Onde piane locali

Onde piane locali

Il campo è descrivibile in termini di onde piane TEM locali quando le sue componenti e i parametri costitutivi del mezzo variano “abbastanza lentamente” in funzione delle coordinate spaziali, nel senso che subiscono variazioni trascurabili su lunghezze dell’ordine di l. Si ha:

( , )

0

( )

^{j 0S r}

^{( )} ( , )

0

( )

^{j 0S r}

^{( )} (*) E r  = E r  e

^{− }

H r  = H r  e

^{− }

Funzione Iconale

( )

S r

Le (*) rappresentano dunque soluzioni delle equazioni di Maxwell che godono (localmente) delle stesse proprietà delle onde piane TEM uniformi.

Si parla pertanto di Onde Piane TEM Locali. L’espressione del vettore di Poynting è identica a quella valida per onde piane uniformi:

2

*

0

ˆ con ˆ

2 2

E H E S

s s

 S

 

= = =

S 

^ L’Energia si propaga lungo i raggi ottici

Come per le onde piane, anche per le onde piane locali si ha che la densità di potenza (modulo del vettore di Poynting) vale:

( )

0

( )

²

1

I r 2 E r

= 

Intensità del raggio

Ottica geometrica e disomogeneità concentrate

-Le ipotesi su cui si basa l’ottica geometrica cadono in difetto in prossimità di superfici attraverso le quali i parametri costitutivi del mezzo, e quindi anche alcune delle componenti del campo, subiscano discontinuità di prima specie (disomogeneità concentrate).

-Per aggirare il problema si ricorre ancora al concetto di onda piana locale. Si ammette che ciascun raggio incidente sulla superficie di discontinuità abbia punto per punto un comportamento analogo a quello di un’onda piana TEM uniforme avente in tutto lo spazio le medesime condizioni di incidenza che valgono localmente per il raggio. Si ha quindi:

( )

₀ ^{s ri}

( )

₀ ^{s ri}

^{= 1 ˆ} ( )

i i i i i i

E r E e H r H e s E r



−  − 

=  =  

Allora ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad un raggio riflesso e ad un raggio trasmesso, le cui direzioni iniziali (sulla superficie di discontinuità) sono definite dalle leggi di Snell della riflessione e della rifrazione.

( ) ^ˆ

dove s

_i

= a

_i

+ jb

_i

=  + j  s

_i

s ˆ

_i direzione di incidenza

Ottica geometrica e disomogeneità concentrate

Il mezzo in cui si propaga l’onda incidente è caratterizzato dai parametri elettromagnetici m, e, s. Inoltre, si possono introdurre

c

j

e e s

= + 

0 0

n me

c

= m e

La permittività complessa: L’indice di rifrazione:

L’impedenza intrinseca del mezzo:

c

 m

= e

Nel caso di mezzo privo di perdite e con

m = m

₀, si ha:

0

n

e e

r

= e =

^{0 0}

0

0

con n

 m

 

= = e 

₀ impedenza di

spazio libero In questo caso, si ha:

( ) ( )

0

0

ˆ

0 0

ˆ

0 0

0

ˆ

i i

i i

jb r jn s r

i i i

jb r jn s r

i i i i i

E r E e E e

H r H e H e n s E







−  − 

−  − 

 =  = 

 

=  =  = 

 

il campo incidente associato all’onda TEM uniforme si può riscrivere come:

0 0

0 ˆ 0

0

ˆ

i i i i

i i i i

a s

b n jb jn s

 

s   me  

 =  = =

 

=    = = =    =

Esempio 1: riflessione sul terreno

➢In un radiocollegamento, in assenza di ostacoli (naturali e non) ed in assenza di particolari fenomeni che si generano nell’atmosfera (effetto condotto, inversione termica, ecc…) si hanno due contributi principali: il raggio diretto e quello riflesso dal terreno.

