Matematica Discreta
Lezione del giorno 6 aprile 2009
Un’operazione in un insieme A può essere definita:
- in modo implicito: dati 2 operandi variabili a,b in A si definisce un’operazione ponendo ab = ………
dove dopo il segno di eguaglianza vi è una “formula” nelle variabili a, b che permette di calcolare il risultato, dati gli operandi a,b.
Per esempio potremmo definire un’operazione nell’insieme N dei numeri naturali ponendo:
ab = a + b + ab
Se volessimo allora calcolare in particolare 32 dovremmo calcolare:
32 = 3 + 2 + 32 = 11
- in modo esplicito (tale modalità è praticabile solo nel caso in cui l’insieme A sia finito): per ognuna delle possibili coppie di operandi a,b in A si indica esplicitamente il risultato ab (che deve essere un unico elemento di A)
Per esempio nell’insieme A = {a, b, c} di cardinalità 3, possiamo definire un’operazione indicando, per ognuna delle 9 coppie possibili di operandi in A, il risultato nel modo seguente:
aa=b, bb=b, cc=a, ab=c, ba=a, ac=b, ca=c, bc=a, cb=a
Si può rendere la definizione esplicita di una operazione (definita in un insieme finito A di cardinalità n) utilizzando una tavola operazionale, la quale è una matrice quadrata di n2 caselle disposte in n righe e n colonne, facendo corrispondere alle righe e alle colonne ordinatamente gli elementi di A (in un ordine prefissato), e inserendo in ogni casella il risultato ab, dove a è l’operando corrispondente alla riga della casella, e b è l’operando corrispondente alla colonna della casella.
Nell’ultimo esempio, l’operazione definita nell’insieme A = {a, b, c} di cardinalità 3 avrebbe la seguente tavola operazionale 3x3 (rispetto all’ordine prefissato a,b,c):
a b c a
b c
Alcune proprietà dell’operazione si possono riflettere in proprietà della tavola operazionale: per esempio la proprietà commutativa equivale alla proprietà che la tavola operazionale sia simmetrica rispetto alla diagonale principale \ (sinistra alto – destra basso), nel senso che caselle simmetriche rispetto a tale diagonale hanno eguale contenuto.
Proprietà associativa.
Un’operazione definita nell’insieme A è associativa se, comunque presi gli elementi a,b,cA, si ha:
(ab)c = a(bc)
E’ ben noto che le operazioni di somma e prodotto nell’insieme dei numeri naturali sono associative, in quanto (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc), comunque dati i numeri naturali a,b,c.
Invece l’operazione di elevamento a potenza ab=ab non è associativa perché, dati i numeri naturali a,b,c, non è sempre vero che i seguenti risultati sono uguali:
(ab)c= (ab)c=(ab)c=abc a(bc)= a(bc) =a(bc)
b c b
a b a
c a a
L’operazione definita in modo implicito nell’insieme dei numeri naturali da:
ab = a+b+ab
è associativa, perché i seguenti 2 risultati sono uguali:
(ab)c= (a+b+ab)c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab) c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a(bc)= a(b+c+bc)= a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)= a+b+c+bc+ab+ac+abc
L’operazione definita sopra in modo esplicito nell’insieme A={a,b,c} non è associativa perché per esempio (ab)c=cc=a è diverso da a(bc)=aa=b.
Elemento neutro.
In un insieme A in cui è definita un’operazione , si dice che l’elemento eA è neutro se per ogni xA si ha xe=ex=x.
Notiamo che se esiste un elemento neutro, esso è unico: infatti se e, e’ sono elementi neutri, allora ee’=e’ (perché e è neutro), ee’=e (perché e’ è neutro) quindi e=e’ (per l’unicità del risultato di una operazione).
L’elemento neutro può esistere (per esempio nell’insieme dei numeri naturali rispetto all’operazione di prodotto l’elemento neutro è il numero 1), ma può anche non esistere: per esempio nell’insieme dei numeri naturali rispetto all’operazione di elevamento a potenza ab=ab non esiste elemento neutro (il numero 1 funziona da neutro solo come secondo operando, perché x1=x1=x, ma non come primo operando perché 1x=1x=1 per ogni x).
