Textes des exercices non corrigés

(1)

Vibrations des systèmes mécaniques

Textes des exercices non corrigés

TEXTES DES EXERCICES NON CORRIGÉS...1

MILIEUX DISCRETS ...3

E

XERCICE

MEC-1 : P

RÉCONTRAINTES DANS UN RESSORT

... 3

E

XERCICE

MEC-2 : M

ISE EN ÉQUATIONS PAR LE

PFD

ET PAR LE

PTV ... 3

E

XERCICE

MEC-3 : P

ETITS MOUVEMENTS D

’

UN SATELLITE GÉOSTATIONNAIRE

... 3

E

XERCICE

MEC-4 : M

ODÉLISATION ÉLÉMENTAIRE D

’

UNE FUSÉE

... 4

E

XERCICE

MEC-5 : T

AMBOUR D

’

UNE MACHINE À LAVER

... 4

E

XERCICE

MEC-6 : P

ETITS MOUVEMENT

3D

D

’

UNE BALANÇOIRE

... 5

MILIEUX CONTINUS...7

E

XERCICE

MMC-1 : M

ODÉLISATION SIMPLE D

’

UNE CHAUSSÉE

... 7

E

XERCICE

MMC-2 : I

MMEUBLE SOUMIS À UNE SECOUSSE SISMIQUE

... 7

SYSTÈMES À 1 DDL...9

E

XERCICE

VIB1-1 : L

IMITE DE L

’

HYPOTHÈSE DES PETITS MOUVEMENTS

... 9

E

XERCICE

VIB1-2 : E

XCITATION D

’

UN AMORTISSEUR EN DÉPLACEMENT IMPOSÉ

... 9

E

XERCICE

VIB1-3: P

ASSAGE D

’

UNE REMORQUE SUR UNE BOSSE

... 10

SYSTÈMES À N DDL...11

E

XERCICE

VIBN-1 : P

ROBLÈME DE LA CORDE TENDUE

... 11

E

XERCICE

VIBN-2 : D

ÉTERMINATION DE LA BASE MODALE

... 11

E

XERCICE

VIBN-3 : M

ODES MULTIPLES

... 11

E

XERCICE

VIBN-4 : M

ATRICE DE FLEXIBILITÉ

... 12

E

XERCICE

VIBN-5 : O

SCILLATIONS LIBRES DUES À UNE PERTE DE MASSE

... 12

E

XERCICE

VIBN-6 : M

ODÉLISATION D

’

UNE SUSPENSION

... 12

E

XERCICE

VIBN-7 : B

OITE DE VITESSE

... 13

VIBRATION DES MILIEUX CONTINUS ...15

E

XERCICE

VIB-MMC-1 : M

ODES DE VIBRATION D

’

UNE BARRE

... 15

E

XERCICE

VIB-MMC-2 : R

ÉPONSE DYNAMIQUE D

’

UNE BARRE

... 15

E

XERCICE

VIB-MMC-3 :

RÉPONSE FORCÉE D

’

UNE BARRE

... 15

E

XERCICE

VIB-MMC-4 : R

ÉSIDUS PONDÉRÉS POUR UN

P

B DE FLEXION

... 16

E

XERCICE

VIB-MMC-5 : A

PPROXIMATION DE LA RÉPONSE D

’

UNE CHAUSSÉE

... 16

E

XERCICE

VIB-MMC-6 : A

PPROXIMATION

EF

POUR UN BARREAU

... 17

E

XERCICE

VIB-MMC-7 : P

B DE RÉVISION

« D

ISQUE

-

POUTRE

»... 17

E

XERCICE

VIB-MMC-8 : P

B DE RÉVISION

«

SECOUSSE SISMIQUE

» ... 18

E

XERCICE

VIB-MMC-9 : P

B DE RÉVISION

«

POUTRE

-

MASSE

»... 18

(2)

(3)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Mise en équations

Milieux discrets

Exercice MEC-1 : Précontraintes dans un ressort

Thème : Développement limité de l’énergie de déformation d’un ressort précontraint dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements. Influence sur les vibrations du système mécanique.

