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CAPITOLO 4 – LA RICERCA DELLA FORMA DELLA MEMBRANA
4.1
Definizione dello “stato 0”
L'arte dell'architettura leggera a membrana ha avuto inizio con le sperimentazioni sulle bolle di sapone condotte da Frei Otto negli anni Cinquanta. La ricerca della forma attraverso processi autogenerativi, come quelli appunto resi possibili dai film saponosi, ha rappresentato la filosofia della scuola di progettazione fondata da Frei Otto, che è senza dubbio l'inventore delle moderne tensostrutture a membrana concepite tramite l'applicazione del principio delle superfici minime.
Si definisce minima quella superficie che, possedendo la più piccola area possibile, richiede il minimo quantitativo di energia potenziale necessaria a conferirle una forma stabile all'interno di una data condizione di bordo. La peculiarità strutturale delle superfici minime è quella di possedere la medesima e uniforme distribuzione di sforzi in tutte le direzioni. All'interno di configurazioni di bordo di tipo planare, le superfici minime risultanti sono anch'esse planari. Non appena un solo punto della superficie a membrana o del suo bordo risulti al di fuori del piano, le superfici minime risultanti sono caratterizzate da una doppia curvatura in ogni punto della loro superficie. Le superfici a doppia curvatura possono essere sinclastiche, come nel caso delle pressostrutture, oppure possono essere anticlastiche, come nel caso di membrane tensionate e stabilizzate mediante l'azione di pretensione meccanica applicata nel piano del tessuto e lungo i suoi bordi (tensostrutture). Nelle superfici anticlastiche la somma di tutti i raggi di curvatura, negativi e positivi, è sempre pari a zero. Nelle tensostrutture viene impiegato un quantitativo minimo di materiale e, grazie al loro efficace comportamento statico è possibile ridistribuire su un’ampia porzione di superficie gli elevati carichi applicati localmente senza che si verifichi un corrispondente incremento delle deformazioni sulla membrana stessa.
Definire lo “stato 0” significa determinare una configurazione geometrica, associata ad uno stato coattivo di pre-trazione, che permetta di soddisfare l’equilibrio statico in ogni parte della struttura e sia idonea a garantire la stabilità statica e dinamica nelle diverse condizioni di carico.
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4.2
Il metodo della densità di sforzo
Il metodo della densità di sforzo è stato introdotto nel 1972 da Linkwitz e Schek per determinare la forma della copertura dello Stadio Olimpico di Monaco in occasione dei Giochi olimpici.
Questo metodo permette di studiare il problema, fortemente non lineare, della ricerca della forma ottimale delle reti di funi e delle membrane pretensionate attraverso condizioni di equilibrio statico di una travatura reticolare spaziale risolvibile attraverso un sistema di equazioni lineari.
Fig. 4.1: Porzione di una rete spaziale di funi su una superficie a doppia curvatura
Considerando una generica porzione di una rete spaziale di funi (Fig. 4.1), si determina l’equilibrio del generico nodo I soggetto ad un carico esterno P, e si ipotizza che tale nodo sia collegato ai nodi adiacenti A, B, C, D, tramite le aste a, b, c, d.
L’equilibrio nel nodo tra le forze interne e quelle esterne è dato dalla relazione:
0 P n n n n1 2 2 3 3 4 4 I 1 N N N N ,
dove N1, N 2, N 3 ed N 4 rappresentano gli sforzi assiali, positivi se uscenti dal nodo, mentre
1
n , n2, n , ed 3 n4 rappresentano i versori.
Proiettando l’equazione precedente sugli assi x, y e z del riferimento globale, si ottengono le seguenti equazioni scalari valide per ciascun nodo del sistema strutturale:
34 ° ° ° ¯ ° ° ° ® 0 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 z I DI I D CI I C BI I B AI I A y I DI I D CI I C BI I B AI I A x I DI I D CI I C BI I B AI I A P L z z N L z z N L z z N L z z N P L y y N L y y N L y y N L y y N P L x x N L x x N L x x N L x x N ,
dove LAI , LBI , L e CI LDI sono le lunghezze attuali dei tratti che collegano il nodo I ai
nodi circostanti, mentre P , Ix P e Iy P sono le componenti del carico Iz P nel sistema I di riferimento globale (O, x, y, z). Scrivendo le equazioni per tutti gli N nodi della rete di funi si ottiene un sistema di 3uN equazioni che definiscono le condizioni di equilibrio dell’intero sistema.
