Capitolo 3: proprietà delle onde piane

Capitolo 3: proprietà delle onde piane

Nel capitolo precedente ci siamo soffermati su come ottenere un’equazione per le onde elettromagnetiche e ne abbiamo una soluzione, introducendo così i concetti di lunghezza d’onda, frequenza, fase, ampiezza. A tutte queste grandezza abbiamo associato un’interpretazione fisica.

Restano ancora alcuni concetti da estrarre dalle equazioni di Maxwell che ci porteranno a trovare altre proprietà delle onde elettromagnetiche.

Lo spettro elettromagnetico

L’equazione delle onde (2.19) non dipende esplicitamente dalla lunghezza d’onda né dalla frequenza: potremmo dire che tutte le onde sono create uguali. Per gli esseri umani, però, ce ne sono di più uguali delle altre, quelle che ci permettono di vedere che corrispondono a un intervallo specifico di lunghezze d’onda.

Onde con differenti lunghezze d’onda hanno poi trovato negli anni usi differenti. In genere, le onde elettromagnetiche sono categorizzate secondo i loro usi;

Onde radio o onde hertziane: 


Sono quelle impiegate per le telecomunicazioni.

Microonde: 


Sono impiegate per comunicazioni, radar e, ovviamente, cucina.

Infrarosso: 


Possono essere percepite come calore.

Luce visibile: 


Sono quelle assorbite dai recettori della visione.

Ultravioletto:

Raggi X e raggi :

Questa categorizzazione però non corrisponde a una diversa fisica delle onde stesse, piuttosto ai diversi modi in cui queste possono interagire con la materia, parlando per grandi linee. Per questo motivo, la suddivisione ha elementi di arbitrarietà e confini sfumati. Approfondiremo quest’ultimo punto a proposito del visibile nei prossimi capitoli.

Nel caso della luce visibile, la lunghezza d’onda è, in parte e insieme ad altri fattori anche di natura fisiologica, responsabile del colore percepito; per estensione, onde con una frequenza ben specificata sono dette onde monocromatiche. A rigore, perché le onde siano tali, occorre che il campo elettrico e il campo magnetico oscillino indefinitamente nel tempo, cosa chiaramente impossibile. Un’onda monocromatica è, pertanto, solo un’approssimazione valida se consideriamo tempi di risposta all’onda, per esempio nel meccanismo della visione, che siano molto più brevi della durata dell’onda stessa.

Campo elettrico e campo magnetico in un’onda piana

Come abbiamo visto in precedenza, nella soluzione che abbiamo chiamato onda piana, ci sono campi elettrici e magnetici che variano nello spazio e nel tempo secondo la formula:

(3.1)

(3.2)

dove abbiamo preso la fase iniziale per entrambi i campi. Scritte così, queste due

3 10

m ≥ λ ≥ 0.3m, 10

Hz ≤ ν ≤ 10

Hz 0.3m ≥ λ ≥ 10

m, 10

Hz ≤ ν ≤ 3 10

Hz

10

m ≥ λ ≥ 0.78 10

m, 3 10

Hz ≤ ν ≤ 3.8 10

Hz

0.78 10

m ≥ λ ≥ 0.38 10

m, 3.8 10

Hz ≤ ν ≤ 7.9 10

Hz 0.38 10

m ≥ λ ≥ 6 10

m, 7.9 10

Hz ≤ ν ≤ 5 10

Hz

γ λ ≤ 6 10

m, ν ≥ 5 10

Hz

E

(x, t) = E

cos( 2π λ (x − ct)) B

(x, t) = B

cos( 2π λ (x − ct))

ϕ

= 0

variazione di questo campo elettrico, pertanto ci coglie il leggero sospetto che, in realtà, esista il modo di legarle esplicitamente, così come per le altre componenti. Per questo, facciamo un passo indietro nei passaggi che ci hanno portato dalle equazioni di Maxwell a quella delle onde e riscriviamo l’equazione

(3.3)

che abbiamo trovato in precedenza e l’equazione (3.4)

che si ottiene in maniera analoga alla (3.3), a meno del segno. Impiegando la regola di derivazione per le funzioni composte alle onde piane (3.1) e (3.2), si trova che:

(3.5)

(3.6)

che, secondo la (3.3) devono essere uguali, per una posizione e un tempo arbitrari. L’unico modo in cui questo può verificarsi è se le ampiezze soddisfano la relazione:

(3.7)

e, partendo dalla relazione (3.4) che lega le altre due componenti, viene soddisfatta anche la condizione:

. (3.8)

A partire da queste nuove relazioni (3.7) e (3.8), arriviamo a delle relazioni generali tra il campo elettrico e il campo magnetico:

(3.9)

(3.10)

Come ci aspettavamo, il modulo del campo elettrico e quello del campo magnetico in un’onda piana non sono indipendenti, dal momento che l’uno è sorgente dell’altro. Inoltre, i vettori campo elettrico e campo magnetico sono tra loro ortogonali ed entrambi ortogonali alla direzione di propagazione.

