PROGRAMMA del corso di Analisi Matematica 2 - Ingegneria Civile e Ambientale. A.A. 2009/10 Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e come spazio vettoriale. Coordinate polari in R2.
Curve in Rn. Sostegno di una curva. Orientamento di una curva. Curve semplici e chiuse. Curve regolari, retta tangente
e versore tangente. Curve equivalenti. Lunghezza di una curva e curva rettificabile. Teorema di rettificabilita’. Ascissa curvilinea. Versore tangente per una curva parametrizzata con un’ascissa curvilinea. Versore normale e curvatura per una curva piana.
Raggio di curvatura e cerchio osculatore. Interpretazione geometrica. Versore normale e binormale per una curva nello spazio, curvatura e torsione, piano osculatore. Interpretazione geometrica.
Elementi di topologia del piano. Insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti. Punti interni e di frontiera.
Punti di accumulazione e isolati. Interno e chiusura di un insieme.
Funzioni di due variabili reali. Limite di funzione. Passaggio a coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo del limite. Funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Massimi e minimi, Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi. Teorema dei valori intermedi.
Funzioni derivabili parzialmente. Funzioni differenziabili e piano tangente. Interpretazione geometrica di funzione differenziabile in un punto. Proprieta’ di continuita’ delle funzioni differenziabili (dim) e Teorema del differenziale (dim).Vettore gradiente. Teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Derivata direzionale. Teorema sulle derivate direzionali (dim). Interpretazione geometrica del vettore gradiente (dim). Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un insieme connesso (dim). Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria del I ordine (dim). Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Teorema di Schwarz. Sviluppo di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite.
Teorema di caratterizzazione delle matrici definite. Teorema sulla condizione sufficiente del II ordine (dim). Funzioni implicite, Teorema del Dini in R2 (dim). Massimi e minimi vincolati, Teorema sui moltiplicatori di Lagrange (dim).
Integrale curvilineo di una funzione di due variabili reali. Proprieta’ elementari dell'integrale curvilineo.
Integrali doppi. Domini normali del piano x,y e funzioni integrabili su un dominio normale.
Integrale doppio e interpretazione geometrica. Teorema sulle formule di riduzione per integrali doppi.
Matrice Jacobiana di applicazioni di classe C1 ed interpretazione geometrica.
Teorema di cambiamento di variabili in integrali doppi. Calcolo dell'area e del baricentro di un corpo piano.
Cenno al calcolo differenziale per le funzioni di n variabili reali.
Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange in R3.
Integrale curvilineo di una funzione di n variabili reali.
Integrali tripli. Domini normali rispetto al piano x,y e funzioni integrabili su un dominio normale.
Integrale triplo e Teorema sulle formule di riduzione per integrali tripli. Matrice Jacobiana di applicazioni di classe C1 e Teorema di cambiamento di variabili in integrali tripli. Calcolo del volume e del baricentro di un solido.
I Teorema di Guldino sul volume di un solido di rotazione (dim)
Superfici ed integrali di superficie. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Superfici regolari.
Area di una superficie. II Teorema di Guldino sull’area delle superfici di rotazione (dim). Integrali di superficie.
Proprieta’ elementari dell’integrale di superficie. Superfici regolari con bordo.
Bordo di un superficie ed orientamento del bordo di una superficie.
Campi vettoriali in Rn. Campi vettoriali conservativi e potenziale di un campo conservativo.
Lavoro di un campo lungo una curva. Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim).
Teorema sulla caratterizzazione di un campo conservativo (dim). Condizione necessaria affinche’ un campo di classe C1 risulti conservativo (dim). Campi irrotazionali. Insiemi aperti semplicemente connessi e Teorema sui campi conservativi in aperti semplicemente connessi. Teorema di Green (dim. in un rettangolo).
Formule per il calcolo dell’area. Teorema di Gauss della divergenza in R2.
Flusso di un campo vettoriale. Teorema di Stokes e Teorema della divergenza in R3.
Equazioni differenziali ordinarie. Soluzione di un’equazione differenziale e integrale generale di un'equazione differenziale. Problema di Cauchy. Funzioni lipschitziane. Teorema sull'esistenza
ed unicita’ locale di una soluzione del problema di Cauchy. Risoluzione di equazioni a variabili separabili. Equazioni della forma y'=g(y/x) e y'=g(ax+by).
Risoluzione di equazioni differenziali esatte e rese esatte mediante un fattore integrante.
Risoluzione di equazioni differenziali lineari del primo ordine (dim). Equazioni di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Soluzioni linearmente indipendenti.
Determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinche' due soluzioni risultino linearmente indipendenti (dim). Teorema sull’integrale generale di equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee (dim). Risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a
coefficienti costanti (dim. nel caso di discriminante maggiore o uguale a 0).
Risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della “somiglianza”. Casi risonanti.
Cenno alle equazioni differenziali lineari di ordine n. Equazioni di Eulero e della forma F(x,y',y'')=0 e F(y,y',y'')=0.
Libro di testo
Fusco-Marcellini-Sbordone "Elementi di Analisi Matematica due" Liguori editore Esercizi
Marcellini-Sbordone "Esercitazioni di Analisi Matematica" II vol. parte I e II, Liguori editore Adams "Calcolo differenziale 2" Casa Editrice Ambrosiana