Si può notare che queste equazioni definiscono anche le condizioni per l’equilibrio statico dei nodi di una travatura reticolare spaziale soggetta a condizioni di carico e di vincolo generiche. Le due tipologie strutturali presentano però delle differenze sostanziali. Nel caso delle travature reticolari sia la geometria del sistema che i carichi agenti sul sistema sono noti pertanto il sistema delle equazioni di equilibrio si riduce alla determinazione degli sforzi assiali nelle aste e delle reazioni vincolari essendo la travatura staticamente determinata. Nel caso delle reti di funi, invece, le incognite sono date dalla geometria del sistema ovvero le coordinate dei nodi, e di conseguenza le lunghezze delle aste, e i valori degli sforzi assiali nei diversi tratti di fune.
L’idea geniale di Linkwitz e Schek consiste nell’assumere costanti e noti i valori dei rapporti qk Nk /Lk fra lo sforzo assiale N e la lunghezza k L del tratto di fune k-esimo k cui si riferiscono, pertanto il sistema precedente si può scrivere come:
° ¯ ° ® 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 z I I D I C I B I A y I I D I C I B I A x I I D I C I B I A P z z q z z q z z q z z q P y y q y y q y y q y y q P x x q x x q x x q x x q ,
dove q , 1 q , 2 q ed 3 q sono le densità di sforzo nei tratti di fune considerati. 4
Scrivendo le equazioni per tutti i nodi della rete, si ottiene un sistema di 3uN equazioni lineari, risolvibile attualmente per via numerica con estrema facilità, nelle 3uN incognite
N i
z y
35 Naturalmente, per ottenere la geometria dello stato 0 della membrana non occorre conoscere i valori delle densità di sforzo di ogni singolo tratto, ma è sufficiente conoscerne solo i rapporti.
Risolto il sistema di equazioni, la geometria della rete è finalmente nota perciò si conoscono le lunghezze finali delle funi, tratto per tratto. Se si vuole che il tratto k-esimo nello stato 0 sia soggetto allo sforzo di pretensione Nk, nell’ipotesi di comportamento
lineare del materiale ed ipotizzando che le deformazioni siano infinitesime, è sufficiente assegnare al tratto stesso la lunghezza iniziale.
k k k k EA q l L 1 1 0 ,
36
4.3
Il reticolo di base
Per poter utilizzare il metodo della densità di sforzo, occorre prima predisporre di un reticolo di base i cui nodi siano posti in corrispondenza biunivoca con i punti della membrana nella configurazione iniziale definita dallo stato 0.
37 Nel caso in esame, come mostrato in Fig. 4.2, è stato adottato un reticolo di base a maglia triangolare.
La maglia è costituita da 6 triangoli principali evidenziati in figura dalle linee rosse. Ciascun triangolo è stato suddiviso, a sua volta, in 900 triangoli simili più piccoli aventi i lati pari ad 1/30 dei lati dei triangoli maggiori.
Tale suddivisione riflette la necessità tecnologica di poter costruire la membrana unendo strisce di materiale di larghezza non superiore a tre metri.
4.4
La generazione della rete di funi equivalente alla membrana
La numerazione dei nodi è stata effettuata associando il numero 1 al nodo corrispondente al punto O ovvero il vertice comune ai 6 triangoli componenti il grigliato di base e successivamente in maniera circolare come mostrato in Fig. 4.3.
38 I nodi sono rappresentati in figura 4.3 attraverso numeri cerchiati.
La membrana è stata considerata come un grigliato spaziale di funi. I tratti di fune equivalenti alla membrana e quelli corrispondenti alle funi metalliche irrigidenti, sono stati introdotti nel modello numerico mediante degli elementi “aste”, fornendone la matrice delle incidenze che definisce l’esistenza di un collegamento tra due nodi adiacenti. Per tale motivo ciascun tratto è stato identificato col numero dei due nodi collegati. La numerazione è stata effettuata nel seguente modo (vedi Figg. 4.2 - 4.3): in primo luogo sono state numerate le aste parallele ai lati AB, BC, CD, DE, EF, FA e rappresentate in blu; dopodiché si è passati alla numerazione delle aste corrispondenti ai lati OA, OB, OC, OD, OE, OF rappresentate in rosso; infine sono state numerate le aste intermedie rispettivamente rappresentate in verde e magenta.
