete il procedimento per il secondo autovalore λ ₂ , cio` e si risolve il sistema omogeneo

A − λ ₂ Id = 0 ,

trovando una base N ₁ , N ₂ , · · · , N _l delle soluzioni di questo sistema. Dunque l ` e l’auto- dimensione di λ <sub>2</sub> , cio` e a ₂ = l .

L’algoritmo continua nello stesso modo, cio` e risolvendo i sistemi omogenei associati a ciascuno degli autovalori (distinti) λ ₁ , λ ₂ , · · · , λ _r della matrice che si desidera diago- nalizzare, fino ad arrivare all’ultimo autovalore λ _r .

A questo punto possiamo contare quante colonne abbiamo per costruire la matrice M . Allora, ci sono a ₁ colonne per il primo autovalore, a ₂ per il secondo e cos`ı via fino ad a _r per l’ultimo. Dunque abbiamo ricavato

a = a ₁ + a ₂ + · · · + a _r

colonne per costruire la matrice M . Lasciatemi ⁴ chiamare autodimensione questo nu- mero intero a. Poich´ e M ` e una matrice n × n abbiamo bisogno di n colonne, cio` e deve soddisfare:

a = a ₁ + a ₂ + · · · + a _r = n.

Infatti, non ` e difficile dimostrare che questa condizione ` e pure sufficiente.

Teorema fondamentale della diagonalizzazione: Una matrice A ` e diagonalizz- abile se e solo se <sup>5</sup> ha abbastanza autodimensione, cio` e

a = a ₁ + a ₂ + · · · + a _r = n .

Ad esempio, se il polinomio caratteristico P (X) della matrice A ha tutte le radici diverse, risulta a 1 = a 2 = · · · = a n = 1, dunque la matrice A ` e diagonalizzabile. Poich´ e questa osservazione ` e interessante la mettiamo come corollario:

Corollario A: Se il polinomio caratteristico P (X) di una matrice A ha n radici diverse allora la matrice A ` e diagonalizzabile.

4 Questo numero non si trova definito in letteratura, perlomeno in quella a me nota.

5 Si sottointende diagonalizzabile su i numeri complessi. Per il caso reale e’ necessario e sufficente

aggiungere la ipotesis che ogni autovalore e’ reale.

Quando un polinomio P (X) ha n radice diverse?

E interessante ricordare che P (X) ha n radici distinte se e solo se P (X) ` ` e coprimo con P ⁰ (X) = ^dP _dx il suo polinomio derivato. Quindi l’algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore fornisce un modo per decidere se P (X) e P ⁰ (X) sono o no coprimi.

Vediamo come esempio la matrice A =  1 1 1 0



di Fibonacci. Il polinomio caratter- istico ` e P (X) = X ² − X − 1 e P ⁰ (X) = 2X − 1 . Siccome P ⁰ (X) non divide P (X), segue che P (X) e’ coprimo con P ⁰ (X) e dunque la matrice A e’ diagonalizzabile, inquanto il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici diverse ⁶ .

Possiamo raccogliere tutto questo nel seguente corollario.

Corollario B: Sia P (X) il polinomio carateristico di una matrice A. Se P (X) ` e coprimo con P <sup>0</sup> (X) allora la matrice A ` e diagonalizzabile.

Matrici diagonalizzabili: Simmetria.

Cos`ı come il calcolo del massimo comune divisore tra P (X) e P <sup>0</sup> (X) fornisce un criterio che permette di stabilire se una matrice ` e diagonalizzabile, esistono altri criteri altret- tanto utili. In seguito ne presentiamo uno abbastanza semplice. Eccolo qua:

Teorema della simmetria: Una matrice simmetrica A ` e diagonalizzabile. Anzi, ogni autovalore ` e un numero reale.

Ricordate che una matrice A = (a _ij ) si dice simmetrica se a _ij = a _ji per ogni i, j . Dunque la matrice A ` e simmetrica se ` e simmetrica rispetto alla diagonale principale. Ad esempio la matrice A =





1 2 3 2 0 1 3 1 1



 ` e diagonalizzabile e il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici reali.

6 Notare che in questo esempio siccome n = 2 , si puo’ direttamente usare la formula ^−b±

√ b

−4c

2 per

il calcolo delle radici del’equazione x ² − bx − c = 0 . Dunque il criterio interessa quando n ≥ 3 .