Soit un ressort linéaire de raideur k , de longueur à vide A

_o

. Le déplacement relatif de l’extrémité est défini par rapport à une position d’équilibre du système mécanique, la longueur du ressort à l’équilibre est A

_e

.

u G

u v

A

_e

Pour des déplacements plan ( , ) u v , supposés du premier ordre, montrez que l’expression de l’énergie de déformation développée jusqu’au deuxième ordre, est de la forme :

E

_p

k

_e

u

_e

u

^e

v

e

= ⎡ − + + − + −

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 1

2 (

₀

)

² ²

2 (

₀

) (

⁰

)

²

A A A A A A

A Application

Considérons une plaque carrée de masse m de coté a . Cette plaque articulée en O, est reliée au bâtit par deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide A

_o

. A l’équilibre, dans le champ de pesanteur, la plaque est horizontale et le ressort k

₁

n’est pas contraint.

Écrivez l’équation des petits mouvements par rapport à l’équilibre.

y G

_o

O

G

x

_o

k₁ k₂

P

g G

Exercice MEC-2 : Mise en équations par le PFD et par le PTV

Thème : Exercice de mise en équations par les deux principes PFD et PTV

Considérons une tige T de masse négligeable articulée en O tournant à une vitesse angulaire constante ω . Un point matériel P de masse m est astreint à se déplacer sans frottement le long de cette tige. Ce point est relié au bâtit par un ressort linéaire de raideur k de longueur à vide A

_o

. Déterminer l’équation du mouvement et la valeur du couple moteur nécessaire pour obtenir une vitesse de rotation constante.

y G

_o

O

G

x

_o

k m

G

g

P T

G u

ω t

Effectuez la mise en équations par le Principe Fondamental de la Dynamique.

Effectuer la mise en équations par le Principe des Travaux Virtuels.

Exercice MEC-3 : Petits mouvements d’un satellite géostationnaire

Thème : La mise en équations avec, prise en compte des forces gravitationnelles, et linéarisation des vitesses dans l’énergie est intéressante.

On se propose d’étudier le comportement d’un satellite géostationnaire légèrement écarté de sa trajectoire théorique. Le repère ( , T x y z G G G

_o

,

_o

,

_o

)

est supposé galiléen. Le satellite est assimilé à un point matériel de masse m . A l’équilibre il décrit un cercle de rayon R d’axe ( , T z G

_o

)

avec la même vitesse angulaire Ω que la terre, sa position est repérée par TS JJJG

_o

= Ru G

.

On utilise comme paramètres de position deux angles θ ϕ , et une translation ρ

telle que ^TS ^JJG ⁼ ^R ( ¹ ⁺ ^ρ ) ^u ^G ^.

z G

_o

x G

_o

y G

₀

v G

₁

u G

₁

u G

S

₀

S

Ωt + θ ϕ

θ ϕ

Établir les équations des petits mouvements par rapport à la trajectoire théorique du satellite.

(4)

Exercice MEC-4 : Modélisation élémentaire d’une fusée

Thème : Mise en équations d’un système à plusieurs degrés de liberté. Linéarisation et écriture matricielle des équations.

La figure ci contre représente une modélisation élémentaire d’une fusée (structure élastique élancée). Les deux tiges identiques, masse m , longueur 2a sont reliées par un pivot parfait et un ressort de torsion de raideur k . Le ressort est non contraint lorsque les tiges sont alignées.

La propulsion est modélisée par une force F G

de module constant faisant un angle α

constant avec l’étage du bas de la fusée (défaut dans la propulsion).

Effectuez la mise en équations de ce modèle.

z G

_o

g G

α θ

₂

F G

k

θ

₁

Linéariser les équations en supposant que tous les déplacements autres que le déplacement en z restent petits.

Donnez la forme matricielle des équations en θ

Exercice MEC-5 : Tambour d’une machine à laver

Thème : Mise en équations d’un problème avec couplage gyroscopique, l’intérêt de cet exercice porte sur la

« linéarisation » de l’énergie cinétique

On se propose d’étudier le comportement vibratoire d’une machine montée sur un support élastique.

La machine est modélisée par le support (S2) de masse m

₂

, d’inertie I par rapport à l’axe ( , A z G

_o

)

. Elle repose sans frottement sur le plan horizontal ( , O x y G G

_o

,

_o

)

. Elle est ramenée vers sa position d’équilibre

( x

_A

, y

_A

, ) θ = (0, 0, 0) par deux ensembles « ressorts - amortisseurs » identiques de raideur k

₂

et de coefficient d’amortissement b

₂

S

₁

S

₂

2a 2b

A

x G

_o

y G

₀

z G

_o

A

Le tambour ou rotor est un solide de révolution (S1) de masse m

₁

, de centre de masse G

₁

avec AG

₁

= h , ses moments d’inertie en G

₁

sont notés ( , , ) A A C . Ce solide monté sur une rotule en A est ramené vers sa position d’équilibre

( , ) α β = (0, 0) par deux ensembles « ressorts - amortisseurs » identiques de raideur k

₁

et de coefficient d’amortissement b

₁

. La vitesse de rotation Ω par rapport à son axe de révolution est imposée constante.

