Soluzione dell'equazione dell'onda Onde piane - Polarizzazione

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Elettromagnetismo

Soluzione dell'equazione dell'onda Onde piane - Polarizzazione

Teorema di Poynting. Tensore degli stress ^***

Energia e quantità di moto dell'onda

Lezione n. 40 – 18.05.2021

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Cerchiamo le soluzioni dell'equazione dell'onda uni- dimensionale utilizzando la trasformata di Fourier

• La trasformata di Fourier è definita come

• Applicando le formule precedenti alla funzione di due variabili f(x,t)

• Calcoliamo le derivate di f(x,t)

• Introduciamo nell'equazione

• L'integrando deve essere identicamente nullo

***

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Abbiamo pertanto ricondotto il problema alla ricerca della soluzione di un'equazione differenziale ordinaria (oscillatore armonico)

• Per ogni valore di k la soluzione è

• Rimandiamo la discussione delle "costanti" U(k) e V(k) che dipendono dalle condizioni iniziali

• Inserendo nell'espressione per f(x,t)

***

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Esaminiamo la soluzione trovata

• Abbiamo ritrovato la soluzione di D'Alembert

• La soluzione generale dell'equazione è la somma di due onde

• Un'onda che propaga nel senso negativo delle x

• Un'onda che propaga nel senso positivo delle x

• È facile verificare che per una arbitraria funzione h(x), due volte continua h(x ± ct) è soluzione dell'equazione delle onde

• Inoltre osserviamo che le funzioni exp[±ik(x ± ct)] sono soluzioni dell'equazione delle onde

• Sono funzioni sinusoidali

• I parametri ω e k non sono indipendenti ω = kc

• Le funzioni exp[±ik(x ± ct)] dette anche onde monocromatiche di frequenza ω = kc

• La soluzione generale, espressa sotto forma di trasformata, è una sovrapposizione (integrale) di onde sinusoidali

Soluzioni dell'equazione dell'onda

• Per finire determiniamo U(k) e V(k) in funzione delle condizioni iniziali

• Abbiamo

• Inoltre

• Otteniamo

***

Onde piane e monocromatiche

• Ritorniamo alle onde elettromagnetiche

• Abbiamo visto che i campi

E

B

• In coordinate cartesiane le 6 componenti dei campi soddisfano le equazioni dell'onda

• Una soluzione dell'equazione dell'onda non soddisfa necessariamente le equazioni di Maxwell (che accoppiano

E

B

• Le equazioni d'onda per

E

B

• La richiesta che le soluzioni soddisfino anche le equazioni di Maxwell restringe le soluzioni accettabili: onde elettromagnetiche

• Le equazioni

∇⋅E = 0

∇⋅B = 0

E

B

• Le equazioni del rotore impongono che i campi

E

B

• Consideriamo soluzioni del tipo

E(r,t) = E

e

• Un'onda che propaga lungo l'asse x

• I campi

E(r,t)

Soluzioni: onde piane

• In un'onda piana i campi

E

B

• Non necessariamente il piano deve essere perpendicolare ad uno degli assi coordinato I campi dipendono solo dalla lunghezza ζ della

proiezione di

r

• Il fatto che il campo dipenda solo da ζ implica che le derivate abbiano una forma particolare

• Espressioni analoghe per le altre derivate

• Specializziamo queste considerazioni all'operatore

∇

ζ

Soluzioni: onde piane

• Utilizzando l'espressione dell'operatore

∇

• Ricaviamo adesso la proprietà di trasversalità dell'onda piana

• Moltiplichiamo per la quarta equazione

• Analogamente per la prima equazione si ha

• Sommando le due equazioni

• Il differenziale

dE

definiamo

Soluzioni: onde piane

• Analogamente dalla seconda e dalla terza equazione si ricava

• Il significato di queste equazioni è il seguente

• In un'onda piana le variazioni

dE e dB

• È possibile che la condizione sia verificata anche per campi con componente lungo ζ

