Mise en équations des Milieux Continus

Fiche de cours du chapitre II Mise en équations : MMC - barres - Poutres

1

Mise en équations des Milieux Continus

Rappels de Mécanique des milieux continus.

Déplacements

Description de Lagrange des déplacements : G G G G x = X + ( , ) U X t Tenseur gradient des déplacements : H grad U h U

ij

X

i j

= ( ) G ⇒ = ∂

∂ Déformations

Tenseur des déformations de Green Lagrange : ε = H + H + H H

T T

2 2

En petites déformations ⇒ ε

L

T

H H

= +

2 Contraintes

Tenseur des contraintes de Cauchy défini sur l'état déformé : σ

c

; T G σ

c

n G

=

Le tenseur des contraintes de Kirchhoff défini sur l'état non déformé est noté σ

k

En petits déplacements nous avons : σ

c

≡ σ

k

Lois de comportement : σ

k

= D ε Pour un milieu homogène isotrope élastique loi de Hooke: σ

k

= λ trace( ) ε 1 + 2 μ ε

Loi inverse : ε = ν σ + + ν σ - E trace( )

k

1 1 E

k

Écriture du Principe Fondamental de la Mécanique (PFD).

On cherche U G

^{(M t, )}

solution du système d'équations différentielles : Équation locale : ∀ M ∈ D div G + = f G G

( ) σ ργ Conditions aux limites :

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

∈

∀

=

∈

∀

) , 02 (

) , ( ) , 01 (

t d M

t d M t M

T n D M

U U

D

M G G

G G

σ

∂

∂

Conditions initiales données : U ^G

^{(M, )}

et U ^G 

^{(M, )}

donnés

0

0

Écriture du Principe des Travaux Virtuels (PTV).

On cherche U G

^{(M t, )}

solution de l'équation intégrale :

∀ ^{u G} ∫ ^{u u dv G G} = − ∫ ^dv + ∫ ^{f u dv G G} + ∫ ^{T u ds G G}

D D D D

* ρ . * σ ε : * . * . *

∂

Intégrons par parties le terme correspondant au travail virtuel des efforts intérieurs.

L'équation intégrale est alors de la forme :

∀ ^{u G} ∫ ^{u G} − ^{div G} − ^{f G G u dv} = ∫ ^{T G} − ^{n u ds G G}

D D

* ( ρ  σ ). * ( σ ). *

∂

Fiche de cours du chapitre II Mise en équations : MMC - barres - Poutres

2 Cas du modèle barre.

PFD : c’est une équation locale « Équations aux Dérivées Partielles du problème (EDP) » Équation locale : ∀ ∈ x ] [ 0, A ρ Su  − ESu , _xx = ρ gS Les conditions aux limites sont de deux types

•1 déplacement imposé : u = u _d ( ) t

•2 force imposée : ESu _{, x} = N _d ( ) t les deux conditions initiales ^{( , 0) ( )} ( , 0) ( )

o o

x x

x x

u u

u u

⎧ =

⎨ =

⎩  

PTV : C’est la forme variationnelle du problème C’est une équation intégrale

0

u

(M,t) l

F G

_o

G

f G

F

A

,x ,x

+ + _{o o} +

o o o

u Su u dx ESu u dx f u dx F u F u

δ ρ δ δ δ δ δ

∀ ∫ ^{A } = − ∫ ^A ∫ ^{A A A}

On reconnaît une forme variationnelle des énergies

( )

( )

2 ,x

2

2

2

d o

c o

E ES u dx

E ρ S u dx

⎧ =

⎪ ⎪⎪

⎨ ⎪ =

⎪ ⎪⎩

∫

∫

A

A



Cas du modèle poutre.

PFD : Équations aux Dérivées Partielles du problème (EDP) dMf

Mf + x G Mf

T

dT T + dx G

f Équation locale : ^{∀ ∈ x} ] [ ^{0, A ρ Sv  + EIv} _{, x}

⁴

^{= f}

Les conditions aux limites sont de deux types

•3 déplacement imposé : v = v t _d ( ) ou θ θ = _d ( ) t

•4 force imposée : T = T t _d ( ) ou Mf = Mf _d ( ) t

les deux conditions initiales ^{( , 0) ( )} ( , 0) ( )

o o

x x

x x

v v

v v

⎧ =

⎨ =

⎩  

PTV : Forme variationnelle du problème

0

M

_A

M

o

F

o

F

_A

A f

x G y G

Problème donnant l’équation intégrale :

,xx ,xx

+ + _{o o} + + _{o o} +

o o o

v Sv v dx EIv v dx f v dx F v F v M M

δ ρ δ δ δ δ δ δθ δθ

∀ ∫ ^{A } = − ∫ ^A ∫ ^{A A A A A}

On reconnaît une forme variationnelle des énergies

( )

( )

2 ,xx

2

2

2

d o

c o

E EI v dx

E ρ S v dx

⎧ =

⎪ ⎪⎪

⎨ ⎪ =

⎪ ⎪⎩

∫

∫

A

A