CORSO DI REGIME E PROTEZIONE DEI LITORALI

CORSO DI

REGIME E PROTEZIONE DEI LITORALI

Le onde di mare

Staff Didattico: L. Damiani, M. F. Bruno, D. Malcangio, M. Molfetta, A. Saponieri, L. Pratola, M. Mali, N. Valentini

ONDE GENERATE DAL VENTO

Argomenti di studio

Formazione delle mareggiata

Caratteristiche delle onde:

definizione nel dominio del tempo e delle frequenze (statistica di breve periodo)

Dati di input

(Fetch, vento, dati di boa)

Ricostruzione delle mareggiate:

metodi diretti e indiretti

Definizione del clima meteomarino:

eventi estremi ed onde morfologiche (statistica di lungo durata)

Formazione delle mareggiate

Il vento trasferisce energia al mare sull’area di generazione (fetch) generando un sistema di onde disordinate con fasi, periodi, ampiezze e direzione di propagazione aleatoriamente distribuite

Le onde così generate sono dispersive e tendono a ricomporsi per dare origine ad un treno d’onde più ordinato, ma sempre con caratteristiche aleatorie, all’inizio dell’area di propagazione

FORMA DELLA MAREGGIATA

FORMA DELLA MAREGGIATA

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

20 50 80 110 140

H

Ore

Mareggiata di Bari dal 21/10/2017 (ore 20:00) al 26/10/2017 (ore 20:00)

Hs Hmax

Lo sviluppo della mareggiata è legato alla dimensione del Fetch (Fi) ed alle caratteristiche del vento: durata (t), velocità U e direzione.

Esiste un valore di Fetch e durata (molto grandi) tale da sturare la mareggiata (il vento trasferesce il mazzimo dell’energia possibile al mare).

F₄

Regime

transitorio Regime stazionario

H

t

F₁ F_s

F₂ F₃ F₅

t₁

U=cost

t_s

FORMA DELLA MAREGGIATA

Si definisce inoltre stato di mare (“sea state” nella letteratura anglosassone) un’agitazione ondosa stazionaria.

Consideriamo un intervallo di tempo molto lungo Τ, e ammettiamo di considerare gli intervalli in cui siano presenti un numero molto grande N di onde.

Nei vari intervalli, se l’agitazione ondosa è stazionaria, le caratteristiche medie dei vari insiemi di N onde tendono ad essere le stesse e questa tendenza cresce al crescere di N.

Se, ad esempio, si considera l’altezza media delle N onde (che è una variabile aleatoria), si osserva che la deviazione standard σ_N tende a zero per N tendente a infinito, ovvero:

dove H_i è l’altezza media dell’i-esimo gruppo di N onde, e H è l’altezza media delle onde rilevate nell’intero intervallo.

Nel Mediterraneo uno stato di mare può essere considerato stazionario per durate dell’ordine delle centinaia di onde (200÷300 onde).

Gli stati di mare

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

0 500 1000 1500 2000 2500

Densità di probabilità di Gauss: 𝒑 𝜼 + 𝒅𝜼 = ^𝟏

𝝈_𝒙 𝟐𝝅𝒆

𝜼−𝝁𝒙 𝟐 𝟐𝝈𝒙𝟐

Media: 𝜇_𝑥 = ¹

𝑇 0

𝑇𝜂 𝑡 𝑑𝑡=0

Le elevazioni costituiscono un insieme di variabili aleatorie continue nel tempo che seguono la legge di probabilità di Gauss.

In generale si definisce probabilità: 𝑝 𝐴 = ^𝑁𝐴

𝑁 in cui 𝑁_𝐴 è in numero di dati del campione che soddisfano la condizione 𝐴 ed 𝑁 è il numero totale di date che compongono il campione.

Assumendo la condizione 𝐴: 𝜂 ≤ 𝜂(𝑡) ≤ 𝜂 + 𝑑𝜂 si definisce:

Deviazione standard: 𝜎_𝑥² = ¹

𝑇 0

𝑇 𝜂 𝑡 − 𝜇_𝑥 ²𝑑𝑡

Gli stati di mare

Il campione deve avere una durata di 20 min (200÷300 onde).

