Capitolo 2 La distribuzione del rendimento

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Capitolo 2 – La distribuzione del rendimento

Obiettivi del capitolo:

Basi statistiche per la descrizione del rischio

• Rendimenti con distribuzione normale (media, varianza)

• La volatilità del rendimento è misurata dallo SQM, indicatore di dispersione

• Media e varianza condizionata, per previsioni di bp

• Valuteremo differenze di volatilità per asset class

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Il rendimento e la sua descrizione

Il rendimento (holding period return) è definito da:

𝑟𝑡+1 = 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡

𝑃𝑡 + 𝐹𝐶𝑡+1 𝑃𝑡 Dove:

• P è il prezzo e quindi 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡 misura il capital gain nel periodo di detenzione

• FC è il flusso di cassa distribuito come remunerazione nel periodo (dividendo, cedola, affitto)

Il rendimento è noto solo a fine periodo (t+1) e non ex-ante al tempo t:

• 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 è l’aspettativa del rendimento formata utilizzando tutta l’informazione disponibile al tempo t (media condizionata)

• 𝐸 𝜎2 è l’aspettativa condizionata della varianza

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Il rendimento e la sua descrizione / 2

Il rendimento (holding period return) è definito da:

𝐸𝑟𝑡+1 = 𝐸𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡 + 𝐸𝐷𝑡+1 𝑃𝑡

Esiste una relazione inversa tra il prezzo corrente di un titolo (P) e il suo rendimento atteso

Applicazione (modello auto-regressivo):

Il rendimento viene spiegato dal rendimento del periodo precedente 𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 + 𝜀𝑡+1, con ε~ 0, 𝜎2

L’aspettativa condizionata sarà:

𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡

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Il rendimento e la sua descrizione / 3

𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 + 𝜀𝑡+1, con ε~ 0, 𝜎2 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡

𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 Sostituendo:

𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 = 𝛼 1 + 𝛽 + 𝛽2𝑟𝑡 L’aspettativa non condizionata (trascurando informazione al tempo t), invece, è:

𝐸𝑟𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑟𝑡−1 𝐸𝑟𝑡 = 𝐸𝑟𝑡−1

𝐸𝑟 = 𝛼

1 − 𝛽

Questa aspettativa può essere una proxy della previsione di lungo periodo

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Il rendimento e la sua descrizione / 4

Box: Sara vuole effettuare una previsione sul rendimento del mercato azionario e a tal fine stima un modello AR (𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡) ottenendo 𝛼 = 0,05 ; 𝛽 = 0,1. Nel 2018 il rendimento del mercato è stato pari a -60%. Qual è la previsione per il lungo

periodo, e per il 2019 e 2020?

Lungo periodo 𝐸𝑟 = 𝛼

1−𝛽 : 0,05

1−0,1 = 0,055 (𝑖. 𝑒. 5,5%)

Rendimento 2019 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 : 0,05 + 0,1 −0,6 = −0.01 (𝑖. 𝑒. −1%) Come è possibile spiegare questa differenza?

Rendimento 2020 𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 : 0,05 + 0,1 −0.01 = 0.049 (𝑖. 𝑒. 4,9% )

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Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe

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Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe / 2

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Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe / 3

𝑚𝑠𝑐𝑖𝑒𝑢𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑚𝑠𝑐𝑖𝑒𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡

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La distribuzione di probabilità del rendimento

Si ipotizza una distribuzione di probabilità tipo una gaussiana (normale) perché è una distribuzione che è completamente descritta dai primi due momenti (parametri) della distribuzione, media e scarto quadratico medio:

𝑓 𝑥 = 1

2𝜋𝜎 𝑒12 𝑥−𝝁𝜎

2

Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza della distribuzione di probabilità ed è una misura della volatilità del rendimento, ovvero della dispersione attorno al valore medio della distribuzione del rendimento

La distribuzione gaussiana ha la tipica forma di una campana e ha la caratteristica di

presentare un punto di flesso (il punto dove la funzione da concava diventa convessa) nel punto 𝜇 ± 𝜎

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La distribuzione di probabilità del rendimento / 2

Il punto di flesso è in corrispondenza di 0,05+ 0,25 = 0,3

In quel punto la curva da concava diventa convessa

La volatilità del rendimento è misurata dal segmento orizzontale che parte dalla media e incrocia la distribuzione nel punto di flesso

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La distribuzione di probabilità del rendimento / 3

Ma la distribuzione gaussiana rappresenta una buona approssimazione della distribuzione del rendimento di un’attività?

