Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 05 Dicembre 2012 -

 Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine

Equazioni differenziali lineari e non lineari. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicit` a globale.

• Risolvere la seguente equazione differenziali ordinaria del primo ordine e il relativo problema di Cauchy

 y ⁰ + y tan x = e ^x cos ² x y(0) = 1

[Risp.: y(x) = ¹ ₂ cos x[1 + e ^x (cos x + sin x)] soluzione globale in − ^π ₂ , ^π ₂
].

• Determinare α ∈ R tale che lim x→0

y(x) = 9, dove y ` e la soluzione del pro- blema di Cauchy

 y ⁰ = +y ln x + x ^x y(1) = α

[Risp.: α = ⁸ _e + 1].

 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a varia- bili separabili

Separazioni delle variabili. Soluzioni stazionarie singolari e particolari. Soluzioni locali e globali.

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili.

•  y ⁰ = ^{cos y ln x} _{x sin(2y)} y ¹ _e
= ^π ₃

[Risp.: y(x) = arccos 

− ^ln ₄

^x + ³ ₄ 

soluzione locale in 

1 e

√ 3

, e

√ 3 

].

• (

y ⁰ = 

1 + _(x−2) ¹

 ^√

y−1 e

y(1) = 1

[Risp.: y(x) = 1 + ln ² 

x

−2x−1 2(x−2)



soluzione locale in 1 − √

2, 2
; y ≡ 1 soluzione stazionaria singolare].

•  y ⁰ = tan x(y + 1) y ⁷ ₆ π
= 1 [Risp.: y(x) = −

√ 3

cos x − 1 soluzione globale in ^π ₂ , ³ ₂ π
].