1. Le Problème Thermique

(1)

Introduction Le Problème Thermique

1. Le

Problème

Thermique

1.1 Introduction

Un satellite contient beaucoup de composants qui fonctionnent correctement seulement s'ils sont maintenus dans les températures ambiantes indiquées. Les limites de la température pour l'équipement typique dans un satellite sont données dans le Tab.1.1. Les températures de ces composants sont influencées par l'échange thermique net d'énergie avec l'environnement thermique du satellite, lequel dépend des conditions suivantes:

- le vide : dans l’espace la pression est inférieure à 10-6_{torrs dès que l’altitude}

dépasse 200 Km et on considère généralement que les échanges convectifs sont négligeables si la pression est inférieure à 10-4_{torrs ;}

- la pesanteur : l’absence de gravité empêche la convection naturelle ;

- les rayonnements électromagnétiques : sont les facteurs essentiels intervenant dans le bilan thermique d’un satellite ; ils sont dus à des rayonnements solaires direct et indirect (albédo) et à des émissions infrarouge par la Terre ;

- les flux de particules élémentaires et micrométéorites : ils sont source de dégradation des surface.

Les températures des composantes sont établies par la chaleur rayonnée par les surfaces externes vers l'évier de l'espace, et la dissipation thermique de l'équipement interne, ainsi que les caractéristiques des trajets de la conduction et du rayonnement entre ces « sources et éviers ». L'objectif de la conception du contrôle thermique est de fournir un échange thermique approprié entre tous les éléments de spacercraft de façon à garantir que les température des composants sensibles demeurent dans leurs limites spécifiés de température pendant toutes les conditions environnementales de mission, y compris le pre-lancement, lancement, transfert orbital, et phases d'orbite synchrone.

Il faut souligner que le problème thermique en orbite est complètement différent du problème au sol, pour les raisons suivantes :

- tandis qu’au sol les échanges thermiques sont essentiellement réalisés par convection et conduction, dans l’espace les échanges pour convection

(2)

Tab. 1.1 - Typiques intervalles opératifs des composants de véhicules spatiaux

Thermal Design Temperature Limit (°C) Min/Max

Subsystem/Equipment No operating/Turn-on Operating Communications Receiver -30 / +55 +10 / +45 Input multiplex -30 / +55 -10 / +30 Output multiplex -30 / +55 -10 / +40 TWTA -30 / +55 -10 / +55 Antenna -170 / +90 -170 / +90 Electric power

Solar array wing 160 / +80 -160 / +80

Battery -10 / +25 0 / +25

Shunt assembly -45 / +65 -45 / +65

Attitude control

Earth/sun, sensor -30 / +55 -30 / +50

Angular rate assembly -30 / +55 +1 / +55

Momentum wheel -15 / +55 +1 / +45

Propulsion

Solid apogee, motor +5 / +35 ---

Propellant tank +10 / +50 +10 / +50

Thruster catalyst bed +10 / +120 +10 / +120

Structure

Pyrotechnic mechanism -170 / +55 -115 / +55

Separation clamp -40 / +40 -15 / +40

sont pratiquement négligeables puisque au fur et à mesure de l’élévation de l’altitude, la pression de l’air décroît. La température varie également de façon considérable. Par contre les échanges par rayonnement deviennent rapidement prépondérants. Donc, pour un satellite en orbite le bilan thermique est régulé par conduction et par rayonnement ;

- au sol l’énergie est « bon marché », alors que dans l’espace son coût est fondamental, pas au stade primaire, mais pour disposer des moyens pour la capter, la transformer et la stocker.

(3)

Dit ça, un processus typique de conception de contrôle thermique de satellite est montré dans Fig.1.1.

Figure 1.1 - Processus typique de conception de contrôle thermique de satellite

D’abord, des compromis de système sont performées pour déterminer la configuration du satellite. L'objectif est de répondre aux exigences de tous les sous-systèmes parmi les contraintes du véhicule de lancement. Les locations des équipements sont basées sur un compromis entre les conditions structurales et

(4)

thermiques. Des analyses préliminaires sont exécutées pour déterminer la bonté du projet thermique. Puis, le dessein et les compromis détaillés du sous-système sont exécutés. Dans la conception thermique, l'interaction entre la conception structurale, la dissipation de puissance d'équipement, la location des équipements et les limites désirées de température des composantes sont considérations essentielles.

Un compromis est exécuté en termes de paramètres du contrôle thermique comme le type de revêtement thermique, la présence d’isolement, l’épaisseur du métal, etc. pour établir la meilleure configuration thermique pour un satellite. Après que l’étude du compromis et la conception préliminaire sont complétés, un modèle thermique analytique est développé pour prévoir les températures. Si les températures d'équipement ne sont pas dans les limites de température permises, la configuration thermique est modifiée et le processus est répété.

L'exactitude du modèle analytique thermique peut être améliorée et vérifié en réalisant les essais d'équilibre thermiques sur un modèle thermique d'essai approprié. La dissipation d'équipement thermique est simulée par les réchauffeurs résistifs. Le flux externe absorbé peut être simulé par une vaste variété de moyens, tels que les lampes qui approchent le soleil pour ce que concerne les propriétés spectrales et d'intensité, les plats chauds comme sources infrarouges. Cet essai sert de vérification du sous-système de contrôle thermique du satellite. Le satellite lui-même plus tard est soumis à la qualification de vide et aux contrôles de acceptation thermiques où la condition d'essai et la température d'équipement (prévue en orbite) sont imposées au satellite. Typiquement, des marges de projet de 10°C et les 5°C au delà de ceux prévus pour l'orbite sont employés pour la qualification et l'homologation d'essai, respectivement.