A l’équilibre les ressorts sont non contraints. On notera { } X

^T

= ⁽ x

A

^, y

A

^{, , , )} θ α β le vecteur des 5 paramètres du mouvement que l’on suppose petits.

Effectuez la mise en équations de ce problème.

Le rotor a maintenant un défaut d’équilibrage. Celui ci est modélisé par une surcharge m placée en P tel

que

₁ ₁

AP = 2 z + dx JJJG A G G

. Nous supposerons que la masse m est négligeable devant m

₁

et m

₂

. Donnez la nouvelle équation

matricielle des petits mouvements.

(5)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Mise en équations

Exercice MEC-6 : Petits mouvement 3D d’une balançoire

Thème : Prise en compte et linéarisation des équations de liaison. Écriture matricielle des équations du mouvement Considérons un pendule bifilaire constitué d’une tige T de masse m , de

longueur 2b relié au bâtit par deux fils inextensibles de longueur A .

Pour décrire les mouvements en trois dimensions du pendule, nous proposons les

cinq paramètres primitifs suivants :

^A

g G y G

_o

T z G

_o

A' B'

B

2a

A

G

Position du centre de masse G : x y z , , − A et deux angles d’Euler ψ / z ^G

_o

et θ / n ^G .

Exprimer, dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, les deux équations de liaison.

En déduire les expressions de z et θ en fonction de x y , , ψ . Calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.

En déduire les équations des petits mouvements.

(6)

(7)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Mise en équations

Milieux continus

Exercice MMC-1 : Modélisation simple d’une chaussée

Thème : Mise en équations d’un modèle poutre sur un support viscoélastique.

Nous cherchons la réponse dynamique d’une chaussée excitée par une charge F se déplaçant à une vitesse V . La chaussée est modélisée par une poutre élastique reposant sur un sol modélisé par une répartition uniforme d’appuis viscoélastiques de raideur k , et d’amortissement b .

F G G v

Chaussée

Mise en équations

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

Écrivez la forme intégrale correspondant au PTV de ce modèle Montrer l’équivalence de ces deux formulations

En déduire l’expression de l’énergie cinétique et de l’énergie de déformation de ce modèle

Exercice MMC-2 : Immeuble soumis à une secousse sismique

Thème : Mise en équations d’un modèle poutre avec un déplacement imposé.

Nous nous intéressons aux vibrations en flexion de la structure représentée par la figure ci contre. Le déplacement de la masse m est imposé (secousse sismique). La poutre élastique est de longueur A schématise le comportement en flexion d’un building.

Mise en équations

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

Écrivez la forme intégrale correspondant au PTV de ce modèle

g G y G

o

x G

_o

M

(ρ , E, I, S)

u ^G

t

Montrer l’équivalence de ces deux formulations

En déduire l’expression de l’énergie cinétique et de l’énergie de déformation de ce modèle

(8)

(9)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Systèmes à 1 DDL

Systèmes à 1 DDL

Exercice VIB1-1 : Limite de l’hypothèse des petits mouvements

Étudions le mouvement d’un disque homogène de masse m de rayon a qui roule sans glisser dans une gouttière cylindrique de rayon A + a .

Le repère ( , O x y z G G G

_o

,

_o

,

_o

)

lié à la gouttière est supposé galiléen.

Le champ de pesanteur est défini par g G = − g x G

_o

.

G y

_o

x G

_o

e G

_r

e G

_θ

O

P

θ

D I

g G

A l’instant initial le disque est lâché sans vitesse initiale depuis une position θ

_o

< π / 2

Effectuez la mise en équations par le Principe Fondamental de la Dynamique.

Effectuer la mise en équations par le Principe des Travaux Virtuels.

a) En utilisant des déplacements virtuels compatibles.

b) En introduisant un multiplicateur de Lagrange pour la condition de roulement sans glissement.

Donnez l’équation régissant les petits mouvements en θ , en déduire la période T

_o

des petites oscillations.

Comparaison avec la solution obtenue pour θ quelconque.

