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2. CORRENTI A PELO LIBERO
2.1. Moto permanente uniforme
Tra le tipologie di correnti a pelo libro studiate in Idraulica, vi è il così detto moto uniforme, ovvero un moto in cui le caratteristiche della corrente (velocità media, portata, quota pelo libero ecc) non variano nello spazio. E’ ovviamente condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché si verifichi tale circostanza che l’alveo sia di tipo prismatico, ovvero che abbia pendenza di fondo e sezione trasversali costanti; inoltre non devono essere presenti nel tratto interessato nessuna immissione o derivazione di portata.
Si capisce che questo tipo di moto, nella sua concezione di perfetta uniformità, è nella realtà raramente verificabile, se non in laboratorio, dove si possono controllare tutte le suddette variabili in gioco. E’ impensabile poter trovare il moto uniforme in una corrente a pelo libero defluente in un alveo naturale, poiché una qualsiasi singolarità in una qualsiasi sezione del tratto porterebbe a variazioni di livello liquido, più o meno rilevanti, ma comunque presenti. Basti pensare che la sola variazione di scabrezza delle pareti tra due sezioni consecutive porterebbe a diversi livelli liquidi defluenti.
Pur essendo quindi un tipo di moto poco frequente, il suo studio si rivela di grande importanza applicativa perché la validità delle relazioni empiriche dedotte in condizione di moto uniforme riprodotto in laboratorio, possono essere estese ad una tipologia di deflusso a pelo libero molto più frequente in natura, ovvero il moto detto gradualmente variato. Molte situazioni reali possono essere ricondotte al deflusso di tipo gradualmente variato, in cui cioè il moto tra due sezioni consecutive può essere assimilato ad uniforme; vi sono quindi variazioni di livello liquido, di portata e di energia nello spazio che sono lente e graduali. Tale semplificazione può essere senza dubbio estesa al caso preso in esame in questo lavoro di Tesi, in cui le variazioni di sezione trasversale, pendenza e scabrezza nello spazio conducono a profili di rigurgito gradualmente variati nello spazio, per i motivi espressi nei capitoli successivi.
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2.1.1. Formule relative al moto uniforme
Sono molteplici le relazioni empiriche che descrivono il deflusso in regime uniforme e che tentano di legare tra loro le grandezze geometriche degli alvei con quelle di moto della corrente.
Tali formulazioni saranno espresse nel seguito, e per meglio comprenderne il significato fisico, si faccia riferimento al volume liquido di controllo della figura sottostante; questo è delimitato superiormente dal pelo libero della corrente, inferiormente dal fondo ed ha uno sviluppo longitudinale pari a L:
L A B C D G Volume Controllo
Fig.8 : Volume di Controllo.
Si applichi il teorema della conservazione della quantità di moto a tale volume:
(1)
Ovvero
(2)
Essendo:
= peso liquido contenuto nel volume di controllo = area sezione tasversale
= contorno bagnato
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= pendenza fondo
= tensione tangenziale di attrito
Inoltre, come è ben noto, l’azione tangenziale non si mantiene costante lungo le pareti solide dell’alveo, pertanto si dovrà tenere conto del suo valore medio:
(3)
Ed ipotizzando un regime di moto completamente turbolento, si può porre
(4)
Essendo la velocità media della corrente. Pertanto si ottiene:
(5)
A partire da questa espressione, vari autori hanno assegnato diversi valori alla costante di proporzionalità K. Pertanto al giorno d’oggi sono presenti varie formulazioni dell’equazione a moto uniforme, le più importanti ed utilizzate sono le seguenti:
- Chezy:
(6)
Il coefficiente ha le dimensioni [ ] e dipende principalmente dalla rugosità della pareti dell’alveo ed anche dall’altezza del livello liquido; tale coefficiente viene di solito calcolato con la formula di Bazin o di Kutter:
(Bazin) (7)
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Dove ed sono degli indici di scabrezza ricavabili dall’esperienza e comunque tabellati nei manuali di Idraulica.
- Manning:
(9)
Tale formula, di natura empirica, ha riscosso molto successo nel campo delle correnti a superficie libera per la sua affidabilità e corrispondenza con la realtà, in ragione dell’enorme quantità di test a cui è stata sottoposta.
- Gauckler-Strichler:
(10)
La formulazione precedente è identica a quella di Manning se si considera che intercorre la relazione tra i coefficienti di scabrezza proposti dai due autori:
(11)
Anche se tali formule sembrano di semplice applicazione e “promettono” di fornire risultati importanti mediante la semplice introduzione dei tre termini al secondo membro, il loro utilizzo deve essere fatto con cautela specialmente riguardo la valutazione dei coefficienti di scabrezza. Mentre infatti le variabili geometriche che compaiono, come il raggio idraulico e la pendenza del fondo, possono essere agevolmente calcolate e fornite con basse percentuali di errore, tali coefficienti devono essere valutati in modo soggettivo, affidandosi in prima approssimazione ai valori riportati sui manuali e affinando la stima sulla base dell’esperienza o sulla base di tarature sperimentali.