➢Nel caso di un radiocollegamento siamo sempre in condizioni di campo lontano, essendo soddisfatta la più stringente delle:

d>>l d>>D d>>2D

²

/ l

➢In queste condizioni ciascun cammino corrisponde ad un’onda piana e uniforme (in realtà un’antenna emette un’onda sferica, che si può però supporre localmente piana) I raggi seguono delle traiettorie rettilinee.

➢Supponendo che anche la superficie del suolo sia localmente piana, il raggio riflesso sul terreno soddisfa la legge della riflessione speculare.

1

d 2

Esempio 2: propagazione in presenza di ostacoli

In ambienti complessi come quello urbano, l’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente reale di propagazione prima di giungere al ricevitore. I meccanismi di propagazione più importanti sono:

1) Riflessione;

2) Trasmissione (Rifrazione);

3) Diffrazione;

4) [ Diffusione (Diffuse Scattering) ]

Vertex Diffraction

Transmission Reflection

Edge Diffraction

Scattering

Riflessione e trasmissione (caso ideale)

➢ Si consideri un’onda piana uniforme che incide sulla superficie di separazione fra 2 mezzi omogenei. Si supponga di che tale superficie sia approssimabile come un piano illimitato.

➢ Nei casi pratici in cui la superficie di separazione non sia assimilabile ad un piano si tratterà di considerare di volta in volta una porzione abbastanza piccola della superficie da poter essere considerata piana (principio del campo locale).

➢ Si vogliono determinare i coefficienti di riflessione e trasmissione nel caso in cui i 2 mezzi siano caratterizzati da proprietà elettromagnetiche generiche.

Si impone la continuità delle componenti tangenti dei campi (elettrico e magnetico) incidente, riflesso e trasmesso sulla superficie di separazione, supponendo che su questa non vi siano correnti superficiali né impresse né indotte (o siano talmente piccole da poter essere trascurate).

[ Si ricordi che nel mezzo 1 vi sono il campo incidente e il campo riflesso, mentre nel mezzo 2 vi è solo campo trasmesso ]

Riflessione/Trasmissione

-

Mezzi 1 e 2 omogenei [e privi di perdite]

-

Interfaccia di separazione piana e infinitamente estesa - Onda incidente piana TEM uniforme (nel mezzo 1):

1 0ˆ 1

0

1 0

1 ˆ ˆ

;

jn s ri

i i i i i i i

E E e

^

H s E n s E

 

− 

=  =  = 

: : : ˆ : ˆ : ˆ :

i r t i t r

s versore onda incident angolo di incidenza

angolo di riflessi

e s versore onda trasmessa s

one angolo di tras

versore on

m

da riflessa issione







Ipotesi:

X

sˆ

t

(m₀ , e₁)

(m₀ , e₂)

sˆ

r

sˆ

i



t



r



i

Mezzo 1

Mezzo 2

Nel mezzo 2, si generano due onde piane (riflessa e rifratta)

0

1

,

s rr r r

r r r

s E

E E e H

j m

− 



=  =

₀

2

,

s rt t t

t t t

s E

E E e H

j m

− 



=  =

A questo punto, imponiamo la continuità delle componenti tangenti () del campo elettrico e magnetico totale attraverso la superficie di discontinuità.

A tal fine, è comodo adottare un sistema di riferimento ortogonale Oxyz con l’asse x ortogonale all’interfaccia di separazione fra i 2 mezzi (figura).

Si ha:

( ) ( ) ( )

2 0 1 0 1 0

0 ^{jn s y s zty tz}

0 ^{jn s y s ziy iz} 0 ^{jn s y s zry rz}

, (1)

t i r

E

^

 e

^{−  +}

= E

^

 e

^{−  +}

+ E

^

 e

^{−  +}

 y z

t

i r

E

^

= E

^

+ E

^

Supponendo che anche le onde riflessa e rifratta siano piane TEM uniformi, avremo:

1 0ˆ

0 ^{jn s rr}

, 1 ˆ

r

r r r r

E E e

^

H s E



− 

=  =  E

_t

E

_t0

e

^{jn20s rˆt}

, H

_t

1 ˆ s

_t

E

_t



− 

=  = 

Una espressione analoga vale per il campo magnetico se si trascurano le correnti superficiali:

t

i r

H

^

 H

^

+ H

^

( ) ( ) ( )