Exprimer θ en fonction de θ , en déduire l’intégrale donnant l’expression de la période T .

Pour exprimer cette intégrale sous forme d’une intégrale elliptique complète de première espèce, utilisez le changement de variable suivant:

sin( / 2) θ = sin( θ

_o

/ 2) sin( ) q On donne :

( )

/ 2 2

2

2 2

2 0

0

2 ! 2 2 ( !)

1 sin

n n

n

dq n

n k k q

π

^∞

=

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

− ∑

∫

En déduire la valeur de T et comparer avec T

_o

Exercice VIB1-2 : Excitation d’un amortisseur en déplacement imposé

Thème : Régime permanent harmonique d’un système avec amortissement.

Soit un solide (S) de masse m, de moment d’inertie I par rapport à l’axe

( , G z G

_o

)

.

Ce solide est relié au bâti par l’intermédiaire d’un dispositif d’excitation (E) articulé en B, et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement b articulé sur le solide en A. Le ressort de raideur k ramène le solide dans sa position d’équilibre définie par θ = 0 .

Toutes les liaisons sont supposées parfaites, le champ de pesanteur est pris en compte, et nous nous placerons dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements.

G

g G

x G

_o

θ

b (S)

B A

d a c

k (E)

y G

_o

Le dispositif d’excitation est animé d’un mouvement sinusoïdal u(t) = h cosωt Effectuez la mise en équations de ce problème.

Déterminer la réponse forcée en régime permanent.

Tracez la courbe d’amplitude pour d = 0.

Donnez la forme de la réponse complète sachant qu’à l’instant initial le système est à l’équilibre.

Justifiez la notion de régime permanent.

(10)

Exercice VIB1-3: Passage d’une remorque sur une bosse

Thème : Vibrations verticales d’une remorque, recherche de la solution générale.

On se propose d’étudier les oscillations verticales d’une remorque automobile se déplaçant avec une vitesse horizontale constante V. A l’instant initial la remorque est en équilibre et passe sur la bosse ( x = 0) .

La remorque est schématisée par une masse m, reliée à l’essieu par un ressort linéaire k et un amortisseur de coefficient visqueux b. La masse de la roue et de l’essieu est négligée. Les pneus sont supposés indéformables et la roue reste constamment en contact avec le sol.

Le profil de la route est défini par : ⁰ ^{≤ ≤} ^x Â ^{Y x} ^{( )} ⁼ â ( ^{1 cos(2} ⁻ ^π ^x ^{/ )} Â )

g G

x G

_o

b (S) k

m

G V

Effectuez la mise en équations en utilisant comme paramètre le déplacement par rapport à la position d’équilibre.

En déduire l’équation des petites oscillations de la remorque.

Résoudre ces équations pour déterminer la réponse dynamique de la remorque pour t > 0.

Donnez l’expression de l’effort de contact pneu - route

(11)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Systèmes à N DDL

Systèmes à N DDL

Exercice VIBN-1 : Problème de la corde tendue

Thème : La mise en équation est intéressante, écriture des équations de liaison. On montre que les pulsations propres sont fonctions de la tension dans le fil (vibrations d’une corde tendue)

Trois surcharges de masse m chacune, sont placées de façon régulière sur un fil inextensible de longueur 4a. Une force constante F est appliquée à l’extrémité A du fil, l’extrémité B restant fixe. On se place dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, et on néglige le champ de pesanteur.

Écrivez l’équation des mouvements sous forme matricielle.

Calculez les fréquences et les modes propres du système. Donnez une représentation de chaque mode.

m m

m G

x

_o

A

B

F G

Exercice VIBN-2 : Détermination de la base modale

Thème : Mise en équations avec une condition de roulement sans glissement. Recherche de la base modale et des pulsations propres. Réponse en régime libre.

Le support (S) de masse m est relié au bâti par un ressort de raideur k

₁

et se déplace sans frottement par rapport au bâti. Le cylindre (C) de masse M de rayon r, a son axe relié au support par un ressort de raideur k

2

, et roule sans glisser sur le support

g G

(S) k₂ ^(C)

k₁

Effectuez la mise en équations en utilisant un multiplicateur de Lagrange pour la condition de roulement sans glissement.

Donnez la forme matricielle des équations du mouvement en conservant comme paramètres les translations du support et du cylindre.

Déterminez la base modale du système. Vérifiez la K et M orthogonalité des modes.

