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TA 1 : Mise en équations par le PFD et par le PTV

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Academic year: 2021

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(1)

TA : Vibrations des systèmes mécaniques déformables

TA 1 : Mise en équations par le PFD et par le PTV

Considérons une tige T de masse négligeable articulée en O tournant à une vitesse angulaire constante ω .

Un point matériel P de masse m est astreint à se déplacer sans frottement le long de cette tige. Ce point est relié au bâtit par un ressort linéaire de raideur k de longueur à vide

o

.

y

o

O

x

o

k m

g

P T

u

ω t

L'objectif de l'exercice est de déterminer l’équation du mouvement et la valeur du couple moteur nécessaire pour obtenir une vitesse de rotation constante.

1- Effectuer la mise en équations par le Principe des Travaux Virtuels.

2- Retrouvez ces équations par le Principe Fondamental de la Dynamique.

A rédiger pour le prochain cours

TA 2 : Vibration d'un système à 1 degré de liberté

La mise en équations de ce système étudiée en cours a conduit à :

2 2 2

1 2 2 1

( I + m R + m R ) ψ ɺɺ + gR m ( − m ) + kR ψ = − FR cos ω t

ψ angle de rotation de la poulie Pour simplifier les écritures nous poserons :

2

2

I = mR et m

2

= 2 m

1

= 2 m

Fcosωt xo yo

O

g

(m2) (m1)

1- Définir la pulsation propre du système 2- En absence de la force F

Déterminer la réponse statique du système ψ

s

et le déplacement des masses.

Que représente du point de vue mathématique ce terme

Une vitesse initiale de rotation ψ ɺ

o

est alors imposée à la poulie, déterminer la réponse dynamique du système à partir de la position statique initiale.

3- La force F cos ω t est maintenant appliquée au système. On posera θ ψ ψ = −

s

pour déterminer les mouvements par rapport à la réponse statique. On s'intéresse à la réponse forcée du système en θ

Écrire l'équation du mouvement en θ (forme canonique)

En déduire la réponse dynamique forcée et tracer le diagramme de Bode du coefficient d'amplification dynamique.

4- Reprendre les questions 2 et 3 si le ressort a un coefficient de viscosité b

A rédiger pour le prochain cours

(2)

TA : Vibrations des systèmes mécaniques déformables

TA 3 : Amortisseur dynamique

Objectif : Comparaison des réponses dynamiques amortisseur libre et bloqué.

Le dispositif représenté sur la figure ci-contre est l'amortisseur dynamique de FRAHM, il permet d’atténuer l’amplitude des vibrations d’un système mécanique, dans une gamme de fréquence donnée.

Le principe consiste à ajouter au dispositif principal (m

1

,k

1

) un dispositif secondaire (m

2

,k

2

).

On prendra : m

1

= 4 m , m

2

= m , k

1

= 12 k , k

2

= 2 k

g k 1

k 2 m 2 m 1

Mise en équations : vous poserez { } X

T

=< x

1

x

2

>

Déplacements verticaux par rapport à la position d’équilibre du système.

Montrer que 2 Ec = X MX ɺ

T

ɺ , avec [ ] 4

M m  1 

=  

 

Expliquez l'expression suivante Ep = 4 mgx

1

+ mgx

2

+ k ( 12( x

1

+ ∆ +

1

)

2

2( x

1

− + ∆ x

2 2

)

2

) + Cte

En déduire l'expression de [ ] 14 2

2 2 K k  − 

=   −  

Base modale :

Calculer les fréquences de résonance du dispositif

Déterminer les modes de vibrations du système, vous pourrez poser Z

i1

= 1 (choix) Calculer les masses modales

Réponse à une fonction impulsion :

Une percussion d’intensité P est appliquée sur le dispositif principal sur un temps très court.

Calculer la réponse impulsionnelle du système.

Calculer la réponse x

1( )t

lorsque l'amortisseur dynamique est bloqué.

Comparer l'amplitude des deux réponses, vous pourrez poser

o

k 2

ω = m = π et P = 20 π m Réponse forcée : Une force F cos ω t appliquée sur le dispositif principal

Déterminez la solution particulière en régime forcé

Tracer l'amplitude de la réponse x

1 DB

, en fonction de Log r (diagramme de Bode) ( ) Comparez au diagramme obtenu lorsque l'amortisseur est bloqué.

Réponse indicielle :

Un échelon d’intensité F est appliqué sur le dispositif principal Que pensez-vous du rôle de l'amortisseur dynamique dans ce cas?

A rédiger pour le prochain cours

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