Assumendo la condizione 𝐴: -∞ ≤ 𝜂(𝑡) ≤ 𝜂 si definisce:

Distribuzione di probabilità (o densità di probabilità cumulata) di Gauss:

P 𝜂 = _−∞^𝜂 _𝜎 ¹

𝑥 2𝜋𝑒

𝜂−𝜇𝑥 2 2𝜎𝑥2 𝑑𝜂

Distribuzione di probabilità Densità di probabilità

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00

p(𝜂)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00

P(𝜂)

𝜂 𝜂

-𝜎_𝑥 𝜎_𝑥

Gli stati di mare

Descrizione degli stati di mare

Dominio del tempo

Dominio delle frequenze

Analisi statistica

Analisi spettrale

Statistica di breve periodo

Gli stati di mare

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

0 500 1000 1500 2000 2500

Analisi nel dominio del tempo Analisi probabilistica Analisi nel dominio Delle frequenze Analisi spettrale

Gli stati di mare

“zero upcrossing”

“zero downcrossing”

Individuazione delle singole onde che compongono la registrazione, ciascuna con periodo ed altezza d’onda diverse

Caratteristiche degli stati di mare

nel dominio del tempo

Individuate le onde con uno dei due metodi e assumendo come riferimento per le sopraelevazioni il livello di quiete, si definisce:

i) cresta: il massimo relativo più alto presente nell’onda;

ii) cavo: il minimo relativo di minore ordinata;

iii) altezza della cresta: ordinata della cresta;

iv) profondità del cavo: il valore assoluto della profondità del cavo;

v) altezza dell’onda: la somma dell’altezza di cresta e della profondità del cavo (in formule H = h cresta - h cavo );

Numerazione in ordine decrescente di onde individuali e dei corrispondenti periodi rilevati con il metodo dello zero-upcrossing da un segnale di sopraelevazione.

Caratteristiche degli stati di mare

nel dominio del tempo

DEFINIZIONI

•La densita' di probabilita' di una variabile aleatoria X e' una funzione f=f(X) tale che

f(X*)dX sia la probabilita' che X assuma un valore compreso tra X* e X*+dX

•Probabilità cumulata P(x), la probabilità che la variabile x sia minore o uguale ad un valore prefissato x_a (anche indicata come P (x ≤ x_a).

In formule: P(x)= ∫ p(x)dx

•Probabilità di superamento P_s(x) rappresenta la probabilità che x sia maggiore di x_a :

P_s(x > x_a)=1- P(x)

Determinate le altezza delle N onde individuate nella registrazione, si suddivide la popolazione in classi di altezza.

Caratteristiche degli stati di mare nel dominio del tempo

si cerca la funzione di densità di probabilità che meglio approssima il campione

Legge di densità di probabilità di Rayleigh:

𝒑 𝒙 = ^𝒙

𝒄^𝟐𝒆⁻

𝒙𝟐

𝟐𝒄𝟐 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ≥ 𝟎; 𝒄 = 𝟐 𝝈_𝒙

𝜎_𝑥² = 1 𝑇 ₀

𝑇

𝜂 𝑡 ²𝑑𝑡 = 1 𝑁_𝑤

𝑖=1 𝑁_𝑤

𝑎_𝑖co s 𝜑₁ ² = 𝑎_𝑖² cos 𝜑_𝑖 ² = 𝐻_𝑟𝑚𝑠² 4

1 2

⇒ 𝑯_𝒓𝒎𝒔 = 𝟐 𝟐 𝝈_𝒙

Poichè:

Distribuzione di probabilità Densità di probabilità

Legge di probabilità di Rayleigh

Valida per stati di mare in regime stazionario in acque profonde ed intermedie

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

P(𝜂)

𝜂

𝑝 𝐻 = 2𝐻 𝐻_𝑟𝑚𝑠² 𝑒⁻

𝐻 𝐻_𝑟𝑚𝑠

2

𝑃 𝐻 = 1 − 𝑒⁻

𝐻 𝐻_𝑟𝑚𝑠

2

Caratteristiche degli stati di mare nel dominio del tempo

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

p(𝜂)

𝜂

Caratteristiche degli stati mare nel dominio del tempo

Altezza caratteristica dello stato di mare Probabilità di superamento:

𝑃 𝐻 ≥ 𝐻 = c = 1 − 𝑃 𝐻 < 𝐻 = 𝑒⁻

𝐻 𝐻_𝑟𝑚𝑠

2

Distribuzione di probabilità

Probabilità di superamento di Rayleigh

𝑃 𝐻 ≥ 𝐻 = 𝑁_𝑤 𝑁_𝑐

𝐻_𝑐 = 1 𝑁_𝑐

𝑁_𝑤−𝑁_𝑐 𝑁_𝑤

𝐻_𝑖

𝑐 = 100% ⇒ 𝑁_𝑐 = 𝑁_𝑤 𝐻_𝑐 = 𝐻 = 1 𝑁_𝑤

1 𝑁_𝑤

𝐻_𝑖

𝑁_𝑤 = numero di onde dello stato di mare

𝑁_𝑐 =numero di onde con altezza maggiore di 𝐻

Caratteristiche degli stati mare nel dominio del tempo

𝑯_{𝟏 𝟑} = 𝑯_𝒔 = 𝟏, 𝟔 × 𝑯 = 𝟐𝑯_𝒓𝒎𝒔 𝑯_{𝟏 𝟏𝟎} = 𝟐, 𝟎𝟑 𝑯 = 𝟏, 𝟐𝟕𝑯_𝒔 𝑯_𝒎𝒂𝒙

𝑯_𝒔 = 𝟏

𝟏, 𝟒𝟏𝟔 𝐥𝐧 𝑵_𝒘 + 𝜸 𝟐 𝐥𝐧 𝑵_𝒘

𝛾 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟𝑜 = 0,5772

𝑯 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟓 𝑯_𝒓𝒎𝒔 ALTEZZE CARATTERISTICHE