Déterminez les oscillations libres du système, lorsque le support est écarté de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse initiale.

Exercice VIBN-3 : Modes multiples

Thème : Construction d’une base modale K et M orthogonale.

Intéressons nous aux fréquences propres d’une plaque carrée, de masse m de coté 2a, sur appuis élastiques. Un système de guidage parfait n’autorise que 3 mouvements : une translation verticale z , et deux rotations notées α et β . Les quatre ressorts identiques de raideur k, restent verticaux. A l’équilibre la plaque est horizontale dans le champ de pesanteur. Les mouvements sont

supposés petits. G

x

_o

g G α

(S)

k

y G

_o

z G

_o

k k

k

β

z

Effectuez la mise en équations et déterminer les fréquences et modes propres du système

(12)

Exercice VIBN-4 : Matrice de flexibilité

Thème : Matrice de flexibilité, calcul itératif des fréquences et modes propres.

Soit une plaque rectangulaire de masse m=49 Kg, de coté (2a, 4a) qui repose sur des appuis élastiques. Un système de guidage parfait n’autorise que 3 mouvements supposés petits : une translation verticale z , et deux rotations notées α et β

Des essais statique nous donnent les informations suivantes aux quatre angles de la plaque (point A

i

)

x G

_o

α

(P)

y G

_o

z G

_o

β

z

Forces appliquées en [N] Déplacements mesurés en [10

^-4

m]

f

₁

f

₂

f

₃

f

₄

z

₁

z

₂

z

₃

z

₄

essai 1 : 5 5 5 5 2 18 18 2

essai 2 : 0 5 5 0 -8 26 26 -8

essai 3 : 0 0 5 5 -7 1 17 9

Déterminez la matrice de flexibilité [ ] ^ξ (inverse de la matrice raideur) telle que :

{ } ^X ⁼ [ ] ^{ξ φ} { } avec { } ^X

^T

^=< ^z ^a ^α ^b ^β ^>

Déterminez la matrice masse

Calculez par la méthode itérative la plus petite fréquence propre.

En déduire les trois fréquences propres de la structure.

Comparez avec la solution exacte

Exercice VIBN-5 : Oscillations libres dues à une perte de masse

Thème : bonne illustration d’un problème d’oscillations libres.

Considérons le système ci contre constitué de deux tiges de longueurs 2a et a, et d’une charge en P de masse m. On négligera la masse des tiges devant celle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints des ressorts de torsion de raideur respective 3C et C. Ces ressorts sont non contraints pour θ θ

₁

=

₂

= 0 .

1 Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, déterminer la position d’équilibre statique ( θ θ

₁_e

,

₂_e

) . Donnez la condition à satisfaire pour vérifier l’hypothèse des petits mouvements. En déduire sous forme matricielle l’équation des petits mouvements.

x G

_o

A B

2a a

c

3c θ

₁

m

θ

₂

y G

o

g G

2 La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre. Déterminez les nouvelles équations du mouvement, et calculer la réponse dynamique du système

Exercice VIBN-6 : Modélisation d’une suspension

Thème : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée.

On s’intéresse aux petits mouvements d’une suspension schématisée par le système représenté ci-contre. Le champ de pesanteur est négligé, et toutes les liaisons sont parfaites.

Le solide ( ) S

₁

de longueur A est relié au bâtit par un pivot d’axe (0, z G

_o

)

, son moment d’inertie par rapport à cet axe est I . Il est rappelé vers sa position d’équilibre θ = 0 par un ressort spiral de raideur k

₁

.

x G

_o

θ

(S₂)

y G

_o

z G

_o

ϕ

(S₁) k₁

k₂

G

x

₁

z G

₂

P

mQ

Le solide ( S

₂

) peut tourner par rapport à l’axe (0, x G

₁

)

. Il est rappelé vers sa position d’équilibre ϕ = 0 par un

(13)

Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : Systèmes à N DDL

ressort spiral de raideur k

₂

. Il est constitué d’une charge ponctuelle placée en Q de masse m , et d’un corps de longueur 2a , de masse M de centre de masse P et dont la matrice d’inertie sur la base ( , x y z G G G

₁ ₂

,

₂

)

est diagonale, on note ( A B C ) les moments principaux d’inertie.