(5)

La Transmission de la Chaleur Le Problème Thermique

1.2 La Transmission de la Chaleur

Les différences de la température à l'intérieur d'un corps sans entrées de la chaleur et avec des frontières externes adiabatiques, se réduiront au cours du temps à cause de la chaleur découlant des régions ayant la température plus élevée vers ceux ayant température plus basse. Il y a trois modes de la transmission de la chaleur: conduction, convection et rayonnement. Les corps solides, aussi bien que le liquide et les gaz, sont capables de rayonner et d'absorber l'énergie thermique sous forme d'ondes électromagnétiques. La conduction et la convection se fondent sur la présence d’un milieu de transmission, tandis que le rayonnement peut se produire dans un vide. Dans un satellite, pour la plupart, la chaleur est transférée par la conduction parmi les parties solides et rayonnée à travers les volumes intérieurs et dans l'espace à partir des surfaces externes.

1.2.1 La Conduction

La conduction dans un solide homogène opaque est définie comme le transport de la chaleur d’un endroit à un autre, sous l'influence d'un gradient de température, sans déplacement appréciable de particules. La conduction implique le transfert d'énergie cinétique d'une molécule à une molécule adjacente. Le même processus a lieu dans des liquides et des gaz.

1.2.1.1 Loi de Fourier

En absence d’hypothèses simplificatrices, la propagation de la chaleur est un phénomène tridimensionnel qui répond à la loi de Fourier sous la forme générale :

q

T

t

T

C

2 p

_∂

=

⋅

∇

+

′′′

∂

⋅

λ

ρ

où :

ρ est la masse volumique (kg / m3_),

λ est la conductivité thermique du matériau (W / K m), voir Tab.2.2, c est la capacité thermique massique (J / kg K),

λ / ρ est appelé diffusivité thermique,

(6)

En faisant les hypothèses : - K constant,

- pas de puissance dissipée

(

q′′′=0

)

- régime permanent













₌

∂

0 t

T

- flux monodimensionnel













=

∂

=

∂

0 ,

0 z

T

y

T

on va trouver une forme simplifiée de telle loi qui dit que la valeur instantanée du débit calorifique dQ / dT est égal à :

dx

dT

A

K

dt

dQ

⋅

−

=

Φ

où :

Φ est le flux de la chaleur,

A est l’aire de la section perpendiculaire à la direction du flux calorifique (m2_),

dT/dx est le gradient de température, qui est le rapport de la variation de la température à la distance parcourue par le flux calorifique.

K dépend des propriétés physiques de la matière considérée pour l’écoulement du flux.

(7)

Quand on peut se reconduire à telle situation, on exploite l’analogie électrique décrite ci-dessous, dans le Tab.1.3, sachant que les équations de base sont celles d’un champ de potentiel.

À partir de l’équation de Fourier, par intégration entre les deux bornes de l’écoulement, on obtient :

∫

⋅

=

Φ

∆

=

2 1

1 A

dx

K

T

R

_th

que dans le cas de A constante devient :

A

K

L

R

_th

⋅

=

où L est la longueur dans laquelle s’effectue le transfert de la chaleur.

Tab. 1.3 - Analogie électrique pour le problème thermique

Thermique Electrique • Une différence de température provoque

la circulation d’un flux thermique

• Une différence de potentiel provoque la circulation d’un courant électrique • T : température absolue • U : potentiel électrique

• Φ : flux thermique • I : courant électrique

• Rth = ∆T/Φ résistance thermique • R = ∆U/I résistance électrique

De Rth on définit la conductance thermique Cth comme l’inverse de la résistance thermique même.

Une telle analogie impliques que : - pour deux corps en série

RTOT = R1+ R2 et 2 1

1

1 C

C

_TOT

=

+

- pour deux corps en parallèle

2 1

1

1 R

R

_TOT

=

+

et CTOT = C1+ C2

Les calculs conductif apparaissent simples quand on peut utiliser la loi simplifiée, mais deviennent complexe autrement. En effet, dés que l’on ne peut pas considérer le flux monodimensionnel, l’équation :

(8)

0

2 2 2 2 2 2

=

∂

+

∂

+

∂

z

T

y

T

x

T

ne peut presque jamais être résolue par des méthodes analytiques. Dans ce cas il faut s’appuyer aux méthodes numériques pour la résolution du problème ; la méthode aux différence finîtes est la plus communément mise en œuvre.

1.2.2 Le Rayonnement

1.2.2.1 Nature du Rayonnement

Le rayonnement est défini comme le transfert de la chaleur par émission et par propagation d’un ensemble de radiation avec transport d’énergie, causé par l’agitation thermique des particules élémentaires. Cette émission d’énergie s’effectue au détriment de l’énergie interne du corps émetteur.

Si deux corps, le premier plus chaud que le second, sont placés à l’intérieure d’une enceinte il y a échange continu d’énergie entre eux ; le corps le plus chaud rayonne plus d’énergie qu’il n’en absorbe et le corps froid en absorbe plus qu’il n’en rayonne. Même après établissement de l’équilibre thermique, le processus continu et chaque corps rayonnent et absorbent de l’énergie. Tous les corps, quelque soit leur état: solide, liquide ou gazeux, émettent un rayonnement de nature électromagnétique. Le rayonnement se propage de manière rectiligne à la vitesse de la lumière, il est constitué de radiations de différentes longueurs d’onde comme l’a démontré l’expérience de W. Herschell.

En passant à travers un prisme, les radiations sont plus ou moins déviées selon leur longueur d’onde. On envoie donc les radiations émises par une source à la température T0 sur un prisme et on projette le faisceau dévié sur un écran absorbant

(noirci), on obtient ainsi la décomposition du rayonnement total incident en un spectre de radiations monochromatiques.

Si l’on déplace le long de l’écran un thermomètre, on mesure la température Te caractérisant l’énergie reçue par l’écran dans chaque longueur d’onde. En construisant la courbe Te = f(λ), on obtient la répartition spectrale de l’énergie rayonnée pour la

température T0 de la source.