Intensità di un’onda piana

Dal momento che l’onda elettromagentica è costituita da campi, possiamo associarle una densità di energia, definita come energia per unità di volume: . La densità al tempo t in un volume infinitesimo, che si trova intorno alla posizione (x,y,z) vale:

, (3.11)

ottenuta sommando il contributo del campo elettrico e quello magnetico. In questo approccio, stiamo associando l’energia al fatto di aver prodotto dei campi piuttosto che a disposizioni di cariche e correnti. Dal momento che in un’onda piana si verifica la condizione (3.9) tra i moduli dei campi e usando la definizione della velocità della luce c in (2.20), possiamo semplificare l’espressione della densità come:

∂E

∂x = − ∂B

∂t ,

∂E

∂x = ∂B

∂t ,

∂E

(x, t)

∂x = − 2π λ E

sin( 2π λ (x − ct))

∂B

(x, t)

∂t = 2πc λ B

sin( 2π λ (x − ct)) E

= cB

E

= − cB

E

= E

+ E

= c B

+ B

= cB

E ⋅ B = E

B

+ E

B

= (cB

B

− cB

B

)sin

(2π(x − ct)/λ) = 0

u = dU/dv u = 1 2 ϵ

E

+ 1 2 B

μ

= ( ϵ

E

2 + B

2μ

) cos

(2π(x − ct)/λ)

. (3.12)

La densità di energia è quindi equipartita tra i due campi. Se fissiamo la posizione, vedremo che la densità varia rapidamente, con frequenza che, per onde che corrispondono alle lunghezze d’onda del visibile, è intorno a Hz. Tipicamente, la materia, inclusi i recettori dei nostri occhi, non riesce a rispondere istantaneamente a dei campi che oscillano così rapidamente, quindi sarà sensibile solo al valore medio dell’energia (e della sua densità), calcolato su un tempo molto più lungo del periodo:

. (3.13)

Ai fini pratici, dovremo fare la media su un numero molto grande di oscillazioni, quindi possiamo prendere la media su un tempo infinito. Abbiamo che:

, (3.14)

cosa di cui possiamo convincerci pensando al fatto che la funzione oscilla tra i valori 0 e 1, oppure facendo esplicitamente i conti, oppure consultando un manuale di analisi matematica.

Si trova così che

. (3.15)

La densità di energia assume quindi un valore costante in tutto lo spazio in ogni istante. Dal momento che lo spazio in cui si trova l’onda non è limitato, dovremmo associare all’onda piana un’energia infinita, cosa che rende questa soluzione non fisica. Il suo studio, però, non è del tutto ozioso, visto che le onde piane sono una buona approssimazione per onde lontano dalla sorgente e con dimensioni trasversali molto maggiori della lunghezza d’onda: un fascio luminoso che investe una lente di vari centimetri di diametro è ben descritto da un’onda piana.

Cerchiamo adesso di descrivere il trasporto di energia associato alle onde: se guardiamo alla figura 2.4c, vediamo che le creste, i punti in cui il campo elettrico, quindi l’energia è maggiore, si spostano verso la destra del disegno. A questo spostamento, quindi, si accompagna uno spostamento dell’energia. Ne calcoliamo il flusso che attraversa una certa area A nell’unità di tempo. Prendiamo così un piccolo volume come quello in Figura 3.1, dove abbiamo preso sufficientemente piccolo perché l’onda dentro il volume sia praticamente costante.

In un tempo , l’energia all’interno del volume cambia come

. (3.16)

La variazione di energia è quindi legata al fatto che l’onda si propaga con velocità . Il flusso è quindi dato da:

. (3.17)

Questa quantità si può esprimere come il modulo di un vettore, chiamato vettore di Poynting:

, (3.18)

u = 1 2 ϵ

E

+ 1 2 E

c

μ

= 1 2 ϵ

E

+ 1 2 ϵ

E

= ϵ

E

ν ∼ 10

⟨u⟩ = ⟨ϵ

E

⟩ = ϵ

E

⟨cos

(2π(x − ct)⟩

⟨cos

(2π(x − ct)⟩ = 1 2

cos

(θ)

⟨u⟩ = 1 2 ϵ

E

Δv = AΔx Δx Δt

ΔU

Δt = u A Δx Δt

Δx /Δt = c S = 1 A ΔU

Δt = uc = ϵ

cE

cos

(2π(x − ct)/λ) S = 1 μ

E × B

Figura 3.1

la cui direzione coincide con quella di propagazione dell’onda. Per costruzione, , ed costituiscono una terna di assi cartesiani. Il valore medio del modulo di (3.17) su un tempo lungo, vale a dire il flusso medio di energia attraverso l’area A, è dato da:

(3.19)

e in fisica prende il nome di intensità dell’onda piana e si misura in W/m².