Effectuez la mise en équations, montrez que la matrice masse est [ ] ^M ^I ^C ⁽ ^M ^m ⁾

²

^ma

₂

ma A ma

⎡ + + + − ⎤

= ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦

A A

A Par construction : m

₁₁

= k

₁

/ Ω

²

, m

₂₂

= k

₂

/ Ω

²

, et m

₁₂

μ

₂

k k

_{1 2}

= − Ω

a - Calculez les pulsations propres du système.

b - On impose maintenant k

₂

= 4 k

₁

, déterminez les modes propres.

c - Montrez que pour chaque mode il existe un point de l’axe PQ lié au solide S2 qui reste fixe, donnez une représentation graphique des modes.

Étude des oscillations libres : Une force constante F G = F y G

_o

est appliquée en Q a - Déterminer la réponse statique de la structure.

b - Le système étant à l’équilibre, la force est supprimée. Déterminer la réponse dynamique du système.

Déterminez la solution particulière forcée du système

a - Pour une force F

_o

cos ω t y ^G

_o

appliquée directement en Q

b - Lorsque le point P est relié à un ressort de raideur k d’axe ( , P y G

_o

)

, l’extrémité du ressort étant soumise à un déplacement A cos ω t autour d’une position correspondant à l’état non contraint du ressort.

Exercice VIBN-7 : Boite de vitesse

Thème : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée à une excitation échelon (réponse indicielle)

Soit le réducteur schématisé par la figure ci-contre, il permet de coupler deux moteurs identiques (1) et (2) à un arbre de sortie (4). Les rotations absolues des disques d’inertie I

i

sont notées θ

_i

. Les arbres de liaison sont supposés de masse négligeable, ils sont assimilés à des ressorts linéaires de torsion de raideur C

ij

On pose :

I I I I

I I I

I I

1 2 3

5 6

4

8 8

= = =

= =

=

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪ C C C

C C

15 16

34

8 = =

=

⎧ ⎨

⎩

2r

I/8

8I

(1)

(3)

(2)

c

(6) (5)

(4) r

I

c

8c c

Effectuez la mise en équations en considérant qu’il y non glissement entre les disques, donner l’expression des matrices sur les variables { }

1 2 3 4

X

T

=< θ θ θ θ >

Déterminez une base modale associée à se système, et donner la forme de la réponse en régime libre pour des conditions initiales : { } X

o

et { } ^X

^o

Un couple Γ constant est appliqué par le moteur 1 sur le disque (1).

a - Déterminez la réponse dynamique complète du réducteur pour des conditions initiales nulles.

b - Quelle est la déformation de chaque arbre en ne conservant que la solution particulière forcée.

Une des pulsations propres étant nulle, on cherche à éliminer la variable correspondante du système d’équations à

résoudre. Utilisez le changement de variable adéquat. Donnez l’expression des nouvelles matrices K’ et M’, vérifier

que vous retrouvez bien les trois pulsations propres non nulles.

(14)

(15)

Vibrations des systèmes mécaniques Milieux continus et approximation

Vibration des milieux continus

Exercice VIB-MMC-1 : Modes de vibration d’une barre

Thème : Mise en équations, réponse statique. Résolution du problème homogène, orthogonalité des modes.

Réponse à des conditions initiales non nulles.

Donnez le système d’équations différentielles représentant l’équation locale et les conditions aux limites du problème représenté ci-contre.

Nous allons cherchez la solution sous la forme : u

( , )x t

= u

_s( )x

+ u

_d( , )x t

.

g G A

m

Déterminer la réponse statique u

_s( )x

Donner les équations que doit satisfaire la réponse dynamique u

_d( , )x t

Vérifier que ces équations sont homogènes, en déduire l’expression des opérateurs masse et raideur du problème.

Déterminez les fréquences et modes propres du problème homogène. Vérifier l’orthogonalité des modes propres.

En déduire l’expression des coefficients de masse et raideur généralisées.

Utilisez la base modale pour déterminer la réponse dynamique à des conditions initiales non nulles données.

Exercice VIB-MMC-2 : Réponse dynamique d’une barre

Thème : Mise en forme du problème. Réponse dynamique par l’analyse modale. Solution particulière forcée.

Comparaison des solutions.

Donnez le système d’équations différentielles représentant l’équation locale et les conditions aux limites du problème représenté ci-contre.

Proposer un changement de variables permettant de se ramener à un système d’équations homogènes.

(ρ, E, S)

A _F ^G

Proposer une analyse physique permettant de se ramener à un système d’équations ayant des conditions aux limites homogènes.

Déterminez les valeurs et modes propres du problème homogène associé.

