Matematica Discreta Lezione del giorno 11 maggio 2009 Crittografia.

Matematica Discreta

Lezione del giorno 11 maggio 2009 Crittografia.

E’ la scienza che studia la possibilità che un soggetto A (mittente) spedisca un messaggio ad un utente B (destinatario) attraverso un canale di comunicazione non sicuro, in modo che per un soggetto C (intruso), che sia in grado di intercettare il messaggio, sia “difficile” conoscere le informazioni in esso contenuto.

In un sistema crittografico il messaggio originale (detto messaggio in chiaro) prima di essere trasmesso dal mittente A viene opportunamente modificato (la cosiddetta cifratura che trasforma il messaggio in chiaro in un messaggio cifrato); è il messaggio cifrato che viene trasmesso lungo il canale di comunicazione: quando il destinatario B lo riceve, ne effettua una opportuna modifica (la cosiddetta decifratura) che fornisce come risultato il messaggio in chiaro originale.

Anticamente il concetto di ”messaggio” era ristretto ad un messaggio di tipo “testuale”, cioè costituito da caratteri alfabetici.

Poiché il messaggio può sempre essere suddiviso in “blocchi” (che poi il destinatario dovrà

“incollare” per riottenere l’intera informazione originale) potremo anche in certi casi identificare il concetto di messaggio con il singolo carattere alfabetico: la cifratura e la decifratura opereranno in questo caso sulle singole lettere del testo.

Se vogliamo formalizzare la struttura di un sistema crittografico, servendoci della teoria degli insiemi, possiamo dire che si possono individuare un insieme finito X dei messaggi in chiaro, un insieme finito Y dei messaggi cifrati (spesso come insiemi X,Y saranno uguali), una funzione di cifratura f : X  Y (che trasforma ogni messaggio in chiaro xX in un messaggio cifrato y=f(x)X) e in una funzione di decifratura g : Y  X (che ritrasforma il messaggio cifrato y=f(x)Y nel messaggio in chiaro x=g(y)X).

Dal punto di vista insiemistico, la proprietà della funzione di decifratura g si traduce nel fatto che per ogni messaggio in chiaro xX si deve avere g(f(x))=x, dunque la composizione gf deve coincidere con la funzione identica i

dell’insieme X.

Vedremo dagli esempi che la funzione di cifratura e la funzione di decifratura si servono di elementi ausiliari (detti rispettivamente chiavi di cifratura e chiavi di decifratura) che sono utilizzati nella trasformazione di un messaggio in chiaro in messaggio cifrato e nella ritrasformazione di un messaggio cifrato nel messaggio in chiaro da cui esso proveniva.

Il sistema crittografico di Cesare.

E’ un sistema crittografico molto semplice (ma poco sicuro) che pare fosse utilizzato dagli antichi Romani.

Supponiamo che l’insieme dei messaggi in chiaro X e quello dei messaggi cifrati Y coincidano entrambi con l’insieme delle 21 lettere dell’alfabeto italiano:

X = Y = {A,B,C,D,E,F,G,H,I,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,Z}

Fissiamo un numero intero a tale che 0a20 (è la chiave di cifratura, detta offset) e definiamo la

funzione di cifratura f : X  Y nel modo seguente: disponiamo in modo “circolare” gli elementi di

X (in modo che la lettera successiva alla Z sia la A), e per ogni messaggio in chiaro x X (dunque x

è una delle 21 lettere dell’alfabeto) definiamo il messaggio cifrato y=f(x) uguale a quella lettera che

si trova (a partire dalla lettera x) spostandosi di a posizioni lungo l’alfabeto in verso orario.

Per esempio se la chiave di cifratura è a=3 e se x=D allora f(D)=G (la lettera G si trova 3 posizioni più avanti rispetto alla lettera D). Ovviamente non ha molto senso scegliere l’offset a=0, in quanto la cifratura di ogni lettera la lascerebbe invariata.

La funzione di decifratura g : Y  X utilizza la stessa chiave a, ed è ovviamente definita nel modo seguente: dato yY (quindi y è una delle 21 lettere dell’alfabeto) si definisce g(y) uguale a quella lettera che si trova (a partire dalla lettera y) spostandosi di a posizioni lungo l’alfabeto in verso antiorario: ovviamente, se y=g(x) è la cifratura del messaggio in chiaro x, g(y) coincide con il messaggio in chiaro originale x.