Caratteristiche degli stati mare nel dominio del tempo

PERIODI CARATTERISTICI

𝑻_𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟔 ÷ 𝟏, 𝟑 𝑻_𝟏

𝟑

𝑻_𝟏

𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟗 ÷ 𝟏, 𝟏 𝑻_𝟏

𝟑

𝑻_𝟏

𝟑 = 𝟎, 𝟗 ÷ 𝟏, 𝟒 𝑻

𝑻_𝒎𝒂𝒙 = 𝑻_𝟏

𝟑 = 𝑻_𝟏

𝟏𝟎 = 𝟏, 𝟐 𝑻

Scarsa correlazione con le altezze d’onda (specialmente quelle più alte.

SI ASSUME:

Caratteristiche degli stati mare nel dominio del tempo

L’altezza quadratica media è anche altezza energeticamente equivalente dello stato di mare

𝑬 = 𝟏 𝑵

𝟏 𝑵_𝒘

𝑬

= 𝝆𝒈 𝟖

𝟏 𝑵

𝟏 𝑵_𝒘

𝑯

= 𝝆𝒈

𝟖 𝑯

= 𝝆𝒈

𝟒 𝑯

Un’onda random può essere descritta come sovrapposizione di infinite onde sinusoidali di ampiezza, fase e periodo variabili.

Caratteristiche degli stati mare nel dominio delle frequenze

+ +

+ + + + =

𝜂 𝑡 =

𝑗=1

∞

a_j cos (_jt − δ_j)

Si può dimostrare che il quadrato della deviazione standard _𝜂 delle elevazione è proporzionale alla somma dei quadrati delle a_j

La distribuzione dell’energia dell’onda, chiamata spettro di frequenza, espressa in funzione della frequenza può essere scritta

Combinando le due equazioni si ottiene l’espressione dello spettro di energia continuo



 

1 a 2

j j

E ( )(    )  1 a

2

0



 E( )   

E( )d  

L’analisi spettrale può essere effettuata utilizzando le funzioni di Fourier:

ANALISI SPETTRALE

Caratteristiche d degli stati mare nel dominio delle frequenze

𝑋 𝑓 =

−∞

+∞

𝑥 𝑡 ∗ 𝑒^{−𝑗2𝜋𝑓𝑡} 𝑑𝑡

𝑥 𝑡 =

−∞

+∞

𝑋 𝑓 ∗ 𝑒^{+𝑗2𝜋𝑓𝑡} 𝑑𝑓

Trasformata di Fourier

Antitrasformata di Fourier

L’algoritmo più usato per risolvere i suddetti integrali è la FFT (Fast Fourier Transform) che consente di ricostruire le ampiezze e le fasi in funzione delle frequenza.

ANALISI SPETTRALE

Caratteristiche degli stati mare nel dominio delle frequenze

In generale si preferisce utilizzare lo spettro di potenza piuttosto che lo spettro di ampiezza.

L’area del rettangolo tratteggiato è proporzionale all’energia relativa alla componente a frequenza 𝜔_𝑖

∆𝜔

ANALISI SPETTRALE

Caratteristiche degli stati mare nel dominio delle frequenze

Dallo spettro discreto si passa allo spettro continuo:

Si definisce momento di ordine n-esimo dello spettro:

∆𝜔

𝑚_𝑛 =

−∞

+∞

𝑆 𝜔 𝜔^𝑛𝑑𝜔

𝑚₀ = 𝜎_𝑥²

Teorema di Parseval: 𝑚₀ = 𝐻_𝑟𝑚𝑠²

8 Energia della mareggiata

ANALISI SPETTRALE

Caratteristiche degli stati mare nel dominio delle frequenze

Altezza media spettrale:

𝑯_𝒎𝟎 = 𝟒𝝈_𝒙 = 𝟒 𝒎_𝟎 = 𝟒 𝑯_𝒓𝒎𝒔^𝟐

𝟖 = 𝟐 𝑯_𝒓𝒎𝒔 = 𝑯_𝒔

Periodo medio spettrale (risulta uguale al periodo medio zero-crossing):

𝑇_𝑚 = 𝑇 = 2𝛱 𝑚₀ 𝑚₂ Periodo di picco:

