 .....FFF2 n    

Teoria dei numeri

Lezione del giorno 4 maggio 2009 Siamo ora in grado di dimostrare il:

Teorema di Pepin.

Sia r>0. Il numero di Fermat F

= ₂ ⁽²

⁾ +1 è un numero primo  ^F

₂ ¹

3

  ^{-1 (mod F}

⁾

Dimostrazione:

(): Basta applicare l’implicazione () del Teorema di Proth-Pocklington, con n=F

, h=1, a=3 (): Essendo 3, F

primi dispari distinti (perché F

>3 essendo r>0), per la legge di reciprocità quadratica si ha:

(3/F

) = (F

/3) _{(  1 )}

Ma (F

-1)/2= ₂

è pari, dunque (3/F

) = (F

/3).

Valgono le seguenti congruenze modulo 3:

F

= ₂ ⁽²

⁾ +1 = ₄

+1  ¹⁺¹  2 (mod 3)

Dunque, per la proprietà 3 del simbolo di Legendre e per la regola di calcolo di (2/p) si ha:

(3/F

) = (F

/3) = (2/3) = (-1)

= -1

Per il criterio di Eulero si ha infine la tesi ^F

₂ ¹

3

  ^{-1 (mod F}

^).

I numeri di Fermat F

hanno alcune applicazioni geometriche relative al cosiddetto problema della

“ciclotomia”: fissato un naturale n>1, suddividere una circonferenza in n parti uguali (equivalentemente disegnare un poligono regolare di n lati iscritto nella circonferenza) usando solo riga e compasso.

Per quali valori di n>2 il problema ha soluzione ?

Per esempio per n=6 il problema ha soluzione: il lato dell’esagono regolare si può costruire con riga e compasso perché la sua ampiezza è uguale a quella del raggio della circonferenza circoscritta.

Analogamente per n=3: per costruire il lato del triangolo equilatero, basta costruire l’esagono regolare e unire i vertici “saltando” un vertice intermedio.

Esiste un importante Teorema (di cui diamo solo l’enunciato):

Teorema.

Il problema della ciclotomia ha soluzione per tutti e soli i valori n>2 tali che n sia della forma:

^{n  2}

^F

^F

^...F

dove t0, e F r

, F r

,..., F r

sono numeri primi di Fermat distinti (al limite può essere anche m=0, quando n è una potenza di 2)

Per esempio per n=7 il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 7 è primo ma non è un primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ettagono regolare.

Anche per n=9=3

il problema della ciclotomia non ha soluzione (perché 9 è il quadrato di un primo di Fermat): non è possibile costruire con riga e compasso il lato dell’ennagono regolare.

Anche nel caso in cui F

non sia primo, i fattori primi di F

hanno una struttura particolare:

Teorema.

Se r>1, ogni fattore primo p di F

= ₂ ⁽²

⁾ +1 è  ^{1 (mod 2}

), quindi p=1+k2

con k intero.

Dimostrazione:

Per ipotesi p è divisore del numero dispari F

, quindi p è primo >2. Si ha ₂ ⁽²

⁾  ^{-1 (mod F}

^{), quindi}

anche ₂ ⁽²

⁾  -1 (mod p).

Essendo 2, p coprimi si ha [2]Z

* , [2]

=[-1]

= [1], e se s è il periodo di [2] in Z

* , s è divisore di 2

, quindi s=2

con dr+1. Dimostriamo che d=r+1. Se per assurdo fosse d<r+1, sarebbe:

[2]

= ([2]

)

= ([2]

)

=[1]

ed essendo ₂ ⁽²

⁾  -1 (mod p) si avrebbe 1  -1 (mod p), contraddizione perché p>2.

Dunque d=r+1, s=2

. Ma il periodo s di [2] è divisore della cardinalità p-1 di Z

* , p-1=2

z con z intero, p-1 multiplo di 8 (perché r+1>2), p  ^{1 (mod 8).}

Per le proprietà di (2/p), si ha (2/p)=1, e per il criterio di Eulero 2

 1 (mod p), [2]

=[1], e il periodo s di [2] è divisore di (p-1)/2, cioè (p-1)/2=hs=h2

da cui la tesi p  ^{1 (mod 2}

^).

Per trovare un fattore primo di F

, si può allora procedere nel modo seguente: si fanno assumere in successione al parametro k i valori interi positivi k=1,2,…., verificando con l’algoritmo della divisione se il numero p=1+k2

è divisore di F

. Il minimo valore di k per cui p=1+k2

è divisore di F

fornisce con certezza un divisore primo p di F

(se p per assurdo non fosse primo, p avrebbe un divisore primo p

<p

ma p

sarebbe a maggior ragione divisore di F

, quindi sarebbe della forma p

=1+k

2

con k

<k, contro la minimalità di k).

Dopo avere trovato un fattore primo p di F

, si può ripetere il ragionamento sul numero F

/p per

trovare altri fattori primi di F

e pervenire alla completa fattorizzazione di F

in prodotto di primi.