2 0 1 0 1 0

0 ^{jn s y s zty tz}

0 ^{jn s y s ziy iz} 0 ^{jn s y s zry rz}

,

t i r

H

^

 e

^{−  +}

 H

^

 e

^{−  +}

+ H

^

 e

^{−  +}

 y z

[ Nota: a rigore, la teoria che si svilupperà nel seguito sarebbe valida solo per mezzi puramente dielettrici. Tuttavia, la si può estendere anche a mezzi

“debolmente conduttori” (supponendo che le correnti superficiali siano abbastanza piccole da poter essere trascurate), e in tal caso si può tener conto delle perdite nei mezzi attraverso la permittività complessa o l’indice di rifrazione complesso. ]

[ In generale, sarebbe ]

H

_i^

+ H

_r^

− H

_t^

= J

_S

 i ˆ

_n

1) Leggi della riflessione e della rifrazione

Affinché l’espressione (1) sia soddisfatta per ogni y,z deve essere:

1 1 2

1 1 2

(2) (3)

iy ry ty

iz rz tz

n s n s n s n s n s n s

= =

= =

Dividendo membro a membro si ottiene:

(4)

iz rz tz

iy ry ty

s s s

s = s = s = k ^{ , , s s s ˆ ˆ ˆ}

_{i r t}

Allora:

ˆ cos ˆ sin ˆ

ˆ ˆ

ˆ cos sin

ˆ ˆ

ˆ cos sin

i i x i z

r r x r z

t t x t z

s i i

s i i

s i i

 

 

 

 = −  + 

 =  + 

  = −  + 



X

Z

sˆ

t

(m₀ , e₁)

(m₀ , e₂)

sˆ

r

sˆ

i

t

r

i

Mezzo 1

Mezzo 2

complanari e appartenenti al piano di equazione (passante per x e alla superficie di separazione)

z = ky ⊥

piano di incidenza

A questo punto, è conveniente adottare un riferimento cartesiano ortogonale tale che il piano di incidenza coincida con il piano xz (figura). Scomponendo i 3 versori di propagazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa rispetto agli assi x e z di tale riferimento, si ottiene:

Sostituendo le espressioni dei versori nella (3) si ottiene:

1

sin

_i 1

s in

_{r i r}

LEGGE DELLA RIFLESSIONE (5) n  = n     =

Supponiamo che n

₁

,n

₂

 (mezzi privi di perdite) e n

₁

>n

₂

, dalla legge di Snell della rifrazione si ha: 

_i

< 

_t

. Se si aumenta 

_i

si arriva ad un angolo di trasmissione 

_t

=  /2 per cui si ha riflessione totale ( 

_i

= 

_c

angolo critico).

In realtà, anche se per angoli di incidenza maggiori di



_c l’onda trasmessa si propaga lungo l’asse z, nel mezzo 2 c’è comunque campo. Infatti:

( )

2 0

2 0ˆ cos sin

0 ^{jn s rt}

=

0 ^{jn tx tz}

t t t

E = E  e

^{−  }

E  e

^{−  −  + }

1 sin

sin 1

cos 1

sin 

_t

  

_t

= −

²



_t

=  j

²



_t

−

1

sin

_i 2

sin

_t

LEGGE DI SN (6 )

n  = n  ELL

Dalla (6), aumentando _i fino a superare



_c, si avrebbe:

e infine:

2

2 0 sin 1 2 0sin

0 ^{n t x}

^{jn t z}

t t

E = E  e

^{−   −}

 e

^{−  }

2

1 2

1

sin

_{C C}

arcsin n

n n

 =   = ^  n ^ 

 

Quindi:

Quindi, quando si verifica la riflessione totale, nel mezzo 2 si ha un’onda trasmessa che si propaga (con andamento sinusoidale) lungo la superficie di separazione (asse z), mentre essa si attenua in modo esponenziale nella direzione normale alla superficie stessa (

asse x).

