Esercitazione 3 dicembre 2020
Esempi di equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Esercizio
Trovare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del primo ordine
1 dy dx − 2y x = x 2 2 dy dx + xy = x 3 3 dy dx + 2y = 3 4 dy dx + y = x
Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del
primo ordine. Problemi di Cauchy.
Esercizio
Risolvere i seguentiproblemi di Cauchye trovare l’intervallo massimalesu cui `e definita ognuna delle soluzioni.
1 ( y0+ 2xy2 = 0 y (0) = −1 2 (
y0+ (cos x )y = 2xe− sin x y (π) = 0
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problemi di
Cauchy.
Esercizio
Risolvere i seguentiproblemi di Cauchye trovare l’intervallo massimalesu cui `e definita ognuna delle soluzioni.
3
(
y0= (x + 1)y y (2) = 1
Rette e piani nello spazio
Esercizi
1 Trovare equazioni parametriche per la retta r contenente i punti A = (1
3, 2, −1) e B = (0, 1, − 1 2).
2 Trovare equazioni parametriche della retta r passante per A(1, 4, −7) e parallela alla retta s di equazioni
x = 1 − t y = 3 + 2t z = −4 + 2t
3 Scrivere equazioni parametriche per la retta contenente il punto P = (0, 3, 5) e ortogonale al piano x = 0.
Rette e piani nello spazio
Esercizi
4 Trovare equazioni parametriche della retta passante per A(7, −1
3, 2) e ortogonale al piano π di equazione 5x − 4y + z = 0.
5 Determinare un’equazione cartesiana del piano π passante per P = (1, −1, 2) e parallelo al piano π0 di equazione
x − 3y + z − 1 = 0.
6 Dimostrare la seguente proposizione:
se l’equazione di un piano non contiene la variabile y , cio`e se `
Rette e piani nello spazio
Esercizi
7 Si considerino la retta r di equazioni parametriche x = 3 + t y = 1 + 3t t ∈ R z = 2t
e la retta s di equazioni parametriche x = u y = 1 u ∈ R z = 1 − u
Rette e piani nello spazio
Esercizi
8 Sia r la retta di equazioni parametriche x = −1 + t y = −2t t ∈ R z = 1 + 3t e sia Q = (1,1
2, 3). Verificare che Q non appartiene a r e determinare un’equazione cartesiana per il piano π passante per Q e contenente r .
9 Data la retta r di equazioni
x + y − z + 2 = 0 2x − y + 5 = 0
Rette e piani nello spazio
Esercizi
10 Determinare la distanza tra il punto P = (1, 0, 1) e la retta r di equazioni parametriche x = t y = 1 − t t ∈ R z = 2t
11 Trovare l’equazione cartesiana del piano π passante per P = (3, −4, 2) e parallelo ai vettori A = (2, −1, 0), B = (0, 3, 1).