On constate alors que:

- l’énergie émise est maximale pour une certaine longueur d’onde λm variable avec T0.

- l’énergie n’est émise que sur un intervalle [λ1, λ2] de longueur d’onde caractérisant

(9)

Figure 1.2 – Principe de l’expérience de W. Herschell

On trouve représenté sur la Fig.1.3 les différents types d’ondes électromagnétiques et leurs longueurs d’ondes correspondantes. On retient que le rayonnement thermique émis par les corps se situe entre 0,1 et 100 µm.

Figure 1.3 – Spectre des ondes électromagnétiques

1.2.2.2 Définitions

Classification

Les grandeurs physiques seront distinguées selon : - la composition spectrale du rayonnement

- si la grandeur est relative à l’ensemble du spectre elle est dite totale ;

- si elle concerne un intervalle spectral étroit dλ autour d’une longueur d’onde λ elle est dite monochromatique : Gλ ;

(10)

- la distribution spatiale du rayonnement

- si la grandeur est relative à l’ensemble des directions de l’espace elle est dite hémisphérique ;

- si elle caractérise une direction donnée de propagation elle est dit directionnelle :

Gx.

Rappel sur les angles solides élémentaires

L’angle solide sous lequel depuis un point O on voit une surface S est par définition l’aire de la surface intersection de la sphère de rayon unité et du cône de sommet O s’appuyant sur le contour de la surface S.

L’angle solide d

Ω

sous lequel est vu d’un point O le contour d’une petite surface dS (assimilée à une surface plane) peut être calculé par :

2

r

cos

dS

d

Ω

=

⋅

α

Définitions relatives aux sources

Flux

- On appelle flux d’une source S la puissance rayonnée notée par S dans tout l’espace qui l’entoure, sur toutes les longueurs d’onde.

- Le flux s’exprime en W.

- Le flux envoyé par un élément de surface dS dans un angle solide élémentaire

Ω

d est noté

d

2

ϕ

- Le flux envoyé dans tout l’espace par une surface élémentaire dS est noté

d

ϕ

. - Le flux envoyé par une surface S dans l’angle solide d entourant la direction

Ox est noté

d

ϕ

_x.

On a donc les relations suivantes : =

∫

Ω ϕ ϕ _d2 d x S

d

∫

d

∫

=

Ω

ϕ

Emittance (ou radiance) énergétique

- Monochromatique

Un élément de surface dS émet dans toutes les directions du ½ espace un

(11)

longueurs d’ondes. Si l’on considère le flux d’énergie

_d

ϕ

_λλ+dλ_{émis entre les deux} longueurs d’ondes

λ

et

λ

+d

λ

, on définit l’émittance monochromatique d’une source à la température T par :

λ

ϕ

λ λ λ λ

d

dS

d

M

d T

=

_⋅

+ - Totale

C’est la densité de flux de chaleur émise par rayonnement par dS sur tout le spectre des longueurs d’ondes. Elle n’est plus fonction que de la température T et de la nature de la source : dS d d M M 0 T T

ϕ

λ

λ = =

∫

∞

Intensité énergétique dans une direction

On appelle intensité énergétique

I

_x le flux par unité d’angle solide d

Ω

émis par une surface dS dans un angle solide d entourant la direction Ox :

Ω

ϕ

d

I

2 x x

=

Luminance (ou brillance) énergétique dans une direction

Soit α l’angle fait par la normale n à la surface émettrice S avec la direction Ox

suivant laquelle la surface S possède une intensité énergétique

I

_x. La projection de S sur le plan perpendiculaire à Ox s’appelle la surface émettrice apparente

Σ

et l’intensité énergétique dans la direction Ox par unité de surface émettrice apparente

s’appelle la luminance énergétique L :

α

Ω

ϕ

α

d

dS

cos

d

cos

dS

I

dS

I

L

x 2 x x x x

=

_⋅

=

_⋅

(12)

Définitions relatives à un récepteur

Eclairement

C’est l’homologue de l’émittance pour une source. L’éclairement est le flux reçu par unité de surface réceptrice, en provenance de l’ensemble des directions.

Réception du rayonnement par un solide

Comme on a déjà vu, un corps chaud émet de l’énergie dans toutes les directions ; lorsque cet énergie

ϕ

_λ frappe un autre corps, une fraction

ρ

_λ_T peut être réfléchie, une autre

τ

_λ_T peut être transmis à travers le corps (qu’on dit alors être diathermique) ; la rémanente fraction

α

_λ_T est absorbé et quantitativement transformé en chaleur (Fig.1.4).

On définit ainsi les pouvoirs réfléchissant ou réflectivité

ρ

_λ_T, absorbant ou

absorptivité

α

_λ_T et filtrant ou transmissivité

τ

_λ_T monochromatiques qui sont fonction de la nature du corps, de son épaisseur, de sa température T, de la longueur d’onde du rayonnement incident et de l’angle d’incidence.

Si on considère l’énergie incidente sur tout le spectre des longueurs d’onde, on obtient les pouvoirs réfléchissants

ρ

_T, absorbant

α

_T et filtrant

τ

_T totaux.

Ces fractions sont liées par la relation :

T

λ

α +

ρ +

_λ_T

τ = 1

_λ_T

(13)

Corps noir, corps gris

Corps noir

C’est un corps qui absorbe toutes les radiations qu’il reçoit indépendamment de son épaisseur, de sa température, de l’angle d’incidence et de la longueur d’onde du rayonnement incident, il est défini par :

α

_λ_T = 1.

Propriétés du corps noir :

- Tous les corps noirs rayonnent de la même manière.

- Le corps noir rayonne plus que le corps non noir à la même température.