Per rendere operativamente più semplice la cifratura, il mittente scrive, sotto la successione delle lettere dell’alfabeto, la stessa successione “shiftata” verso destra di a posizioni (se a è la chiave di cifratura) sempre pensando ad una struttura “circolare”: sotto ogni lettera x si trova la sua cifratura f(x).

Per esempio nel caso a=3:

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z A B C

In questo caso, per cifrare il testo in chiaro “ATTACCATESUBITO” applicando ad ogni lettera del testo la funzione f di cifratura, si ottiene il seguente testo cifrato (da trasmettere lungo il canale di comunicazione):

“DZZDFFDZHVAENZR”

Analogamente, per rendere operativamente più semplice la decifratura, il destinatario scrive, sotto la successione delle lettere dell’alfabeto, la stessa successione “shiftata” verso sinistra di a posizioni: sotto ogni lettera y si trova la sua decifratura g(y).

Nel nostro caso (con a=3):

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

U V Z A B C D E F G H I L M N O P Q R S T

Decifrando il testo ricevuto “DZZDFFDZHVAENZR” (lettera per lettera) si riottiene il testo originale “ATTACCATESUBITO”.

Nel sistema crittografico di Cesare la chiave di cifratura coincide con quella di decifratura, e ovviamente deve essere concordata in anticipo fra il mittente e il destinatario. Il sistema di Cesare è poco sicuro: l’intruso che intercetti il messaggio cifrato, potrebbe cercare di risalire al messaggio in chiaro con il metodo della “forza bruta”, provando a decifrare il messaggio con tutte le possibili chiavi (che sono in tutto 21) fino ad ottenere un messaggio che abbia un senso compiuto.

Il sistema crittografico di Cesare fa parte dei cosiddetti sistemi a sostituzione monoalfabetica (ogni lettera dell’alfabeto viene cifrata con un’altra lettera, ma sempre con la stessa lettera, anche se la lettera originale appare in diverse posizioni nel testo in chiaro).

Nell’esempio precedente la lettera A, che si trova in 2 posizioni diverse nel messaggio in chiaro

“ATTACCATESUBITO” viene cifrata sempre con la lettera D.

Per rendere più difficile l’uso della “forza bruta” da parte dell’intruso, si può utilizzare una variante del sistema di Cesare, in cui il numero di chiavi è molto più grande.

Come chiave di cifratura (e anche di decifratura) si fissa una permutazione delle lettere dell’alfabeto (quindi un modo di disporre ordinatamente le 21 lettere) e si definisce la funzione di cifratura f : X  Y nel modo seguente: per ogni messaggio in chiaro xX (dunque x è una delle 21 lettere dell’alfabeto) si definisce il messaggio cifrato y=f(x) uguale a quella lettera che si trova, nella permutazione fissata, nella stessa posizione della lettera x.

Dal punto di vista operativo, il mittente scrive, sotto la successione delle lettere dell’alfabeto, le

lettere nella permutazione fissata: sotto ogni lettera x si trova la sua cifratura f(x).

Per esempio se la permutazione fissata come chiave é BFGTURSEIOLMZNCUDATHP:

A B C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z

B F G T U R S E I O L M Z N C U D A Q H P

la cifratura del testo in chiaro “ATTACCATESUBITO” è “BAABGGBAUDQFIAZ”.

La funzione di decifratura g : Y  X si ottiene viceversa associando ad ogni lettera y (considerata nella permutazione) la lettera g(y) che si trova sopra di essa.

Anche in questo caso la chiave di cifratura (la permutazione fissata) coincide con quella di decifratura, e deve essere concordata in anticipo fra il mittente e il destinatario: ma il numero di chiavi possibili coincide con 21! (il numero delle possibili permutazioni di 21 lettere), e poiché tale numero è molto grande (ha 20 cifre in base 10) il metodo della “forza bruta” non è praticamente applicabile dall’intruso che cerca di “rompere” il sistema crittografico.

Anche tale sistema crittografico, come quello di Cesare, è un sistema a sostituzione

monoalfabetica (ogni lettera dell’alfabeto viene cifrata con un’altra lettera, ma sempre con la stessa

lettera, anche se la lettera originale appare in diverse posizioni nel testo in chiaro).