Tale onda è detta onda evanescente.

Oltre alla (2) e alla (3) bisogna imporre:

0 0 0

0 0 0

i r t

(7)

i r t

E E E

H H H

  

  

 + =

 

+ =



Per risolvere questo sistema scomponiamo i campi rispetto ai riferimenti locali rappresentati in figura:

(  ^ˆ

ⁱ

^{, , i s ˆ}

^y

^ˆ

ⁱ

) ( ^,  ^ˆ

^r

^{, , i s ˆ}

^y

^ˆ

^r

) ( ^,  ^ˆ

^t

^{, , i s ˆ}

^y

^ˆ

^t

) terne ortogonali destrorse

_I _R

z

_T x

iˆ

y

iˆ

y

iˆ

y

ˆ

_r

ˆ

_i

s

s

ˆ

_t

s

 ^ˆ

r

 ^ˆ

i

 ^ˆ

t

2) Calcolo dei coefficienti di riflessione e di trasmissione

Allora:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

1

0 0 0

0

ˆ ˆ

ˆ ˆ (8)

ˆ ˆ

ˆ : ˆ ˆ

... (9) ...

i i i i y y

r r r r y y

t t t t y y

i i y i y i

E E E i

E E E i

E E E i

e ricordando H s E n

H n E i E

















 

 = +

 = +

 

= +



= 

 =  − 

  

 

 

Esplicitando in funzione di x e z si ha:ˆ_i,ˆ_r,^ˆ_t

ˆ sin ˆ cos ˆ

ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ cos ˆ (10) ˆ sin ˆ cos ˆ

i i x i z

r r x r z i x i z

t t x t z

i i

i i i i

i i

  

    

  

 = +

 = − = −

 

= +



_I _R

z

_T x

iˆ

y

iˆ

y

iˆ

y

ˆ

_r

ˆ

_i

s

s

ˆ

_t

s

 ^ˆ

r

 ^ˆ

i

 ^ˆ

t

Per un’onda piana incidente con polarizzazione generica, si avrà:

I campi e si possono sempre scomporre nelle due componenti lungo , descrivendo due soluzioni indipendenti tra loro e mutuamente esclusive, ma sufficienti, una volta composte, a rappresentare un campo qualsiasi!

Si tratta, in pratica, di una scomposizione del campo in 2 polarizzazioni (lineari) ortogonali.

Per si parla di Polarizzazione perpendicolare (TE)

Per si parla di Polarizzazione parallela (TM)

E 

iy

ˆ e ˆ



i

y

E  // ˆ

 ^ˆ //

E 

0

0

ˆ 0

1 1 ˆ

0 0

0 0

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

i

i

jn s r TE

i y y

jn s r

TE TE

i i y i i i

E E e i

n n

H s E E e H











 

− 

− 

 =  

 

= −  = −   =

 

Polarizzazione TM:

Polarizzazione TE:

0

0

ˆ 0

0 0 ˆ

0 0

1 1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

i

i

jn s r TM

i y y

jn s r

TM TE

i i y i i i

H H e i

E H s H e E

n n



 

   

− 

− 

 =  

 

=  =   =

  H

e H / / i ˆ

_y

 

 

Nel caso TE e nel caso TM, rispettivamente, il campo incidente viene espresso dalle:

[ TE e TM stanno per “Trasversale Elettrica e “Trasversale Magnetica”, rispettivamente]

( ) ^ˆ

e quindi H / / 

 − 

 

[ rispetto al piano di incidenza ]

0 0 0

0 0 0

i y r y t y

i z r z t z

E E E

H H H

 + =

 + =



1 1 2

0 0 0

0 0 0

0

cos

0

cos

0

cos

i r t

i i r i t t

n n n

E E E

E E E

  

  

  

  

 + =

 

− + = −



0 0 0

1 1 2

0 0 0

0 0 0

cos cos cos

i y r y t y

i y i r y i t y t

E E E

n n n

E  E  E 

  

 + =

 