Corps gris

Un corps gris est un corps dont le pouvoir absorbant

α

_λ_T est indépendant de la longueur d’onde λ du rayonnement qu’il reçoit. Il est défini par :

T

α

_λ

=

En général, on considère les corps solides comme des corps gris par intervalle et on utilise un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour λ < 3 µm (rayonnement émis par des corps à haute température comme le Soleil) et un pouvoir absorbant moyen vis-à-vis du rayonnement émis pour λ > 3 µm (rayonnement émis par les corps à faible température: atmosphère, absorbeur solaire,...). On pourra à titre d’exemple considérer les valeurs de Fig.1.5 pour la peinture blanche :

(14)

Rayonnement des corps non noirs

Facteur d’émission ou émissivité

On définit les propriétés émissives des corps réels par rapport aux propriétés émissives du corps noir dans les mêmes conditions de température et de longueur d’onde et on les caractérise à l’aide de coefficients appelés facteurs d’émission ou émissivités. Ces coefficients monochromatiques ou totaux sont définis par :

n T T T L L λ λ λ

ε

=

∫

∞ ∞ ⋅ ⋅ = = 0 n T 0 T n T T T d L d L L L

λ

ε

λ λ Radiosité

Le rayonnement qui quitte une surface Ai est la somme de son émission propre et de la réflexion d’une partie du rayonnement incident sur cette surface. On appelle radiosité, que l’on note Ji, l’émittance apparente de la surface Ai donc :

i i 4 i i i

T

(

1 )

E

J

=

ε

⋅

σ

⋅

+

−

ε

⋅

où Ei est l’éclairement de la surface Ai (W.m-2)

Luminance apparente

C’est l’homologue de la luminance énergétique, mais tandis qu’elle est liée à l’émittance, la luminance apparente est liée à la radiosité ; c’est indiquée par le symbole

L

*

.

1.2.2.2 Lois Fondamentales

1) Loi de Lambert

La loi de Lambert est la définition du diffuseur parfait. Sur cette loi est basée la théorie du calcul des échanges radiatifs, même si aucun corps n’obéit rigoureusement à elle.

Une surface diffuse est telle que sa brillance est indépendante de la direction d’observation (Fig.1.6):

(15)

L

θ

= L

n

pour chaque λ

et de cette égalité on déduit la loi de Lambert pour une source isotrope

:

θ

I

cos

I

=

_n

⋅

Lorsqu’un corps suit la loi de Lambert, émittance et luminance sont proportionnelles :

M

λT

=

π

.

L

λT

Figure 1.6 – Luminance d’une source isotrope

Figure 1.7 – Intensité énergétique d’une source isotrope

2) Loi de Planck

La brillance spectrale L

(ou B)

du corps noir est fonction de la température et de la longueur d’onde suivant la relation (Fig.1.8):

(16)

La Transmission de la Chaleur Le Problème Thermique 1 e C L T C 5 1 n T ₂ − ⋅ = − λ λ λ où : C1 = 2 . c . h et C2 = h . c / k c est la vitesse de la lumière

h est la constante de Planck

k est la constante de Boltzmann

3) Loi de Kirchhoff

Pour chaque longueur d’onde la brillance spectrale d’un corps est égal au produit de sa absorptance spectrale αλT par la brillance spectrale du corps noir :

n T T T

L

_λ

=

α

_λ

⋅

_λ et étant : n T T T L L λ λ λ

ε

=

on peut dire qu’à l’équilibre thermique l’absorptance et l’émittance monochromatiques d’un corps noir sont égales:

T

λ

α =

ε = 1

_λ_T Pour un corps gris on peut dire seulement que:

T

λ

α

=

ε

_λ_T

Pour un corps quelconque il faudra se contenter d’écrire qu’à une certaine température, à une certaine longueur d’onde et dans une certaine direction :

α

(T,

λ

,

θ

) =

ε

(T,

λ

,

θ

)

Puisque dans le cadre du projet thermique on se réfère à l’absorptance solaire et à l’émittance infrarouge, les valeurs α et ε seront en générale très différentes.

(17)

4) Loi de Stefan - Boltzmann

La radiance d’un corps noir à une température T donné est : 4

n

T

M

_λ

=

σ

⋅

où σ est la constante de Stefan - Boltzmann = 5.67.10-8_W/m2 _K4

5) Loi de Wien

Le courbe donnant la radiance spectrale du corps noir à une température T donnée présent un maximum pour une longueur d’onde λmax, telle que (comme montré

dans Fig.1.9) :

λ

max .

T = 2897

µ

m

(18)

6) Lois relatives à la réflexion

On définit comme facteur de réflexion ρ le rapport de l’énergie réfléchie à l’énergie incidente et on parle de :

- réflexion diffuse si le rayonnement incident est réfléchi dans toutes les

directions en obéissant à la loi de Lambert ;

- réflexion spéculaire si le rayonnement incident est réfléchi en obéissant à la loi

de l’optique classique de Descartes, avec un angle d’incidence égal à l’angle de réflexion.

En générale on peut définir pour un revêtement les coefficients suivants : - ρd pour la réflexion diffuse

- ρs pour la réflexion spéculaire

- ρt pour la réflexion totale

tels que

ρ

t

=

ρ

d

+

ρ

s

et le taux de spécularité est alors ρs / ρt.

Pour un corps quelconque, le coefficient d’absorption spectrale présente des variation importantes. La composition spectrale du rayonnement réfléchi est différente de celle du rayonnement incident. Le même revêtement ne réagira pas de la même façon vis-à-vis du rayonnement direct et du rayonnement réfléchi. L’effet peut être sensible après plusieurs réflexions.

(19)

L’Environnement Thermique du Satellite Le Problème Thermique

1.3 L’Environnement Thermique du Satellite

En considérant l’absence de convection atmosphérique dans l’espace, le contrôle thermique d’un satellite en orbite est généralement obtenu en balançant l’énergie qui le corps émet comme rayonnement infrarouge, l’énergie que les équipements électroniques dissipent et l’énergie absorbée de l’environnement, comme on peut voir dans la Fig.1.10.