C’è da tenere conto che i coefficienti di scabrezza possono variare in un range molto ampio in funzione non solo delle caratteristiche di rugosità proprie dei materiali costituenti l’alveo, ma anche in base alla presenza di vegetazione o alla presenza di curve o particolari sviluppi plano-altimetrici del corso d’acqua.
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Infatti, un andamento non regolare della linea di thalweg, o la sola presenza di un ostacolo sul fondo, possono indurre la formazione di vorticità e mulinelli turbolenti con annesse dissipazioni localizzate di energia che influenzando indirettamente tali coefficienti.
Nella tabella a seguire sono riportati i valori più comuni ed utilizzati dei coefficienti di scabrezza per la formula di Manning e di Guackler-Strichler:
Tipo alveo Materiale di fondo/andamento
longitudinale n k
Fiumi materiale sciolto/rettilineo 0.02-0.025 50-40 materiale sciolto/meandri 0.03-0.05 33-20 ghiaia (75-100 mm)/rettilineo 0.03-0.04 33-25 ghiaia (75-100 mm)/meandri 0.04-0.08 25-12.5 Canali non rivestiti materiale sciolto/rettilineo 0.018-0.025 55-40
roccia/rettilineo 0.025-0.045 40-22 Canali rivestiti calcestruzzo lisciato 0.012-0.017 83-59 calcestruzzo irregolare 0.016-0.022 63-45
Tab. 1: Valori indicativi dei coefficienti di scabrezza.
2.2. Moto permanente gradualmente variato
Come già spiegato, il manifestarsi del moto spazialmente uniforme in natura è assai raro, ma l’importanza delle formule sperimentali dedotte in sua presenza è fondamentale per descrivere le caratteristiche di deflusso di una corrente nei casi di interesse pratico. Pertanto viene estesa la validità di tali formulazioni per deflussi più aderenti alla realtà, detti gradualmente variati. Si capisce che la corrente a pelo libero che interessa il tratto cittadino del Fiume Arno a Pisa è di tipo non uniforme, a causa della continua variazione delle sezioni trasversali e della presenza di singolarità geometriche non trascurabili, ma possiamo con sufficiente approssimazione considerare il tipo di corrente appartenente alla famiglia delle “Correnti gradualmente variate (GVF)”.
E’ però anche evidente che tali ipotesi di corrente di tipo gradualmente variata nello spazio sia poco aderente alla realtà nell’intorno delle sezioni prospicienti il Ponte di Mezzo, per i seguenti motivi:
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- i filetti fluidi non mantengono traiettorie rettilinee ma hanno pronunciate curvature a causa dei repentini cambi di sezione trasversale in corrispondenza del ponte
- la velocità della corrente varia anche in senso trasversale al flusso a causa della presenza del Ponte; infatti la corrente accelera sotto l’arco e ovviamente rallenta nelle zone laterali dove urta contro l’impalcato
- si instaurano (ad elevate portate) grandi vorticità e conseguenti perdite di energia localizzate - sono presenti singolarità geometriche notevolmente pronunciate, come gli scalini di CLS sotto il ponte e la brusca variazione di pendenza dei muri di arginatura in mattoni
Ma, nonostante queste incongruenze con l’ipotesi di moto gradualmente variato, si continua ad assumere che globalmente il tratto di corso d’acqua studiato, lungo più di 600m, possa considerarsi come tale senza commettere errori significativi.
Per dedurre l’equazione fondamentale che governa il moto gradualmente variato si può procedere prendendo in considerazione l’equazione di bilancio energetico di Bernoulli, tra una sezione a monte (pedice 1) ed una più a valle (pedice 2) distanti la quantità :
(12)
dove:
= quota del fondo rispetto al livello “zero” nella sezione più a monte 1 e la sezione a valle 2
= quota del pelo libero rispetto al fondo nelle due sezioni considerate = velocità media della corrente nelle due sezioni
= perdite di energia nel tratto considerato E potendo fare le seguenti sostituzioni:
(13)
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In cui:
= pendenza linea dell’energia
Si ottiene l’equazione alle differenze finite del moto gradualmente variato:
(14)
Quest’ultima è nient’latro che la funzione di variazione dell’altezza del pelo libero nello spazio. Con l’ausilio dell’equazione sopra riportata è possibile portare a soluzione uno dei problemi che più di frequente si incontrano nel settore delle correnti a pelo libero e che abbiamo incontrato anche nella realizzazione della presente Tesi, ovvero la determinazione del profilo liquido entro un alveo di assegnata geometria una volta fissata la portata defluente. Risultando l’applicazione della precedente molto onerosa nei casi di reale interesse, abbiamo ritenuto opportuno avvalerci di un opportuno software che rendesse il procedimento di calcolo più veloce rispetto alla elaborazione manuale; tali procedimenti saranno descritti nel dettaglio nei capitoli successivi.