• Ad esempio, il campo

E

• Implica che anche

• Non sono onde che si propagano

• Quindi i campi

E

B

• Utilizziamo un sistema di riferimento locale ξ−η

• I campi possono essere scomposti nelle componenti E_ξ e E_η, B_ξ e B_η

• Verifichiamo adesso che queste componenti soddisfano l'equazione dell'onda inoltre

Significa che sarebbero campi statici ricordiamo la precedente

Soluzioni: onde piane

• Ricaviamo l'equazione dell'onda nella coordinata ζ

• Utilizziamo la terza e la quarta equazione

• Moltiplichiamo vettorialmente la terza per

• Deriviamo rispetto a ζ l'equazione ottenuta e rispetto a t la quarta

• Eliminiamo

B

Analogamente per il campo

B

Ci siamo ricondotti all'equazione dell'onda unidimensionale

Soluzioni: onde piane

• Le equazioni trovate sono quelle dell'onda unidimensionale

• Utilizziamo le soluzioni trovate precedentemente (vedi diapositiva )

• Pertanto ci sono due soluzioni che descrivono

• Un'onda che viaggia verso "destra": ωt−kζ

• Un'onda che viaggia verso "sinistra": ωt+kζ

• Per ciascuno dei due tipi di onda esistono ancora due soluzioni e^±i(…)

• La soluzione generale sarà data da

• Le costanti A e B sono scelte in modo che la soluzione sia reale: B = A*

• Definiamo ρ = |A| = |B| e δ = arg(A) = − arg(B)

• Sia la fase δ che l'ampiezza ρ sono arbitrarie (ρ o 2ρ è la stessa cosa)

• Una differenza di π/2 in δ fa passare da un seno a un coseno

• Le soluzioni sono pertanto onde sinusoidali che viaggiano in due direzioni φ può essere ωt−kζ oppure ωt+kζ

sono anche monocromatiche 4021294

Soluzioni: onde piane

• Abbiamo visto che le soluzioni sono onde sinusoidali

• Tuttavia è molto più semplice utilizzare gli esponenziali complessi

• Per tale motivo si indica la soluzione nella forma

• La costante A è in generale complessa: contiene eventuali sfasamenti δ

• Alla fine del calcolo si prende la parte reale

• Usiamo il vettore d'onda

• Consideriamo un'onda generale

• Ritornando alla soluzione per il campo elettrico troviamo

• Le costanti E_1ξ e E_2ξ sono complesse

• Per la componente Eη del campo si trova una soluzione analoga

• In forma vettoriale

• Il simbolo ∼ (tilde) utilizzato per i vettori sottolinea che si tratta di grandezze complesse

I vettori complessi sono necessari per una soluzione reale progressiva regressiva

Soluzioni: onde piane

• Per il campo magnetico si trova una soluzione analoga

• Troviamo una relazione fra i vettori e i vettori

• Utilizziamo l'equazione (vedi diapositiva )

• Calcoliamo le derivate

• Introduciamo nell'equazione di Maxwell

• Uguagliamo i coefficienti dei due esponenziali (ricordiamo ω = kc) 4061036

ricordiamo il campo

E

progressiva regressiva

Soluzioni: onde piane

• Consideriamo un'onda che viaggia nella direzione positiva z

• Il vettore è nella direzione x

• Il vettore punta nella direzione y

• Il periodo dell'onda

• La lunghezza d'onda

Lo spettro delle onde elettromagnetiche

Lo spettro visibile

Polarizzazione dell'onda

• L'onda che abbiamo visto ha il vettore campo elettrico che oscilla parallelamente alla direzione x

• L'onda è polarizzata linearmente

• Naturalmente il vettore

E

• La direzione del vettore

E

• Ad esempio …

• Vediamo in dettaglio come costruire un'onda polarizzata obliquamente tramite la sovrapposizione di altre due onde

