Capitolo 2 – La distribuzione del rendimento
Obiettivi del capitolo:
Basi statistiche per la descrizione del rischio
• Rendimenti con distribuzione normale (media, varianza)
• La volatilità del rendimento è misurata dallo SQM, indicatore di dispersione
• Media e varianza condizionata, per previsioni di bp
• Valuteremo differenze di volatilità per asset class
Il rendimento e la sua descrizione
Il rendimento (holding period return) è definito da:
𝑟𝑡+1 = 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡
𝑃𝑡 + 𝐹𝐶𝑡+1 𝑃𝑡 Dove:
• P è il prezzo e quindi 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡 misura il capital gain nel periodo di detenzione
• FC è il flusso di cassa distribuito come remunerazione nel periodo (dividendo, cedola, affitto)
Il rendimento è noto solo a fine periodo (t+1) e non ex-ante al tempo t:
• 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 è l’aspettativa del rendimento formata utilizzando tutta l’informazione disponibile al tempo t (media condizionata)
• 𝐸 𝜎2 è l’aspettativa condizionata della varianza
Il rendimento e la sua descrizione / 2
Il rendimento (holding period return) è definito da:
𝐸𝑟𝑡+1 = 𝐸𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡 + 𝐸𝐷𝑡+1 𝑃𝑡
Esiste una relazione inversa tra il prezzo corrente di un titolo (P) e il suo rendimento atteso
Applicazione (modello auto-regressivo):
Il rendimento viene spiegato dal rendimento del periodo precedente 𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 + 𝜀𝑡+1, con ε~ 0, 𝜎2
L’aspettativa condizionata sarà:
𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡
Il rendimento e la sua descrizione / 3
𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 + 𝜀𝑡+1, con ε~ 0, 𝜎2 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡
𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 Sostituendo:
𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 = 𝛼 1 + 𝛽 + 𝛽2𝑟𝑡 L’aspettativa non condizionata (trascurando informazione al tempo t), invece, è:
𝐸𝑟𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑟𝑡−1 𝐸𝑟𝑡 = 𝐸𝑟𝑡−1
𝐸𝑟 = 𝛼
1 − 𝛽
Questa aspettativa può essere una proxy della previsione di lungo periodo
Il rendimento e la sua descrizione / 4
Box: Sara vuole effettuare una previsione sul rendimento del mercato azionario e a tal fine stima un modello AR (𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡) ottenendo 𝛼 = 0,05 ; 𝛽 = 0,1. Nel 2018 il rendimento del mercato è stato pari a -60%. Qual è la previsione per il lungo
periodo, e per il 2019 e 2020?
Lungo periodo 𝐸𝑟 = 𝛼
1−𝛽 : 0,05
1−0,1 = 0,055 (𝑖. 𝑒. 5,5%)
Rendimento 2019 𝐸𝑡𝑟𝑡+1 = 𝛼 + 𝛽𝑟𝑡 : 0,05 + 0,1 −0,6 = −0.01 (𝑖. 𝑒. −1%) Come è possibile spiegare questa differenza?
Rendimento 2020 𝐸𝑡𝑟𝑡+2 = 𝛼 + 𝛽𝐸𝑡𝑟𝑡+1 : 0,05 + 0,1 −0.01 = 0.049 (𝑖. 𝑒. 4,9% )
Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe
Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe / 2
Stima del modello AR per il rendimento MSCI-Europe / 3
𝑚𝑠𝑐𝑖𝑒𝑢𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑚𝑠𝑐𝑖𝑒𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡
La distribuzione di probabilità del rendimento
Si ipotizza una distribuzione di probabilità tipo una gaussiana (normale) perché è una distribuzione che è completamente descritta dai primi due momenti (parametri) della distribuzione, media e scarto quadratico medio:
𝑓 𝑥 = 1
2𝜋𝜎 𝑒−12 𝑥−𝝁𝜎
2
Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza della distribuzione di probabilità ed è una misura della volatilità del rendimento, ovvero della dispersione attorno al valore medio della distribuzione del rendimento
La distribuzione gaussiana ha la tipica forma di una campana e ha la caratteristica di
presentare un punto di flesso (il punto dove la funzione da concava diventa convessa) nel punto 𝜇 ± 𝜎
La distribuzione di probabilità del rendimento / 2
Il punto di flesso è in corrispondenza di 0,05+ 0,25 = 0,3
In quel punto la curva da concava diventa convessa
La volatilità del rendimento è misurata dal segmento orizzontale che parte dalla media e incrocia la distribuzione nel punto di flesso
La distribuzione di probabilità del rendimento / 3
Ma la distribuzione gaussiana rappresenta una buona approssimazione della distribuzione del rendimento di un’attività?