− + = −

 

2) Polarizzazione TM:

1) Polarizzazione TE:

D’altra parte, le componenti dei campi tangenti alla superficie di interfaccia sono rispettivamente, nel caso di polarizzazione TE e TM:

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

TE TE TE

x x y y

TE TE TE

x x z z

E i E i E i

H i H i H i





 =   = 

 

 =   = 



( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

TM TM TM

x x z z

TM TM TM

x x y y

E i E i E i

H i H i H i





 =   = 

 

 =   = 



0 0 0

0 0 0

i y r y t y

i z r z t z

H H H

E E E

 + =

 

+ =



Imponendo l’uguaglianza delle componenti tangenziali dei campi elettrici e

magnetici che si propagano nei 2 mezzi e sfruttando le (10), si ottiene

quindi:

1) POLARIZZAZIONE TE:

( ) ( ) ( )

1 _{i y}0

cos

_i 1 _{r y}0

cos

_r 2 _{t y}0

cos

_t

n − E  + n E  = n − E 

Sostituendo allora la prima eq. del sistema nella seconda…

( )

( ) ( )

1 0 1 0 2 0 0

0 1 2 0 1 2

cos cos cos

cos cos cos cos

i y i r y r i y r y t

i y i t r y i t

n E n E n E E

E n n E n n

  

   

− + = − + 

− = +

I coefficienti di riflessione e trasmissione per la polarizzazione TE valgono quindi:

0 1 2

0 1 2

cos cos

cos cos

r y i t

TE

i y i t

E n n

E n n

 

 

 = = −

+

0 1

0 1 2

2 cos

cos cos

t y i

TE

i y i t

E n

E n n

 

 

= =

+

TE

1

TE

 = + 

Si noti che risulta:

Analogamente:

( ) ( ) ^{( )}

( )

0 1 2 0 0 1 2

0 1 0 1 2

cos cos cos cos

2 cos cos cos

i y i t t y i y i t

i y i t y i t

E n n E E n n

E n E n n

   

  

− = − + 

= +

Coefficienti di Fresnel

I coeff. di Fresnel si possono esprimere in funzione del solo angolo _i applicando la legge di Snell…

2 2

1 1 1 2 2

2 2 2 1

sin _t n sin _i cos _t 1 n sin _i n n sin _i

n n n n



=







= −^



^ = ^ ^ −



   

Allora, sostituendo nelle espressioni precedenti…

2 2 2 1

2 2 2 1

cos sin

cos sin

i i

TE

i i

n n n n

 

 

 

−   −

 

 =

  +   −

 

Utilizzando l’angolo di elevazione o di radenza  =  −_i 2

2 2 2 1

2 2 2 1

sin cos

sin cos

TE

n n n n

 

 

 

−   −

 

 =

  +   −

 

Analogamente:

2 2 2 1

2sin

sin cos

TE

n n

 

 

=

  +   −

 

(usato spesso in radiotecnica)

2 2 2 1

2 cos 1

cos sin

i

TE TE

i i

n n

 

 

= +  =

  +   −

 

2) POLARIZZAZIONE TM:

Dalla seconda, riordinando …

1 1

0 0

2 2

cos cos cos cos

i i t r i t

n n

E E

n n



^   −   ^ =



 ^  +  ^ 

   

1 1 2

0 0 0

0 0 0

0

cos

0

cos

0

cos

i r t

i i r i t t

n n n

E E E

E E E

  

  

  

  

 + =

 

− + = −



1 0 1 0 2 0

1 1

0 0 0 0

2 2

cos cos cos

i r t

i i r i i r t

n E n E n E

n n

E E E E

n n

  









 



 + =

   

− + = −  + 

  



( ) ( )

0 2

cos

1

cos

0 2

cos

1

cos

i i t r i t

E

_

n  − n  = E

_

n  + n 

0 2 1

0 2 1

cos cos

cos cos

r i t

TM

i i t

E n n

E n n





 

 