• Utilizziamo due onde con polarizzazione Verticale e Orizzontale

E

E

• Scegliamo i due vettori e nel modo seguente

polarizzazione verticale polarizzazione orizzontale polarizzazione obliqua

Polarizzazione dell'onda

• Sommiamo le due onde

• Anziché sceglier opportunamente i vettori complessi è anche possibile prendere la parte reale del vettore complesso

E

• Abbiamo ottenuto un'onda polarizzata linearmente con polarizzazione obliqua

• Visualizziamo il campo

E

• È l'andamento temporale del campo sul piano x = 0

• La direzione del vettore è sempre la stessa

• La lunghezza del vettore oscilla

Polarizzazione dell'onda

• Utilizziamo adesso altre due onde

• Il vettore ha una parte immaginaria

• Sommiamo le due onde

• Calcoliamo la parte reale

• In questo caso la polarizzazione è circolare

• Studiamo il campo sul piano x = 0

• Visto dalla sorgente il vettore

E

Polarizzazione dell'onda

• Se lo sfasamento è −π/2

E

• Infine consideriamo due ulteriori sfasamenti

• φ = ±π/4

• In questo caso le onde sono polarizzate ellitticamente

• φ positivo polarizzazione sinistra

• φ negativo polarizzazione destra

Teorema di Poynting

• Abbiamo scritto l'energia associata ai campi elettrici e magnetici con le seguenti espressioni

• Queste espressioni valgono anche per campi variabili nel tempo

• Per un campo elettromagnetico si scrive

• Supponiamo che una distribuzione di cariche ρ e di correnti

J

E

B

• Supponiamo che le cariche si muovano

• v è la velocità dell'elemento di carica contenuto in dV

• Calcoliamo il lavoro fatto dal campo elettromagnetico su di esse nel tempo dt

• Consideriamo un elemento di volume dV

• Su questa carica (infinitesima) agisce la forza di Lorentz

f

• Il lavoro fatto nel volume dV (w densità di lavoro) è dato da

Teorema di Poynting

• Pertanto la potenza erogata nel volume dV è data da

• Integrando sul volume

• Consideriamo l'equazione di Maxwell

• Introducendo nell'equazione per la potenza

• Sviluppiamo il primo termine utilizzando (vedi diapositiva )¹¹³⁶39

Teorema di Poynting

• Inseriamo nella espressione della potenza

• Osserviamo che

• Sostituendo

• Il secondo integrale è l'energia elettromagnetica

• Trasformiamo il primo integrale con il teorema della divergenza

Teorema di Poynting

• Utilizzando il teorema della divergenza

• Il simbolo ∂V indica la superficie che delimita il volume V

• Sostituendo

• Definiamo il vettore di Poynting

• Interpretiamo l'equazione trovata

Il lavoro fatto sulle cariche e sulle correnti dalle forze elettromagnetiche è uguale alla diminuzione dell'energia del campo meno l'energia che

Teorema di Poynting

• La relazione precedente può essere messa in forma differenziale

• Definiamo delle quantità per unità di volume: densità

• Utilizziamo il teorema della divergenza

• Sostituendo nella relazione iniziale

• Uguagliamo gli integrandi

• Attraverso una superficie che racchiude un sistema elettromagnetico può fluire energia verso l'esterno:

∇⋅S > 0

• a) Se il lavoro sulle cariche è negativo: le cariche FANNO lavoro sul campo

• b) L'energia immagazzinata nel campo diminuisce Lavoro per unità

di volume w Densità di energia

del campo u_EM

Quantità di moto

• Abbiamo visto il campo elettrico generato da una carica in moto rettilineo uniforme ( vedi diapositiva )

• Una carica in movimento genera anche un campo magnetico

• Abbiamo derivato l'espressione del campo magnetico

B

• Le linee di campo sono delle circonferenze centrate sulla traiettoria

• L'intensità del campo magnetico dipende dall'angolo θ

• La forma dei campi appena introdotta permette di convincersi che in elettrodinamica è necessario introdurre anche il concetto di quantità di moto del campo elettromagnetico