La polarizzazione

Abbiamo visto come per le onde piane il campo elettrico deve trovarsi, in ogni istante e in ogni posizione, in una direzione ortogonale a quella di propagazione. Se questa direzione rimane costante, allora possiamo parlare di onda polarizzata.

Il campo elettrico più generale ha componenti:

(3.20)

(3.21)

dove abbiamo messo in conto il fatto che la componente lungo z può avere uno sfasamento iniziale . In base a questa differenza di fase e alle ampiezze e possiamo trovare una classificazione:

a. : in questo caso avremo una polarizzazione rettilinea. Il motivo è il seguente: nella Figura 3.2, mostriamo il campo elettrico in una posizione fissata, che possiamo porre

per diversi istanti di tempo per V/m e. V/m. All’inizio, , (Fig. 3.2a) entrambi i campi , in rosso, e , in blu, saranno al massimo della loro oscillazione e la loro

E B S

S I = ⟨S⟩ = 1 2 ϵ

cE

E

(x, t) = E

cos( 2π λ (x − ct)) E

(x, t) = E

cos( 2π λ (x − ct) + ϕ

)

ϕ

E

E

ϕ

= 0

x = 0 E

= 1 E

= 2 t = 0

E

E

-2 -1 1 2 Ey

-2 -1 1 2 E_z

-2 -1 1 2 Ey

-2 -1 1 2 Ez

-2 -1 1 2 E_y

-2 -1 1 2 E_z

-2 -1 1 2 Ey

-2 -1 1 2 Ez

Figura 3.2

ϕ = 0 ϕ = 60^∘

ϕ = 90^∘ ϕ = 180^∘

composizione darà luogo al campo in viola. L’angolo di del campo totale rispetto all’asse y

si trova come .


Se lasciamo passare del tempo, i campi varieranno - d’altronde, è proprio la natura delle onde: in un dato istante, si arriverà a una fase per la quale i campi valgono la metà del loro valore massimo (Fig. 3.2b). Tuttavia, il rapporto non è variato.

Proseguendo, in un dato istante le due componenti saranno entrambe nulle (Fig. 3.2b), poi raggiungeranno valori negativi fino ad arrivare al ventre, senza che l’angolo del campo totale cambi mai. Questo vuol dire che il campo elettrico mantiene sempre la stessa direzione, quindi si ha un’onda polarizzata. Se , abbiamo anche in questa condizione una polarizzazione lineare, ma con angolo dato da: .

b. : in questo caso avremo una polarizzazione ellittica, vale a dire, il vettore campo elettrico non compie delle oscillazioni, ma una rotazione intorno all’origine. Si può vedere, ricordandoci che , dalla composizione delle oscillazioni di e . Nel caso in cui le ampiezze delle due componenti e siano uguali, abbiamo come caso particolare una polarizzazione circolare, con il campo elettrico di modulo costante: 


,


dove abbiamo indicato e abbiamo sfruttato il fatto che . Se , la polarizzazione è sempre ellittica, ma ruota nel senso di rotazione opposto.

c. , rapidamente variabile: non possiamo definire una polarizzazione , ma soltanto dire che ci ⁵ sarà, in ogni istante, una componente lungo y con ampiezza e una lungo z di ampiezza . Se le due ampiezze e sono uguali, l’onda è completamente depolarizzata: non c’è nessuna direzione preferenziale per le oscillazioni e, anche se scegliamo l’orientazione di y e z in maniera diversa, troviamo sempre due oscillazioni indipendenti che avvengono con la stessa ampiezza.

La legge di Malus

Le sorgenti di luce ordinarie non producono luce polarizzata: se vogliamo questa proprietà, allora dobbiamo agire in qualche modo sull’onda. Un metodo molto comune è di inserire sul cammino della luce un filtro polaroid, costituito da polimeri con catene di atomi molto lunghe: queste trasmettono solo onde polarizzate in direzione perpendicolare alla catena, mentre onde polarizzate in direzione parallela vengono assorbite (Figura 3.3a). Questo significa che l’onda uscente dal filtro sarà certamente polarizzata nella direzione imposta dal polaroid, indipendentemente dal suo stato di polarizzazione iniziale (Figura 3.3b), fatto che ci permette di identificare un asse per il filtro polarizzatore.