Figure 1.10 – Composants du bilan thermique

Même si dans le satellite il y a des composants générateurs de chaleur, le flux externe rapprît la principale source de sollicitation thermique. Ce flux est le résultat des plusieurs contribues, ceux dont la présence est constante et ceux qui ont une influence pendant briefes périodes (par exemple le chauffage aérodynamique) pendant la mission ; l’importance des premiers est prépondérante et on va les décrire tout de suite.

(20)

1.3.1 Le Flux Solaire Direct

Les paramètres du rayonnement solaire qui sont importants dans l’analyse thermique d’un satellite sont sa distribution spectrale (Fig.1.12) et son intensité.

Au niveau de la Terre, mais hors de l’atmosphère, la distribution spectrale peut être comparable à celle d’un corps noir à 5800 K.

La valeur moyenne du flux solaire au dehors de l’atmosphère de la Terre est approximativement 1353 W/m2_{. Cette valeur, nommée}_{constante solaire est définie}

comme le flux existent à la distance de 1 UA du Soleil et c’est inversement proportionnelle au cadre de la distance du Soleil ; c’est pour ça que, en rappelant que l’orbite de la Terre autour du Soleil n’est pas rigoureusement circulaire, la constante fluctue pendant l’année de 3%.

Pour l’estimation du flux solaire dans la plupart des cas de mission spatiale, on fait les deux hypothèses suivantes :

- rayonnement parallèle ; - flux indépendant de l’altitude.

De cette façon on arrive à déterminer l’intensité du flux solaire incidente sus une surface non illuminée par d’autres sources, donnée par :

A

C

_S S

=

⋅

Φ

µ

où :

CS est la constante solaire (W / m2) ;

A est l’aire totale de la surface (m2_{) ;}

µ est le coefficient d’aspect solaire (angle entre la direction du Soleil et la normale à la surface)

1.3.2 Le Flux Solaire Réfléchi ou Albédo Flux

Le flux d’albédo est la partie du rayonnement solaire totale incident la Terre et qui est réfléchi dans l’espace, par la demi-sphere terrestre éclairée.

L’albédo varie énormément localement à altitude très basses, suivant la nature de la surface réfléchissant : la réflexivité est généralement plus grande sur les régions continentales que sur lesquelles océaniques ; elle augmente avec la couverture de nuages et avec la diminution de l’angle solaire local. L’albédo terrestre est tout particulièrement très proche du rayonnement solaire et n’en diffère que pour le fait que l’atmosphère de la Terre présente des bandes d’absorption, de l’eau et du CO2 en

(21)

Figure 1.11 – Spectres solaire et d’albédo

On définit le coefficient d’albédo (a) comme rapport de l’énergie réémise à

l’énergie solaire incidente ; dans le Tab.1.4 on trouve les valeurs typiques.

Le flux d’albédo sur un satellite dépend de l’angle β entre les directions Terre-Soleil et Terre-véhicule, et de la distance Terre-véhicule. Donc on peut l’exprimer comme fonction d’un facteur de visibilité FA = FA (β, altitude) par cette relation :

A S A

=

a

⋅

C

⋅

F

Φ

où CS est la constante solaire et a . CS = CA .

Pour le calcul du flux incident sur un véhicule spatiale, on assume communément le coefficient d’albédo constant sur la surface terrestre (la valeur moyenne annuelle recommandé est a = 0.30 ± 0.02) et que cette surface réfléchit

suivant la loi de Lambert. Malgré ça, tel calcul est encore complexe pour la difficulté de déterminer la valeur de FA.

(22)

Tab. 1.4 - Valeurs typiques de coefficients d’albédo pour certains types de surfaces.

Surface Albédo

Snow

fresh old, compacted, dirty 0.80 - 0.95 0.42 - 0.70

Ice

glacier 0.20 - 0.40

Water (calm, clear seawater)

solar elevation 60° 30° 10° 0.03 0.06 0.29

Soils

wind blown sand dry wet 0.35 - 0.45 0.20 - 0.30

silty loam dry wet 0.15 - 0.60 0.07 - 0.28

peat 0.05 - 0.15

Plants

grass short(0.02m) long(1.0m) 0.26 0.16

deciduous forest in leaf bare 0.20 0.15

heather 0.10 pine forest 0.14 field crops 0.15 - 0.30 Man-Made asphalt 0.05 - 0.20 concrete 0.10 - 0.35 brick 0.20 - 0.40

1.3.3 Le Flux Terrestre Direct

La Terre réalise son équilibre thermique entre l’énergie reçu (absorbée) du soleil et l’énergie remise en rayonnement infrarouge avec longue longueur d’ondes. Son atmosphère émet un rayonnement I.R. énergiquement comparable à celui d’un corps noir à 155 K, mais spectralemente ce rayonnement est très différent de celui du corps noir à cette température pour cause de phénomènes d’émission, d’absorption et de réémission par les différents composants de l’atmosphère. Le spectre terrestre peut-être considère comme celui d’un cops noir de température allant de 218 à 288 K, comme montré dans Fig.1.12.

La valeur moyenne annuelle du rayonnement thermique proche de la surface terrestre est :

C

r

= 237 ± 7 W / m

2

mais l’énergie reçu par une surface, dont la normale est géocentrique, est fonction de l’altitude et elle peut varier de 210 W/m2 _{(à 200 Km) à 5 W/m}2_{(à 36000 Km). D’une}

façon plus générale, on définira un facteur de vue terrestre (FT) pour un surface, plane

ou non, qui dépendra de la forme géométrique, de l’orientation vis-à-vis de la géocentrique et de l’altitude. Ce facteur permettra de calculer le flux terrestre incident

(23)

sur un surface d’aire A, à partir de la densité de la puissance émise à la surface de la Terre Cr :

T r T = A⋅C ⋅F

Φ

Figure 1.12 – Spectre terrestre

1.3.4 Chauffage par Molécules Libres

Une autre forme considérable de chauffage due à l’environnement, provient du bombardement du véhicule par molécules, quand il arrive à l’atmosphère extérieure. Beaucoup des satellites rencontrent est échauffement seulement pendant la montée, juste après la séparation de la capsule qui contient le satellite. Par contre, il est désirable les séparer le plus tôt possible pour minimiser le poids mort qui doit être amené en orbite. Donc le point auquel doit avoir lieu la séparation est déterminé comme compromis entre le problème du poids et l’important chauffage atmosphérique.