 = = −

+

quindi …

2 2

1 1 2 2 2

1

2 2 1 1

2

2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 1 1

2 2

2 2 2

1 1

2 2

2 2 2

1 1

cos sin

cos cos

cos cos

cos sin

cos sin

cos sin

i i

i t

TM

i t

i i

i i

i i

n n n n

n

n n n n

n

n n n n n

n n n n n

n n

n n

n n

n n

 

 

   

 

 

   

−  −

−    

   

 = =  =

 

 

+ +      −    

   

− −

   

   

=

   

+ −

   

   

In modo analogo, per il coefficiente di trasmissione si ha:

2

0 0 0

1

2

0 0 0 0

1

cos cos cos

r t i

i i t i i t t

E n E E

n

E n E E E

n

  





 







 = −

 

  

− +  −  = −

  



quindi …

2 1

2 2

2 2 2

1 1

2 sin

sin cos

TM

n n

n n

n n





 

 

 

 

=    

+ −

   

   

0 1

0 2 1

2 cos

cos cos

t i

TM

i i t

E n

E n n





 

 

= =

+

Infine, considerando l’angolo di radenza:

2 2

2 2 2

1 1

2 2

2 2 2

1 1

sin cos

sin cos

TM

n n

n n

n n

n n

 

 

   

− −

   

   

 =

   

+ −

   

   

2 1

2 2 2

2 2

2 1 2 2 2

1 2 1 1 1

2 cos 2 cos

cos sin cos sin

i i

TM

i i i i

n n

n n n n n

n n n n n

 



   

= =

     

+   −   +   −

     

( )

¹

2

TM 1 TM

n



= +  n Si noti che risulta:

2

0 0

1

cos cos 2 cos

t i t i i

E n E



^ _ n  ⁺  ^ _ ⁼





 

2

1 2 2

2 1

cos _t n n sin _i

n n

 = ^ ^ − 

 

E usando la legge di Snell per far comparire il solo angolo di incidenza:

si ottiene, sostituendo:

Ponendo si possono riscrivere i coefficienti di riflessione come:

n = n n

_{2 1}

2 2 2

2 2 2

cos sin

cos sin

i i

TM

i i

n n

n n

 

 

− −

 =

+ −

2 2

2 2

cos sin

cos sin

i i

TE

i i

n n

 

 

− −

 = + −

TE Polarization

0 15 30 45 60 75 90

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Reflection coefficient | TE|

Incidence angle _i ()

e_r=81 e_r=25 e_r=16 e_r=9 e_r=4 e_r=2.56

TM Polarization Se il mezzo 1 è l’aria, risulta e quindi:

n = n

₂

= e

_r

2

2

cos sin

cos sin

i r i

TE

i r i

 e 

 e 

− −

 = + −

2 2

cos sin

cos sin

r i r i

TM

r i r i

e  e 

e  e 

− −

 =

+ −

0 15 30 45 60 75 90

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Incidence angle _i ()

e_r=81 e_r=25 e_r=16 e_r=9 e_r=4 e_r=2.56

Reflection coefficient | TM|

Brewster’s Angle

Talvolta i coefficienti di riflessione/trasmissione vengono espressi in termini di impedenze. Ricordando che vale



=



₀/n si ottengono immediatamente tali coefficienti, sostituendo n con  e scambiando «1» con «2».

1 2

1 2

cos cos

cos cos

i t

TM

i t

   

   

 = −

+

2

1 2

2 cos

cos cos

i TM

i t

 

 ⁼    + 

2 1

2 1

cos cos

cos cos

i t

TE

i t

   

   

 = −

+

2

2 1

2 cos

cos cos

i TE

i t

 

 ⁼    + 

1 2

2 2

1 1 2

2 2

2 cos

cos sin

i TM

i i

 

 

   

 

=

   

+ −

   

   

2 2

1 1 2

2 2

2 2

1 1 2

2 2

cos sin

cos sin

i i

TM

i i

   

 

   

 

   

− −

   

   

 =

   

+ −

   

   

2 1 2 2

2 1 2 2

cos sin

cos sin

i i

TE

i i

  



  



 

−   −

 

 =  

+   −

 

2 1 2 2

2 cos

cos sin

i TE

i i

 

  



=

  +   −

 

Nel caso più generale di onda con generica polarizzazione sul piano perpendicolare alla direzione di propagazione , essa può essere sempre scomposta nelle 2 polarizzazioni lineari TE e TM. I campi incidente, riflesso e trasmesso si scrivono quindi nella forma:

Si noti che, poiché i coefficienti TE e TM sono diversi fra loro, la polarizzazione del campo riflesso/trasmesso è in generale diversa da quella del campo incidente!