Déterminer par analyse modale la réponse dynamique complète pour des conditions initiales non nulles Traiter les excitations suivantes : harmonique, échelon, et impulsion.

Dans le cas de l’excitation harmonique F cosωt, donner l’expression de la réponse dynamique pour des conditions initiales nulles.

Déterminer la solution particulière forcée pour une excitation harmonique F cosωt.

Déduire des calculs précédents l’expression correspondant à l’analyse modale.

Chercher directement la solution harmonique.

Montrer que les deux expressions sont équivalentes.

Exercice VIB-MMC-3 : réponse forcée d’une barre

Thème : Mise en équations. Solution particulière forcée.

Donnez l’équation intégrale déduite du PTV pour le problème représenté ci-contre.

En déduire le système d’équations différentielles représentant l’équation locale et les conditions aux limites.

(ρ, E, S)

A

k

u G

Déterminer la solution particulière forcée pour une excitation harmonique u

( )t

= a cos ω t . En déduire les fréquences de résonance du système.

Donnez l’expression de l’admittance directe « ( ) u t / F » et de l’admittance croisée « ( , ) u x t / F ».

(16)

Exercice VIB-MMC-4 : Résidus pondérés pour un Pb de flexion

Thème : Méthodes d’approximation : Résidus pondérés (formulation faible de la méthode de Galerkin) équivalence avec le PTV.

Nous nous intéressons aux vibrations transversales de la poutre représentée par la

figure ci contre. La masse m en bout de poutre est supposée ponctuelle.

Pb de flexion ^m

Pour traiter ce problème nous utiliserons la forme faible associée à la méthode de Galerkin avec des fonctions de forme cinématiquement admissibles (les conditions aux limites sthéniques étant non homogènes).

Mise en équations - construction d’une approximation.

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

Montrer que les fonctions de forme w

n

= − ^{1 cos} ( C x

n

) sont cinématiquement admissibles.

Déterminer la valeur de C

_n

pour que l’approximation satisfasse toutes les conditions aux limites homogènes du problème.

Méthode des résidus pondérés.

Après avoir défini le résidu, transformer la forme intégrale par intégration par parties pour faire apparaître les conditions aux limites.

En déduire l’équation matricielle du modèle ainsi construit.

Calculer l’expression des matrices masse et raideur.

Application numérique avec M = ρ S A

Les 2 premières pulsations de résonance obtenues analytiquement sont :

ω ρ

1 4

2 4

1 557 16,25

=

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, EI

S EI

S A A

Comparez avec les résultats obtenus pour une approximation à un puis deux paramètres.

Partez de l’écriture du PTV de ce problème, pour retrouver la forme matricielle associée à l’approximation précédente.

Variante :

Refaire l’exercice en utilisant une approximation cinématiquement admissible construite sur une base polynomiale de degré trois.

Exercice VIB-MMC-5 : Approximation de la réponse d’une chaussée

Thème : Application de la méthode de Galerkin à un problème plus réel.

Nous cherchons la réponse dynamique d’une chaussée excitée par une charge F se déplaçant à une vitesse V. La chaussée est modélisée par une poutre élastique reposant sur un sol modélisé par une répartition uniforme d’appuis viscoélastiques de raideur k, ayant un coefficient d’amortissement b.

F G G v

Chaussée

Mise en équations - construction d’une approximation.

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

On décide d’utiliser les modes propres de la poutre libre - libre comme fonctions de forme pour construire l’approximation, déterminer la base modale.

Appliquez la méthode des résidus pondérés.

Donner l’expression des matrices masse et raideur, et celle de la force d’excitation.

Déterminer la réponse dynamique en prenant des conditions initiales nulles.

(17)

Vibrations des systèmes mécaniques Milieux continus et approximation

Exercice VIB-MMC-6 : Approximation EF pour un barreau

Thème : Mise en œuvre des méthodes variationnelles discrétisées.

Nous nous intéressons aux vibrations longitudinales du barreau représenté par la

figure ci contre.

Pb de traction k

Dans cet exercice nous introduisons une approximation à deux paramètres linéaire par morceau, c’est sans le dire un modèle éléments finis.

Mise en équations - Solution analytique.

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème, et déterminer les pulsations de résonance. Dans l’application numérique vous utiliserez un rapport ES k / A = 10

Construction des fonctions de formes

Justifiez que l’approximation ( , ) u x t = x q ( ) t est cinématiquement admissible.