Un tel chauffage est modélisé comme collision entre le corps et les molécules, et le taux de chauffage est donné par :

3

V

2

1 Q

=

⋅

α

⋅

ρ

⋅

avec :

(24)

ρ la densité atmosphérique, paramètre très variable pour l’activité électromagnétique du soleil, la latitude, la longitude, le jour de l’an ;

V la vitesse du véhicule ;

α un coefficient variable entre 0.6 et 0.8 mais qu’on prend à l pour sécurité.

Il existe aussi, des orbites avec altitude du périgée très basses, pour lesquelles le chauffage par molécules libres n’est pas négligeable ; il doit être évalué dés que l’altitude du périgée en dessous 200 Km.

1.3.5 Chauffage par Particules Chargées

Ce chauffage est généralement insignifiant pour le projet thermique. De toute façon, aux températures cryogéniques, le chauffage dû aux particules chargées devient significatif car tels systèmes sont très sensibles aux charges de chaleur environnantes.

(25)

Analyse Thermique Le Problème Thermique

1.4 Analyse Thermique

1.4.1 Bilan Thermique d’un Véhicule Spatial

Afin de conduire un projet thermique exact, il faut les outils de calcul qui permettent de décrire l’équilibre thermique qui s’établira aux différents moments de la vie du véhicule en tenant compte de son environnement et de sa configuration.

Le bilan qu’on va écrire est :

dt

dT

c

M

P

_ext

+

_in

+

_émise

=

⋅

où :

Pext est la puissance externe absorbée ; elle se compose par la puissance solaire, d’albédo et terrestre ;

Pin est la puissance interne dissipée ;

Pémise est la puissance rayonnée vers l’espace, donnée par la loi de Boltzmann.

A partir de cette équation, on peut facilement trouver l’expression de la température d’équilibre si le corps est isotherme. Dans ce cas, en négligeant le flux terrestre et albédo, en supposant que les puissance internes sont nulles et avec :

app s s solaire ext

P

C

S

P

=

α

⋅

r émise

T

S

P

=

_ε

⋅

_σ

⋅

4

⋅

Sapp est la surface absorbant utile

Sr est la surface réelle d’émission on trouve : 4

σ

ε

α

_s r app s

C

S

T

=

⋅

Ce simple exemple montre l’importance de deux caractéristiques fondamentales:

- le rapport αs /ε des caractéristiques thermo – optiques (Tab.1.5); - le rapport Sapp / Sr, facteur d’aspect géométrique.

Il faut remarquer l’importance de l’altitude: pour cela on va à écrire le bilan thermique en tenant compte du flux terrestre et de l’albédo.

(26)

Tab. 1.5 – Propriétés thermiques des surfaces (BOL, Beginning of life; EOL, End of life, 7 years)

Le cas particulier d’une sphère (Sapp = π .r2 et Sr = 4.π .r2) est très utile pour la compréhension du problème, en permettant d’obtenir des résultats simples, ainsi que significatifs. En effet, en introduisant :

S

app

= S

r .

F

s

La température d’équilibre résulte égal à:

4 ( )

σ

ε

α

s a s s T T F F a F C C T ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Solar Absorptance, αs Emittance, ε

Typical Surface

Application BOL EOL BOL EOL

Paint Interior structure 0.9 0.9 0.9 0.9

White paint Antenna reflector 0.2 0.6 0.9 0.9

Optical solar

reflector North and south panel radiators 0.08 0.21 0.8 0.8 Graphite / Epoxy Solar panel and antenna

structure 0.84 0.84 0.85 0.85

Aluminized

kapton Thermal insulation 0.35 0.5 0.6 0.6

Tiodized titanium Apogee motor

thermal shield 0.6 0.6 0.6 0.6 Aluminum, aluminum tape insulation deposited aluminum Propellant 0.12 0.18 0.06 0.06 Anodized

aluminum Interior structure 0.2 0.6 0.8 0.8

Solar cells Solar panels 0.65-0.75 0.65-0.75 0.82 0.82

(27)

Fs, Fa, Ft étant les facteurs d’aspect du corps par rapport aux différentes sources, qui sont des fonctions de l’altitude.

Dans le Tab.1.6 on peut apprécier la dépendance par le revêtement et l’altitude de la température d’équilibre pour une sphère; c’est sur les propriétés des revêtements qui se fonde le contrôle thermique passif.

Tab. 1.6 - Températures d’équilibre d’une sphère en fonction de l’altitude et du revêtement.

Sphère Blanche Sphère Noir Sphère Dorée αs = 0.13 ε = 0.9 αs = 0.97 ε = 0.89 αs = 0.25 ε = 0.04 Au sol +18°C +52°C +40°C h = 10 Km -34°C +30°C + 1°C h = 50 Km + 3°C +70°C +204°C h = 200 Km -43°C +54°C +219°C h = 36000 Km -100°C +12°C +168°C

Il n’est bien sûr pas possible d’assimiler un satellite à corps isotherme et on doit donc calculer un champ de température dans un domaine tridimensionnel hétérogène avec des conditions aux limites très variables dans l’espace et le temps.

Dans l’impossibilité de résoudre ce problème par des méthodes analytiques ne s’éloignant pas trop de la réalité, il existe plusieurs méthodes numériques pour aborder le problème.

La méthode qu’on va décrire et qui sera utilisée dans le logiciel développé est la méthode nodale.