𝑇_𝑝 ≅ 𝑇_𝑠

Valida in acque profonde In acque basse: H_s > H_mo

ANALISI SPETTRALE Indici descrittori dello spettro:

𝛾₁ = 𝑚₃ 𝑚₂^{3 2} 𝜀₄ = 𝑚₀𝑚₂

𝑚₁² − 1 𝜀₂ = 1 − 𝑚₂²

𝑚₀𝑚₄ Indice di ampiezza:

Broadness

Narrowness

𝜀₂ → 0 𝜀₄ → 1

𝜀₂ → 1 𝜀₄ → 0

Indice di asimmetria: Skewness

𝛾₁ > 0 𝛾₁ = 0

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

ANALISI SPETTRALE Indici caratteristici dello spettro:

Curtosi, con

𝛾₂ = 𝛽₂ − 3 𝛽₂ = 𝑚₄ 𝑚₂²

Indice di forma: Coefficiente di Pearson

𝛾₂ > 3,3 Spettri molto stretti Spettri più piatti Per spettri d’onda risulta:

𝛾₂ < 3,3

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

FORME SPETTRALI PARAMETRICHE

Pierson Moskowitz

(1964) Valido in acque profonde, per mare completamente sviluppato FORME PARAMETRICHE

𝑬 𝒇 = 𝜶𝒈

𝝎

𝒆

𝝎_𝒑 𝝎

𝟒

1.  = 0,0081

2. 𝞈_p = frequenza angolare di picco = ^{𝟎,𝟖𝟓𝒈}

𝑼_𝟏𝟎

3. 𝜷 = 0,74

U10 = Velocità del vento a 10 m slm di quota

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

Hasselman (1973)

1.  = costante di Phillips

2. 𝞈_p = frequenza angolare di picco

3.  = fattore di picco o coefficiente di amplificazione 4.  = fattore di forma

SPETTRO JONSWAP ²

𝑬 𝒇 = 𝜶𝒈

𝝎

𝒆

𝝎_𝒑 𝝎

𝟒

𝜸

𝒓 = 𝒆⁻

𝝎−𝝎_𝒑 ^𝟐 𝟐𝝈^𝟐𝝎_𝒑^𝟐

FORME SPETTRALI PARAMETRICHE

Valido in acque profonde, in regime stazionario

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

2

FORME SPETTRALI PARAMETRICHE

𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔 𝒈𝑭 𝑼_𝟏𝟎^𝟐

−𝟎,𝟐𝟐

𝝎_𝒑 = 𝟐𝟐 𝒈^𝟐 𝑼_𝟏𝟎𝑭 𝜸 = 𝟑, 𝟑

𝝈 = 𝟎, 𝟎𝟕 𝒔𝒆 𝝎 ≤ 𝝎_𝒑 𝝈 = 𝟎, 𝟎𝟗 𝒔𝒆 𝝎 > 𝝎_𝒑

𝜸 = 4,42 𝝎_𝒑𝑼₁₀ 2𝝅𝒈

3 7

Parametri dello spettro JOMSWAP:

Il valore proposto per 𝜸 è un valore medio

𝜸 varia fra 1 (JONSWAP ≡ Pearson Moskowitz) a 7 (spettro molto stretto) 𝜸 coincide con il Curtosi e può essere calolato:

con F = Lunghezza del Fetch

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

2

FORME SPETTRALI PARAMETRICHE

• Spettri idonei in acque profonde

• monodirezionali e unimodali

• JONSWAP e PIERSON MOSKOWITZ hanno strutture simili, ma il secondo è applicabile solo per mare completamente sviluppato

• Il picco di energia di JONSWAP è maggiormente pronunciato e, in genere, è più stretto e presenta una maggiore simmetria ed una coda minore alle alte frequenze

₄=0,628 ₂=0,329

𝜸_𝟐 = 𝛄

𝜸_{𝟏𝑱𝑶𝑵𝑺𝑾𝑨𝑷}< 𝜸_{𝟏𝑷.𝑴.}

JONSWAP 𝛄 = 𝟏

1< 𝛄 < 𝟕

PIERSON MOSKOWITZ

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

Non tutte le onde si propagano nella stessa direzione.

spettro direzionale in funzione della direzione di propagazione.

(x, y, t) =  a_j cos (_j t - _j – k_j (x cos_j +y sen_j )) dove

k_j =2 / L_j è la lunghezza d’onda della j-esima componente,

_j è la fase della j-esima onda al tempo t=0,

_j è l’angolo tra l’asse delle x e la direzione di propagazione della j-esima componente

ANALISI SPETTRALE DIREZIONALE

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze

2 0 0

  _{  }

    E( , ) E( , )d d

ANALISI SPETTRALE DIREZIONALE

Caratteristiche degli stati mare

nel dominio delle frequenze