Diagonalizzazione 11/12
Riassunto
Sia A ∈ Rn,n una matrice quadrata. Se v è un autovettore di A con autovalore λ allora qualsiasi multiplo non-nullo di v è un autovettore con lo stesso autovalore λ. Invece, si dimostra che autovettori v1, v2, v3. . . con autovalori distinti sono per forza linearmente indipendenti.
Segue che, se il polinomio caratteristico p(t) di A ha n radici distinte in R allora Rn ha una base di autovettori {v1, . . . , vn}: Avi = λivi, λi ∈ R, i = 1, . . . , n. (1) Rispetto a questa base, l’endomorfismo Rn → Rn che manda v in Av è rappresentato dalla matrice diagonale D con elementi λ1, . . . , λn lungo il diagonale.
Più esplicitamente, sia P la matrice invertibile le cui colonne sono v1, . . . , vn. Segue da (1) che AP = P D, quindi
P−1AP = D oppure A = P DP−1. (2) Se esiste una tale matrice P (equivalentemente, una base di autovettori) la matrice A si dice diagonalizzabile.
Ogni matrice diagonale (compreso 0 e I ) è ovviamente dia- gonalizzabile, quindi non è necessario che le radici di p(t) siano distinti. Ma se p(t) ammette una radice non-reale, non c’è speranza di soddisfare (2) con matrici P , D ∈ Rn,n.
Inoltre, ci potrebbero essere problemi se esiste una radice rea- le con molteplicità maggiore a 1. Ad esempio, 0 1
0 0
!
non è diagonalizzabile, neanche con P , D ∈ C2,2.