ˆ

_i

s

2 1 1 2

2 1 1 2

ˆ ˆ

cos cos ˆ cos cos ˆ

cos cos cos cos

r TM r TE y y

i t i t

r y y

i t i t

E E E i

n n n n

E E i

n n n n







    

   

=  +  =

− −

= +

+ +

1 1

2 1 1 2

ˆ ˆ

2 cos ˆ 2 cos ˆ

cos cos cos cos

t TM t TE y y

i i

t y y

i t i t

E E E i

n n

E E i

n n n n





  

  

   

= + =

= +

+ +

ˆ ˆ

i i y y

E = E

_

 + E i

Angolo di Brewster

• Il coefficiente di riflessione per la polarizzazione TM si annulla quando è soddisfatta la seguente condizione:

• D’altra parte, dovendo essere verificata anche la legge di Snell della rifrazione, si ha che:

• L’ultima uguaglianza è verificata se e solo se risulta:

• Per incidenza pari all’angolo di Brewster non si ha riflessione e tutta la potenza dell’onda incidente passa quindi dal mezzo 1 al mezzo 2.

Questa proprietà trova qualche applicazione quando si voglia limitare l’effetto delle riflessioni.

_i^B ≡ angolo di Brewster (rifrazione totale)

2 1

0 cos cos

TM

n 

i

n 

t

 =  =

2 1

cos sin

cos sin

t i

i t

n n

 

 

= =

cos cos =sin

2 2

i t t i i

 

  + =   = ^   −  ^   

E infine, sostituendo l’ultima uguaglianza nella equazione precedente si ottiene:

2 1

tan

_i^B

n

 = n

Imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali all’interfaccia (E

_i^

+ E

_r^

= E

_t^

e H

_i^

+ H

_r^

= H

_t^

) si ottengono i noti risultati:



complanari (piano di incidenza)

 Onda riflessa piana uniforme e 

_i

= 

_r

(legge della Riflessione)

 Onda rifratta: - piana evanescente (dissociata) se - piana uniforme se

(n

₁

sin

_i

= n

₂

sin

_t

- legge di Snell della Rifrazione )

 E

_r

=  E

_i

; E

_t

= E

_i

( : coefficiente di riflessione -  : coefficiente di trasmissione)

1 2

sin

_i

1

n n   

1 2 sin _i 1

n n 





Riepilogo

ˆ ˆ ˆ

_i

, ,

_{r t}

s s s

Coefficienti di riflessione: riepilogo

➢ Polarizzazione TE = campo elettrico polarizzato linearmente in direzione perpendicolare al piano di incidenza

2 2 2 1

2 2 2 1

cos sin

cos sin

i i

TE

i i

n n n n

 

 

 

−   −

 

 =

  +   −

 

➢ Polarizzazione TM = campo magnetico polarizzato linearmente in direzione perpendicolare al piano di incidenza  campo elettrico a polarizzazione lineare nel piano di incidenza

2 2

2 2 2

1 1

2 2

2 2 2

1 1

cos sin

cos sin

i i

TM

i i

n n

n n

n n

n n

 

 

   

− −

   

   

 =

   

+ −

   

   

1 TE

TE ^{= +}

 ( )

¹

2

TM 1 TM

n

 = +  n

z

_I _R

x

_T

H

i

E

i

E

_r

H

r

Ht

E

t

z

x

_I _R

Hi

Ei

_T

Hr

Er

Et

Ht