1.4.2 La Méthode Nodale :

Modèle Mathématique Thermique

Il s’agit de partager le système dont on veut calculer le champ de température, en « volumes » élémentaires dans lesquels les gradients de température sont supposes fiables : ce seront les nœuds isothermes du système et on établira pour chacun son bilan thermique à l’instant t ; pour cela il faudra avoir déterminé l’ensemble des liens entre les divers nœuds, les condition aux limites externes s’appliquant sur chacun, les dissipation thermique et la masse calorifique du nœud.

(28)

(

)

_∑

(

( ) ( ) ( )

)

= ⋅ ⋅ = + + + ⋅ + + ⋅ + n j i j i conv j i cond j i rad i terr i i alb i sol i in dt dT c M Q Q Q P P P P 1 , , ,

ε

α

dans laquelle les différents termes sont définis tels que : i

in

P

: puissance interne dissipée dans le nœud i

α : coefficient moyen d’absorption du nœud i

i sol

P

: puissance solaire incidente sur le nœud i

i alb

P

: puissance albédo incidente sur le nœud i

ε : coefficient d’émissivité du nœud i

( )i j rad

Q

, _{: bilan d’échange radiatif entre le nœud}_{i et le nœud j}

( ) _R ₍_T _T ₎ Q 4 j 4 i j , i j , i rad = ⋅σ ⋅ −

Ri,j : facteur de couplage radiatif entre le nœud i et le nœud j

( )i j cond

Q

, _{: bilan d’échange conductif entre le nœud}_{i et le nœud j}

( ) _C ₍_T _T ₎

Qi,j _i_,_j _i _j cond = ⋅ −

Ci,j : facteur de couplage conductif entre le nœud i et le nœud j

( )i j conv

Q

, _{: bilan d’échange concessif entre le nœud}_{i et le nœud j (négligeable)}

i

c

M

⋅

: masse calorifique du nœud i

dT i : variation de la température de nœud i pendant le temps dt n : nombre de nœuds du système

Donc on obtient un système de n équations différentielles, non linéaires du fait

du terme radiatif, qui doit être résolu par méthodes d’analyse numérique classiques. Pour pouvoir écrire chaque terme de l’équation bilan il faut avoir établi préalablement le « réseau nodal » et le « modèle mathématique » du système.

Pour établir un modèle thermique, on doit avoir en sa possession la totalité des plans de fabrication et d’assemblage de la structure du satellite car il faut connaître les dimensions de toutes les pièces qui la composent, leur arrangement dans le satellite, les modes d’assemblage, la nature des matériaux utilisés. La détermination des facteurs d’échange radiatif et conductif entre les différents nœuds doit être possible ; ce qui amène parfois à simplifier les formes réelles pour déterminer les masses calorifiques des différents éléments considérés.

(29)

1.4.2.1 Le Réseau Nodal

Le choix des nœuds doit être fait en tenant compte : - des caractéristiques du nœud par rapport à être isotherme - du coût pour développer le modèle et pour l’utiliser.

Il est évident en effet, que si le nombre de nœuds augmente, la précision du modèle augmente, mais aussi la complexité du calcul et la charge de travail pour nœuds devient trop élevé, la précision du modèle peut aussi décroître soit du fait des approximations réalisées lors du calcul des facteurs d’échange (petites mais nombreuses), soit du fait des problèmes de résolution du système de n équations.

La solution réside donc dans un compromis entre la complexité du calcul et le degré d’isothermie des nœuds.

Les propriétés thermiques de chaque nœud sont considérées comme étant concentrées on point nodal central de chaque volume. Deux éléments sont définis pour chaque nœud :

- la température T, qui représente la température moyenne du sous-volume nodal ;

- la capacité calorifique, calculée à partir des propriétés thermophysiques du matériel du sous-volume nodal.

Puisque un nœud représente une concentration de paramètres en un unique point de l’espace, la distribution de température est linéaire pour chaque température nodale.

L’erreur que l’on introduit en divisant le système en nœuds dépend de plusieurs considérations :

- les propriétés thermiques du matériau, - les conditions de bord,

- les dimensions des nœuds, - la position du centre du nœud.

Le découplage nodal tiendra compte au mieux de tout ce qui peut simplifier sans en altérer la représentativité. Il faudra donc tenir compte de analyses faites préalablement pour mettre en évidence les zones isothermes et celles à fort gradient afin de choisir les regroupements possibles. Il faudra tenir compte également des objectifs de l’étude, des points importants et des points qui sont sans impact sur l’analyse à réaliser.

1.4.2.2 Le Modèle Mathématique

La plupart des codes utilisés aujourd’hui pour l’analyse thermique, se basent tous sur le modèle aux différences finies (FDM). Dans ce modèle on transforme

(30)

l’équation partielle différentielle gouvernant le problème, en un système d’équations aux différences finies, en construisant un réseau tel que celle décrite dans la section précédente.

Figure 1.14 – Maillage uniforme monodimensionnel

Figure 1.15 – Maillage uniforme bidimensionnel

La base pour cette opération est l’approximation en séries de Taylor. On assume un système de coordonnées cartésiennes ; les Figg.1.14 et 1.15 montrent des typiques maillages (ou réseaux) monodimensionnel et bidimensionnel de FDM, permettent de dire que la série de Taylor autour de x0 pour T(x) est écrite pour le cas

monodimensionnel : ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + = + = = = 3! x x T ! 2 x x T x x T ) x ( T ) x x ( T 3 0 x x 3 3 2 0 x x 2 2 0 x x 0 0

∆

Par cette approximation, la première et la deuxième dérivée sont données par :

) x ( 0 x ) x ( T ) x x ( T x T ₀ ₀ 0 x x

∆

+ − + = ∂ ∂ = ) x ( 0 x x ) x x ( T ) x ( T x ) x ( T ) x x ( T x T 2 0 0 0 0 0 x x 2 2

∆

+ − − − − + = ∂ ∂ =

(31)

où sont des moyens pour exprimer l’ordre de l’erreur de troncation lié à l’approximation.