150848

1921216

Quantità di moto

• Come primo esempio consideriamo due cariche q₁ e q₂ in movimento (v₁ = v₂)

• Le due cariche generano un campo elettrico

E

secondo la formula della diapositiva precedente

• Le forze elettriche sono (le distanze da O sono uguali)

• Le forze elettriche rispettano la terza legge di Newton

• Le due cariche generano anche un campo magnetico

• I campi magnetici

B

B

• Le forze sulle due cariche sono date dalla legge di Lorentz

• Si verifica facilmente che le due forze magnetiche hanno lo stesso modulo

• Tuttavia le due forze magnetiche non agiscono lungo la congiungente

• Non obbediscono alla terza legge di newton

• La violazione della terza legge di Newton sarebbe molto grave

• La conservazione della quantità di moto dipende dalla terza legge

• Il problema viene risolto dall'introduzione della quantità di moto del campo elettromagnetico

• Vedi: Keller J.M. – Newton's Third Law and Electrodynamics - American Journal of Physics 10, p. 302 (1948)

Quantità di moto

• Il secondo esempio è presentato sotto forma di paradosso

• Consideriamo due sistemi di riferimento Σ e Σ′

• Σ′ si muove da destra verso sinistra con velocita

v′

• Supponiamo che nel sistema Σ′ due cariche q₁ e q₂ si muovano con velocità opposte con lo stesso modulo v′

• Naturalmente nel sistema Σ la carica q₁ è ferma mentre la carica q₂ si muove con una velocità

v

• Osserviamo innanzitutto che in entrambi i sistemi l'interazione fra le due cariche è solo elettrica

• Infatti il campo magnetico nella posizione delle cariche è nullo

• Il campo elettrico generato dalle due cariche è

• Nel sistema Σ′ su ciascuna carica agisce la forza

se

v

E

B = 0

Quantità di moto

• Analizziamo adesso il fenomeno nel sistema Σ

• Nella posizione della carica q₁ il campo elettrico è

• Nella posizione della carica q₂ il campo è elettrico è

• Osserviamo che le due forze agiscono sulla congiungente ma hanno moduli diversi

• La terza legge di Newton non è soddisfatta

• Ancora una volta la soluzione si trova attribuendo quantità di moto al campo

• Si dimostra che la quantità di moto del campo è

• Si può verificare che l'equilibrio delle forze è

• Sommiamo

F

F

Jefimenko O. – European Journal of Physics 20 (1999) p. 39

t = 0

Quantità di moto

• Troviamo adesso un'espressione per la quantità di moto del campo elettromagnetico simile a quella dell'energia

• Per l'energia avevamo trovato

• Vogliamo trovare

• È una relazione più complicata: ci sono tre componenti i = x, y, z

• La quantità di moto è un vettore

• Il flusso attraverso una superficie deve essere un vettore

• La grandezza corrispondente a

S

• È un tensore: il tensore degli stress di Maxwell

• Pensiamo al flusso di quantità di moto attraverso una superficie

• Ad esempio una superficie attraversata da particelle

• Il flusso attraverso la superficie (x−y) produce quantità di moto nelle tre direzioni

• Lo stesso attraverso superfici x−z e y−z

***

Si vedrà che

Quantità di moto

• Il termine a primo membro rappresenta la variazione di quantità di moto all'interno di un volume V nell'unita di tempo

• La variazione di quantità di moto è la forza che agisce sulla materia

• Introduciamo la forza per unità di volume

• Si potrebbe procedere in modo analogo a quanto fatto per il teorema di Poynting

• Si introducono ρ e

J

• Si elabora l'espressione utilizzando le altre equazioni e opportune identità vettoriali

• Il calcolo è lungo e non particolarmente illuminante

• Si può consultare Griffiths § 8.2.2

Ricordiamo l'espressione della forza di Lorentz

***

Quantità di moto

• Si giunge al risultato

• Il primo membro è la componente i di un vettore

• La quantità fra parentesi del secondo termine del secondo membro è la componente i di un vettore che rappresenta la quantità di moto del campo