Osservare che i Corollari A e B non sono collegati con questo teorema. Ad esempio la matrice identit` a ` e simmetrica e diagonalizzabile ma il suo polinomio caratteristico ha tutte le radici uguali tra di loro. Anzi, si potrebbe pensare che la bellezza della simmetria rispetto alla diagonale principale ` e la responsabile della diagonalizzazione. Ci si potrebbe chiedere se una matrice simmetrica rispetto alla diagonale secondaria ` e o no diagonalizzabile, cio` e una matrice del tipo





a b e c f b g c a



 ` e sempre diagonalizzabile? <sup>7</sup> Ma allora da dove nasce questo criterio della simmetria (e innanzitutto perch´ e ` e vero)??

La simmetria di una matrice A (rispetto alla diagonale principale) nasconde (ed ` e equivalente) un rapporto con il prodotto scalare v ^t .w tra colonne v, w ∈ R ^n,1 . Eccolo qua:

(A.v) ^t .w = v ^t .(A.w)

Penso che la seguente dimostrazione contenga qualche spiegazione sulla natura del criterio.

(i) Invitiamo al lettore a leggere l’Appendice A per la dimostrazione che gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti numeri reali.

Vogliamo dimostrare che la matrice simmetrica A ha abbastanza autodimensione, cio` e vogliamo usare il Teorema fondamentale della diagonalizzazione.

Allora assumiamo il contrario, cio` e a < n. Questo vuol dire che siamo riusciti a trovare a colonne C <sub>1</sub> , C <sub>2</sub> , · · · , C <sub>a</sub> che sono autovettori di A. Possiamo chiamare C il sottospazio generato dalle colonne C 1 , C 2 , · · · , C a . Sia C <sup>⊥</sup> il complemento ortogonale di C , cio` e R ⁿ = C ⊕ C ^⊥ . Notiamo che l’ipotesi a < n ` e equivalente a dim(C ^⊥ ) 6= 0.

Quindi se dimostriamo dim(C ^⊥ ) = 0 otteniamo la tesi.

Vediamo allora come sfruttare della simmetria di A. Ecco qua l’osservazione chiave:

A(C ^⊥ ) ⊂ C ^⊥ .

Dunque possiamo cercare una NUOVA colonna N in C ^⊥ (cio` e, fuori C ) soluzione di un’equazione del tipo:

A.N = λN

7 Per il lettore interesato la risposta ` e: NO.

Questo sar` a certamente possibile per un numero reale λ ∈ R adeguato. Dunque se dim(C <sup>⊥</sup> ) > 0 possiamo aumentare l’autodimensione a. Ma questo non ` e possibile in quanto l’autodimensione a ` e fissa, cio` e a ` e un numero associato alla matrice A che non cambia nel tempo. Conclusione: dim(C <sup>⊥</sup> ) = 0 e allora a = n. Quindi una matrice simmetrica ` e diagonalizzabile come conseguenza del teorema fondamentale.

QED

Apendice A. Autovalori reali .

Sia P (X) il polinomio caratteristico della matrice simmetrica A ∈ R ^n,n e sia λ ∈ C una radice di P (x) = 0. Vogliamo fare vedere che λ ` e un numero reale. Notiamo che questo

`

e equivalente a provare che la parte immaginaria Im(λ) ` e nulla, cio` e Im(λ) = ^λ−λ _2i = 0.

Quindi basta dimostrare che λ = λ, cio` e che λ ` e uguale al suo coniugato.

Allora se λ ∈ C `e un autovalore, esiste una colonna M ∈ C ^n,1 tale che:

AM = λM.

Allora la magia consiste nell’usare l’operatore stella , cio` e se M ` e una matrice M ^∗ := M ^t . Dunque applicando stella a destra e sinistra risulta:

(AM ) ^∗ = (λM ) ^∗ = M ^∗ A ^∗ = M ^∗ A = λM ^∗ . Notare che A ^∗ = A poich´ e A ` e reale e simmetrica.

Quindi moltiplicando per M segue che

λM ^∗ M = M ^∗ AM = λM ^∗ M

poich´ e M 6= 0 risulta M ^∗ M 6= 0 da cui segue che λ = λ ∈ R.

QED

References

[Arnold] Arnold, V.I.: Lectures on Partial Differential Equations , Springer Universitext 2004.

[McSi] McQuarrie, D.A. and Simon, J.D.: CHIMICA FISICA Un approcio molecolare

, Trad. di M. Roncaglia, revisione di C. Galli. Ed. Zanichelli, 2000.