Déterminer une fonction de forme polynomiale de degré 2 satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème.

Approximation à un paramètre.

Appliquez la méthode des résidus pondérés pour déterminer les deux modèles élémentaires masse - ressort associés aux deux approximations construites sur les deux fonctions de formes précédentes, comparer les résultats.

Approximation à deux paramètres, soit l’approximation linéaire par morceau définie par la figure ci contre.

Appliquez le PTV discrétisé pour déterminer l’équation matricielle de ce modèle sur les paramètres u

1

et u

2

. Comparer les fréquences obtenues.

u G

₁

G u

₂

u =

^{2 x}

u

A ¹

u = (

1⁻ ^2x)

u

₁

+

^2x

u

₂

A A

x= x + 2 A sur l'élément 1 :

sur l'élément 2 : on pose

Exercice VIB-MMC-7 : Pb de révision « Disque-poutre »

Thème : Mise en œuvre des méthodes variationnelles discrétisées « équations de Lagrange ».

Nous nous intéressons aux vibrations en flexion de la structure représentée par la figure ci contre. Une force Fcosωt est appliquée au niveau du rayon R d’un disque indéformable d’inertie I. La poutre élastique de longueur A repose sur un appui au niveau du disque et est encastrée à l’autre extrémité.

G F

Pb de flexion

Construisez une approximation cinématiquement admissible, utilisant les fonctions de forme suivantes :

φ

_n

x n ^π x α

_n

^π

n x

( ) = sin( ) + sin( ( + ) )

A 1 A

Exprimer les énergies et le travail virtuel de F en fonction des paramètres de l’approximation. En déduire l’équation matricielle du mouvement.

Calculer les coefficients des matrices masse et raideur ainsi que ceux de la force généralisée

En déduire pour une approximation à deux paramètres l’expression des matrices masse et raideur ainsi que celle du vecteur force généralisée.

En négligeant la masse du disque, calculer les deux premières fréquences propres de la structure, comparer à la solution analytique.

Annexe : les 2 premières pulsations de résonance d’une poutre appuyée - encastrée sont :

ω

¹²

⁼ ²³⁷ ^,7 ^EI ρ S

⁴

ω

²²

⁼ ^2496,5 EI ρ

⁴

A S A _.

(18)

Exercice VIB-MMC-8 : Pb de révision « secousse sismique »

Thème : PTV discrétisé - Galerkin.

Nous nous intéressons aux vibrations en flexion de la structure représentée par la figure ci contre. Le déplacement de la masse m est imposé de la forme

( ) t cos w = ω t

On pose ( , ) v

_t

x t = w ( ) t + v ( , ) x t avec v

_t

déplacement absolu, et v flèche due à la déformation de la poutre

u G

_donné

Pb de flexion m

Nous allons utiliser les modes propres de la poutre encastrée - libre comme base de fonctions de forme pour construire l’approximation.

Mise en équations - Solution analytique du problème homogène associé.

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

Déterminer les fréquences et modes propres de vibration du problème homogène associé.

Résolution par Galerkin

Appliquez la méthode des résidus pondérés, en utilisant les modes propres du problème homogène associé comme fonctions de forme de l’approximation.

En déduire l’équation matricielle du mouvement.

Les équations étant découplées calculer la solution particulière forcée. En déduire l’expression de la force nécessaire pour imposer le mouvement.

Résolution par le PTV discrétisé.

Exprimez les énergies et le travail virtuel des efforts extérieurs sur les variables <w, ...qi....>

En déduire l’équation matricielle du mouvement, et la force nécessaire pour imposer le mouvement.

Comparez la mise en œuvre des deux méthodes.

Exercice VIB-MMC-9 : Pb de révision « poutre - masse »

Thème : PTV discrétisé - Équations de Lagrange.

Nous nous intéressons aux vibrations en flexion de la structure représentée par la figure ci contre. Le déplacement de la masse M, d’inertie I est imposé de la forme

cos

V ω t _V _cos ω _t

Mise en équations.

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème. Exprimez l’équation différentielle permettant de calculer l’effort nécessaire pour imposer le mouvement.

Écrivez les deux formes intégrales associées au principe des travaux virtuels pour des déplacements virtuels cinématiquement admissibles. Retrouver les conditions aux limites sur les efforts.

On cherche une solution de la forme ( , ) x t x cos ( , ) x t

v = V ω t + w

A ^avec

1

( , ) sin ( )

n

i i

x t x t

w i π q

=