• Per orizzonti temporali lunghi (mese, trimestre), rendimenti azionari possono essere ragionevolmente descritti da una gaussiana (shock –vi e +vi)

• Ma per dati ad alta frequenza (p.e. rendimenti giornalieri) la gaussiana non è adatta a descrivere il fenomeno, perché non tiene conto di eventi che possono collocarsi nella coda della distribuzione (discostarsi molto dalla media)

• Se si vuole tenere conto della possibilità che ci siano frequenti eventi che si discostino dalla media («code spesse») bisogna usare distribuzioni di probabilità differenti, quali p.e. la t-Student, che siano cioè caratterizzate da un indice di curtosi in eccesso

 Per valutare l’esistenza di curtosi in eccesso si usa la statistica σ𝑡=1𝑇 𝑟𝑡− ҧ𝑟 4 − 3

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La distribuzione di probabilità del rendimento / 4

Ma la distribuzione gaussiana rappresenta una buona approssimazione della distribuzione del rendimento di un’attività? / 2

• Non è adatta a descrivere il

comportamento del rendimento di tutte le asset class

• La distribuzione del rendimento di titoli obbligazionari emessi da aziende

(«corporate bond») oltre che da «code

spesse» (dovute alla esistenza di potenziali fallimenti dell’emittente) è caratterizzata anche da asimmetria rispetto alla media

• Per valutare l’esistenza di asimmetria si

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Volatilità, rischio e probabilità di perdita

L’area sottesa ad una distribuzione normale somma al 100% e l’area a sinistra di un valore su asse orizzontale indica la probabilità che il rendimento sia minore del valore selezionato

• Fig. 2.3 l’area a sinistra della retta verticale misura la probabilità 𝑟 ≤ −25%

• Fatta pari a 100 l’area sottesa alla curva, l’area a sinistra occupa uno spazio di 11,25

 Excel:

 =DISTRIB.NORM.N(x;media;sqrtm;1)

 =DISTRIB.NORM.N(-0.25;0.05;0.25;1)

 =11,5%

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Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 3

Per una distribuzione gaussiana è possibile ricavare le seguenti probabilità, relativamente a differenti intervalli.

La probabilità (area) che il rendimento sia compreso nell’intervallo 𝐸𝑟 ± 𝜎 è pari a 68,26%

𝐸𝑟 ± 2𝜎 è pari a 95,44%

𝐸𝑟 ± 3𝜎 è pari a 99,74%

Esempio:

• Un asset rischioso con rendimento atteso (𝐸𝑟) pari a 5% e volatilità (𝜎) pari a 25% avrà un rendimento compreso nell’intervallo -20%,+30% con probabilità 68,26%

• Un rendimento pari al -10% rientra tra gli eventi che si verificano con oltre due terzi di probabilità

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Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 4

Box. Qual è la probabilità che un capitale di euro 5000 diventi 2500 dopo 1 anno?

Carola ha investito 5000 in un’attività con volatilità pari a 25%. Se il rendimento atteso è il 5%, dopo un anno Carola incasserà 5250; se il rendimento è 0, invece, euro 5000.

• Nel caso 𝐸𝑟 = 5%, la probabilità di incassare 2500 (i.e. -50%) è data da 𝑃𝑟 𝑟 − 5%

25% < −50% − 5%

25% = 𝑃𝑟 𝑧 < −2,2

=DISTRIB.NORM.N(-0.5;0.05;0.25;1) // 1,39% [=DISTRIB.NORM.N(-2.2;0;1;1)]

• Nel caso 𝐸𝑟 = 0%, la probabilità di incassare 2500 (i.e. -50%) è data da 𝑃𝑟 𝑟 − 0%

25% < −50% − 0%

25% = 𝑃𝑟 𝑧 < −2

=DISTRIB.NORM.N(-0.5;0;0.25;1) // 2,275% [=DISTRIB.NORM.N(-2;0;1;1)]

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Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 5

Box. Quando succede qualcosa di rilevante sui mercati?

Sara vuole un indicatore che segnali quando il rendimento assume valori anomali e quando invece le oscillazioni sono normali. Considererà normali oscillazioni tali per cui r è compreso in 𝐸𝑟 ± 𝜎.

L’attività nella quale ha investito ha un rendimento atteso del 5% e una volatilità del 20%.

• L’intervallo nel quale ricadono le oscillazioni normali del rendimento sarà: -15%,+25%

• La distribuzione normale è simmetrica e quindi è sufficiente moltiplicare per 2 la probabilità che il rendimento sia inferiore a -15% e sottrarre a 1 (intera area)

 =1-2*(DISTRIB.NORM.N(-0.15;0.05;0.2;1)) // 68,26%

 Area sottesa alla curva e delimitata da -15%,+25%

Figure

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