Se l’onda incidente ha già una polarizzazione rettilinea, è possibile scomporre il campo elettrico incidente in una componente lungo l’asse e una ortogonale all’asse di cui si perdono le tracce nel polaroid (Figura 3.3c) . Se indichiamo con l’angolo tra l’asse del filtro e la direzione della polarizzazione incidente, si trova la relazione tra le ampiezze dei due campi entrante e uscente:

(3.22)

Passando invece alle intensità, che sono in effetti le quantità misurabili, si trova con la relazione (3.19) che lega l’intensità al modulo del campo elettrico:

tan θ = E

/E

= E

E /E

ϕ = 60

E

/E

= E

/E

ϕ

= π

tan θ = − E

/E

ϕ

= − π /2

cos(θ − π /2) = sin θ E

E

E

E

E

= E

+ E

= E

cos

(ϕ(x, t)) + E

sin

(ϕ(x, t)) = E

ϕ(x, t) = 2π(x − ct)/λ E

= E

ϕ

= π /2

ϕ

E

E

E

E

⃗ E

⃗ E ⃗ E

θ E = E

cos θ

E = 0 E = 0 Figura 3.3

, (3.23)

dove è l’intensità in uscita dal filtro e quella in ingresso. Questa relazione ha il nome di legge di Malus. In realtà, oltre a l l ’ a t t e n u a z i o n e d o v u t a a l fi l t ro polarizzatore, ci sono anche riflessione e assorbimento della componente , per cui la (3.23) è una formula piuttosto idealizzata, ma pur sempre utile per a v e r e u n ’ i d e a d e l l ’ e ff e t t o d e l polarizzatore.

La legge di Malus è valida solo per onde con polarizzazione rettilinea, quindi non per il caso depolarizzato né per quello con polarizzazione circolare. Nulla vieta, però, di inserire un filtro polarizzatore su un’onda depolarizzata: in questo caso, s u c c e d e c h e , i n m e d i a , m e t à dell’intensità dell’onda incidente è associate a un campo elettrico che oscilla lungo l’asse e l’altra metà a un campo elettrico che oscilla nella direzione ortogonale. Quest’ultimo viene

assorbito dal polaroid che quindi trasmette un’intensità per qualunque orientazione dell’asse.

Per la polarizzazione circolare, le cose non vanno in modo molto differente: visto che il campo elettrico non cambia mai in modulo, possiamo scegliere in modo arbitrario come orientare y e z, con l’intensità, anche in questo caso, ripartita in modo salomonico tra le due componenti;

possiamo così orientare y lungo l’asse. Come nel caso precedente, questa è la sola componente trasmessa pertanto l’intensità uscente vale sempre comunque si scelga l’orientazione dell’asse.

Conclusioni

Siamo riusciti a trovare una soluzione all’equazione delle onde e da lì abbiamo trovato alcune proprietà dei campi che le costituiscono. In particolare, abbiamo definito il concetto di polarizzazione guardando alla direzione del campo elettrico.

Dal momento che a questi campi è associata una densità di energia, possiamo concludere che l’onda comporta il trasporto di energia, fenomeno che viene descritto del vettore di Poynting e dal suo modulo, l’intensità.

Non siamo ancora riusciti a trovare un modo per collegare l’ottica fisica con l’ottica geometrica.

Probabilmente, il caso che stiamo considerando è ancora troppo semplice e dovremmo passare a studiare cosa succede se lasciamo che l’onda si propaghi nel modo più generale possibile nelle tre dimensioni.

Esercizi

1. Una sorgente laser emette luce con un intensità 150µW/cm²; questa raggiunge un polarizzatore il cui asse può essere orientato con un angolo variabile. In tabella, sono riportati i valori dell’intensità misurata dopo il polarizzatore (non c’è assorbimento apprezzabile) e dell’angolo dell’asse, misurato rispetto all’orizzontale. Qual è l’angolo di polarizzazione?

I = I

cos

θ

I I

⃗ E

I

/2

I

/2

q (˚) µW/cm²

0 139.9

45˚ 37.5

90˚ 10.0

2. Una sorgente produce luce non perfettamente polarizzata: l’intensità è per la componente con polarizzazione orizzontale, e per quella verticale - le oscillazioni tra queste componenti sono indipendenti. Qual è l’intensità trasmessa attraverso un polarizzatore con asse a rispetto alla verticale? Qual è l’angolo per cui l’intensità trasmessa è massima e perché?

3. Disponiamo di due sorgenti luminose: la prima emette luce polarizzata orizzontalmente con intensità , la seconda depolarizzata con intensità . Posto lo stesso polarizzatore sui due fasci luminosi, su quale posizione angolare questo deve essere regolato affinché l’intensità dalla prima sorgente sia il doppio di quella dalla seconda?

4. Una sorgente di luce depolarizzata illumina un polarizzatore con intensità iniziale che viene così ridotta a . Qual è l’orientazione dell’asse del polarizzatore?

I

= 0.7μW/cm

I

= 0.3μW/cm

45

I

= 0.7W/cm

I

= 0.25W/cm

I

= 2.4W/cm

2.4W/cm