• Introduciamo la densità di quantità di moto

• Il primo termine nel secondo membro rappresenta il flusso di quantità di moto al secondo attraverso la superficie che delimita il volume

• La grandezza T_ij è il Tensore degli Stress di Maxwell

• L'integrale di superficie (un flusso) deve produrre un vettore

• D'altro canto il flusso è il prodotto di un vettore e la normale alla superficie

• Per questo motivo nell'integrando compare un tensore Notiamo che

g

al vettore di Poynting

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Esaminiamo ancora l'integrale

• Deve produrre tre componenti

• Consideriamo la componente i

• Consideriamo inoltre l'elemento di superficie

da

• Attraverso questa superficie il campo contribuisce quantità di moto lungo la direzione i tramite le tre proiezioni di

da

• Proiettiamo la superficie

da

• L'integrando della componente i è pertanto

• Infine scriviamo la legge di conservazione in forma differenziale

È la "divergenza" del tensore

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Per meglio comprendere il significato e l'uso del tensore degli Stress di Maxwell risolviamo il seguente problema

• Consideriamo una sfera di raggio R e carica Q

• Immaginiamo che la sfera sia divisa in due emisferi

• Calcolare la forza su ciascun emisfero

• Il problema si può risolvere con metodi standard

• Sappiamo che all'interno della sfera il campo è

• L'elemento di volume interno alla sfera è

• La forza esercita sull'elemento di volume dv è

• La forza totale è

• Si verifica facilmente che l'unico contributo diverso da zero è F_z

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• La forza è pertanto

• In definitiva, la forza sull'emisfero superiore è

• Ripetiamo adesso il calcolo utilizzando il tensore degli stress

• Bisogna calcolare il flusso di T_ij attraverso la superficie dell'emisfero

• Attraverso la superficie della calotta

• Attraverso la base della calotta

• Per brevità calcoliamo solo la componente z delle forza

• Sappiamo già che le altre componenti sono nulle

• Si potrebbe trarre la stessa conclusione con argomenti di simmetria

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Le componenti cartesiane del campo sono

• Scriviamo le componenti necessarie del tensore

• L'elemento di superficie sulla calotta sferica è

• Le componenti sono

• Il contributo alla forza della calotta F_c è pertanto

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Pertanto

• Rimane da calcolare il contributo della superficie inferiore

• L'elemento di superficie sulla base equatoriale è

• Sulla superficie inferiore (θ = π/2)

• La forza totale è In accordo con il risultato

della diapositiva 389436¹⁴¹²

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Non è obbligatorio utilizzare la superficie dell'emisfero

• È sufficiente utilizzare una superficie che contiene la carica sulla quale vogliamo effettuare il calcolo

• Eventualmente anche nel caso magnetico

• Una superficie chiusa che contiene tutte le cariche e le correnti di interesse

• Possiamo utilizzare una superficie differente

• Ad esempio una calotta più grande

• Al crescere del raggio della semisfera il contributo della superficie sferica tende a zero

• Bisogna tuttavia aggiungere il contributo della superficie piana da r = R a r = ∞

• Per r > R il campo elettrico

E

• La componente di T_ij di interesse è T_zz

L'elemento di superficie è lo stesso di prima

***

Il tensore degli stress di Maxwell

• Riassumendo

• Il contributo del piano per r < R è

• Il contributo restante del piano (R − ∞)

• Complessivamente la forza è

• In accordo con il risultato precedente

• Il risultato trovato è molto importante e utile

• Si può' calcolare la forza su un sistema complicato di cariche (e correnti) ignorandone i dettagli calcolando il flusso del tensore degli stress su una superficie chiusa arbitraria (conveniente) che racchiude tutto il sistema di interesse

• Esercizio

• Riprodurre la forza di Coulomb fra due cariche utilizzando il tensore degli stress di Maxwell

***