L’équation du bilan thermique peut être écrite pour solides hétérogènes, anisotropes, la conductivité desquels dans tous les trois directions principales est fonction de la température :

)

t,

T

(

Q

z

T

)

T

(

k

z

y

T

)

T

(

k

y

x

T

)

T

(

k

x

T

C

_p _x _y

_



_z

_



+

∂

+













∂

+









∂

=

∂

⋅

ρ

Le terme









∂

x

T

)

T

(

k

x

x peut être écrit comme ça :

x

)

t,

z

,

y

,

x

(

T

)

t,

z

,

y

,

x

(

T

)

(

k

x

)

t,

z

,

y

,

x

(

T

)

t,

z

,

y

,

x

(

T

)

(

k

n n 1 x n 1 n x

∆

δ

∆

δ

_























−

⋅

−













+

−

⋅

+ − − +

où n est le numéro du nœud sur lequel la série de Taylor est appliquée, et

      + ± = ± 2 ) t, z , y , x x ( T ) t, z , y , x ( T_n _j

∆

δ

,

j = n + 1 ou j = n - 1

où j est le nœud adjacent, (x,y,z) sont les coordonnées de n, et t est le temps.

En multipliant l’équation obtenue par le volume

∆

x

A, où A =

∆

y

∆

z

, on a :

      − ⋅ ⋅ −       − ⋅ ⋅ + + − − x T T ) ( k A x T T ) ( k A n n 1 x n 1 n x δ _∆ δ _∆ On va définir le coefficient

x

)

(

k

A

_x

∆

δ

±

⋅

par le nom de conductance C (ou facteur de couplage conductif, comme on a déjà vu).

Donc, par l’approximation de la série de Taylor, une équation partielle différentielle a été convertie en un set de d’équations aux différences finies qui, maintenant, peuvent être résolues numériquement.

Le terme de la source de chaleur, Q(t), est le moyen par lequel le rayonnement,

la conduction, la convection internes et externes et les sources de chaleur sont ajoutées aux équations considérées. On a vu que, tandis que le terme dû à la

(32)

convection est négligeable, le terme relatif au rayonnement est extrêmement importante et il est donné par :

)

T

(

F

A

4 1 n 4 n 1 n , n +

⋅

−

+

⋅

σ

où

F

_n_,_n₊₁, comme on verra dans le Chapitre 3, représente la radiation net échangée entre deux surfaces, en considérant aussi toutes les possibles réflexions.

Afin de convertir les équations aux différences finies en un set de équations algébriques, résolubles par le logiciel, il faut approximer la dérivée

t

T

∂

de la même façon des dérivées spatiales ; donc, on a :

t t T ) 1 ( t t T ) t ( T ) t t ( T t t t

∆

θ

∆

θ

∆

∆ ⋅ ∂ ∂ ⋅ − + ⋅ ∂ ∂ ⋅ + = + ∗ ∗₊ ∗ ∗

où θ est un facteur implicite variable.

En conclusion, après tous ces passages et en multipliant par le volume, on arrive à l’expression finale de l’équation global du bilan thermique, employée dans le logiciel : ∗ ∗       + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ − + +       + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ = − +

∑

= = + = = t N 1 j N 1 j n n 4 n 4 j n , j n j n , j t t N 1 j N 1 j n n 4 n 4 j n , j n j n , j n n n ) t, T ( Q ) T T ( F A ) T T ( C ) 1 ( ) t, T ( Q ) T T ( F A ) T T ( C x ) t ( T ) t t ( T C

σ

θ

σ

θ

∆

où

C

_n, qui représente la capacitance (ou masse calorifique) du noeud n, est donné

par :

A x C Cn =

ρ

⋅ p ⋅

∆

⋅

Dans le terme

Q

_n

(

T

_n

t,

)

, ils sont inclus les contribues dus aux flux externes et à la dissipation interne de l’électronique.

Pour chaque nœud il faut donner un certain nombre de paramètres :

- Aire externe dont l’ensemble constitue le modèle géométrique externe utilise

(33)

- Coefficients thermo – optique (α et ε), intègres dans le modèle géométrique

externe pour les calculs de flux avec multi réflexions et de couplages radiatif avec multi réflexions également.

- Masse calorifique, qui est le produit de la masse par la chaleur spécifique si le

nœud est homogène. Dans certains ces de nœuds très hétérogènes, tels que des modules électroniques, on se contentera éventuellement de multiplier la masse par une chaleur spécifique moyenne de l’ordre de 0.8 J/Kg on pourra considérer une masse calorifique équivalent obtenue pour une boite en aluminium avec une épaisseur fixée.

- Puissance interne dissipée associée a la définition de la configuration

électronique et à une chronologie de fonctionnement. L’origine de cette puissance interne est le plus souvent l’effet Joule dans les équipements, parfois les effets électrothermiques (batteries) ou d’absorption électromagnétique (guides d’onde). Il sera souvent utile de calculer une puissance moyenne soit sur le temps de fonctionnement soit sur une ou plusieurs orbites pour estimer une valeur moyenne de température.

- Facteur de couplage radiatif : on va voir dans le chapitre suivant les détails

des facteur de vue et du couplage radiatif.

Selon la valeur attribuée au paramètre θ, on obtient différentes approximations :

θ = 0, forward-explicit approximation,

θ = ½, Crank-Nicholson approximation,

θ = 1, backward-explicit approximation.

Le choix d’un schème de maillage FDM et l’introduction des coefficients, produisent un système de n équations algébriques, une pour chaque nœud ; si θ =0,

chaque équation est explicite et elle a seulement une température inconnue,

T

_n. Si

θ > 0, le système doit être résolu par techniques itératives, inversions des matrices ou