• Per orizzonti temporali lunghi (mese, trimestre), rendimenti azionari possono essere ragionevolmente descritti da una gaussiana (shock –vi e +vi)
• Ma per dati ad alta frequenza (p.e. rendimenti giornalieri) la gaussiana non è adatta a descrivere il fenomeno, perché non tiene conto di eventi che possono collocarsi nella coda della distribuzione (discostarsi molto dalla media)
• Se si vuole tenere conto della possibilità che ci siano frequenti eventi che si discostino dalla media («code spesse») bisogna usare distribuzioni di probabilità differenti, quali p.e. la t-Student, che siano cioè caratterizzate da un indice di curtosi in eccesso
Per valutare l’esistenza di curtosi in eccesso si usa la statistica σ𝑡=1𝑇 𝑟𝑡− ҧ𝑟 4 − 3
La distribuzione di probabilità del rendimento / 4
Ma la distribuzione gaussiana rappresenta una buona approssimazione della distribuzione del rendimento di un’attività? / 2
• Non è adatta a descrivere il
comportamento del rendimento di tutte le asset class
• La distribuzione del rendimento di titoli obbligazionari emessi da aziende
(«corporate bond») oltre che da «code
spesse» (dovute alla esistenza di potenziali fallimenti dell’emittente) è caratterizzata anche da asimmetria rispetto alla media
• Per valutare l’esistenza di asimmetria si
Volatilità, rischio e probabilità di perdita
L’area sottesa ad una distribuzione normale somma al 100% e l’area a sinistra di un valore su asse orizzontale indica la probabilità che il rendimento sia minore del valore selezionato
• Fig. 2.3 l’area a sinistra della retta verticale misura la probabilità 𝑟 ≤ −25%
• Fatta pari a 100 l’area sottesa alla curva, l’area a sinistra occupa uno spazio di 11,25
Excel:
=DISTRIB.NORM.N(x;media;sqrtm;1)
=DISTRIB.NORM.N(-0.25;0.05;0.25;1)
=11,5%
Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 3
Per una distribuzione gaussiana è possibile ricavare le seguenti probabilità, relativamente a differenti intervalli.
La probabilità (area) che il rendimento sia compreso nell’intervallo 𝐸𝑟 ± 𝜎 è pari a 68,26%
𝐸𝑟 ± 2𝜎 è pari a 95,44%
𝐸𝑟 ± 3𝜎 è pari a 99,74%
Esempio:
• Un asset rischioso con rendimento atteso (𝐸𝑟) pari a 5% e volatilità (𝜎) pari a 25% avrà un rendimento compreso nell’intervallo -20%,+30% con probabilità 68,26%
• Un rendimento pari al -10% rientra tra gli eventi che si verificano con oltre due terzi di probabilità
Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 4
Box. Qual è la probabilità che un capitale di euro 5000 diventi 2500 dopo 1 anno?
Carola ha investito 5000 in un’attività con volatilità pari a 25%. Se il rendimento atteso è il 5%, dopo un anno Carola incasserà 5250; se il rendimento è 0, invece, euro 5000.
• Nel caso 𝐸𝑟 = 5%, la probabilità di incassare 2500 (i.e. -50%) è data da 𝑃𝑟 𝑟 − 5%
25% < −50% − 5%
25% = 𝑃𝑟 𝑧 < −2,2
=DISTRIB.NORM.N(-0.5;0.05;0.25;1) // 1,39% [=DISTRIB.NORM.N(-2.2;0;1;1)]
• Nel caso 𝐸𝑟 = 0%, la probabilità di incassare 2500 (i.e. -50%) è data da 𝑃𝑟 𝑟 − 0%
25% < −50% − 0%
25% = 𝑃𝑟 𝑧 < −2
=DISTRIB.NORM.N(-0.5;0;0.25;1) // 2,275% [=DISTRIB.NORM.N(-2;0;1;1)]
Volatilità, rischio e probabilità di perdita / 5
Box. Quando succede qualcosa di rilevante sui mercati?
Sara vuole un indicatore che segnali quando il rendimento assume valori anomali e quando invece le oscillazioni sono normali. Considererà normali oscillazioni tali per cui r è compreso in 𝐸𝑟 ± 𝜎.
L’attività nella quale ha investito ha un rendimento atteso del 5% e una volatilità del 20%.
• L’intervallo nel quale ricadono le oscillazioni normali del rendimento sarà: -15%,+25%
• La distribuzione normale è simmetrica e quindi è sufficiente moltiplicare per 2 la probabilità che il rendimento sia inferiore a -15% e sottrarre a 1 (intera area)
=1-2*(DISTRIB.NORM.N(-0.15;0.05;0.2;1)) // 68,26%
Area sottesa alla curva e delimitata da -15%,+25%