Al solo scopo di ottenere una buona rappresentazione grafica, la membrana è stata altresì modellata mediante un insieme di pannelli piani che collegano ciascuno tre nodi adiacenti del grigliato spaziale.
In definitiva, il modello numerico in verità assai sofisticato adottato per il reticolo di base risulta costituito da 2791 nodi, 8190 aste, 5400 pannelli. Per la sua generazione è stato da me realizzato un apposito programma di calcolo scritto in Visual Basic e riportato nell’Allegato 1.
4.5
Le condizioni al contorno
Per la generazione dei nodi, delle aste e dei pannelli, alcuni nodi sono stati vincolati mentre la maggior parte di essi sono stati lasciati liberi. I nodi vincolati sono i seguenti:
x i nodi 2612, 2642, 2672, 2702, 2732, 2762 corrispondenti rispettivamente ai vertici A [0, 0, 0], B [85, 0, 4], C [100, 60, 6], D [65, 120, 6], E [0, 120, 4], F [0, 60, 0] (vedi Fig. 4.2);
x i nodi 2791 - 2965 corrispondenti ai lati OA, OB, OC, OD, OE, OF rappresentanti le funi principali;
x i nodi 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 35, 36, 39 interni all’ellisse superiore di apertura sono stati sollevati alla quota di 30 m.
x i nodi 589, 661, 691 corrispondenti ai 3 piloni di sostegno sono stati sollevati alla quota di 25 m.
39
4.6
La scelta dei valori delle densità di sforzo
La scelta dei valori delle densità di sforzo di ciascun tratto di fune gioca un ruolo fondamentale nella generazione della forma della membrana nello stato 0 poiché essa rappresenta il rapporto tra lo sforzo assiale presente nella situazione di esercizio nella singola asta e la lunghezza dell’asta stessa. I risultati ottenuti delle prove effettuate durante la ricerca della forma desiderata assegnando alle aste densità di sforzo diverse sono elencate qui seguito.
x Come prima prova si è assegnato a tutte le aste una densità di sforzo comune ed uguale ad uno, la forma che si ottiene per la membrana è rappresentata nella Fig. 4.4. Si può notare che il reticolo di base utilizzato inizialmente non era idoneo alle grandi dimensioni della copertura, pertanto, per le successive prove è stato usato il reticolo di base descritto precedentemente.
Fig. 4.4: Forma della membrana relativa ad una densità di sforzo unitaria
x Poiché le aste che costituisco i bordi della membrana risultano eccessivamente curvati rispetto alle aste interne si è provato a ridurre questa curvatura e aumentare l’area della superficie coperta è stata incrementata la loro densità di sforzo. Rispettivamente si è provato con densità di sforzo pari a 10, 20, 50, ottenendo per quest’ultimo valore la soluzione voluta (Figg. 4.5, 4.6 ,4.7)
40 Fig. 4.5: Densità di sforzo delle aste di bordo uguale a 10
Fig. 4.6: Densità di sforzo delle aste di bordo uguale a 20
Fig. 4.7: Densità di sforzo delle aste di bordo uguale a 50
x Vista la forma ancora molto piatta e la discontinuità che si crea nel punto più alto le migliorie apportate sono state le seguenti (Figg. 4.8, 4.9, 4.10): sono stati sollevati invece
41 di un solo punto un insieme di punti del reticolo di base inscritti rispettivamente in circonferenze di raggio 4 m e 6 m.
Fig. 4.8: Densità di sforzo delle aste di bordo uguale a 50, circonferenza di raggio 4 m
Fig. 4.9: Densità di sforzo delle aste di bordo uguale a 50, circonferenza di raggio 6 m
x Successivamente sono stati irrigiditi i lati dei 6 triangoli principali assegnando una densità di sforzo uguale a 100, creando così delle “nervature” all’interno della membrana. sono stati sollevati 3 corrispondenti ai punti medi delle nervature di lunghezza maggiore.
42 Fig. 4.10: Densità di sforzo delle aste nervature uguale a 100
x Le ultime modifiche apportate alla forma della membrana sono state quelle di sostituire la circonferenza con un’ellisse di semiassi 5 m e 4 m, rispettivamente, che meglio si presta alla forma allungata della piazza e si è raddoppiata la densità di sforzo lungo le nervature di luce maggiore.
4.7 La
soluzione
proposta
La soluzione proposta è rappresentata nelle Figg. 4.11 – 4.15.
43 Fig. 4.12: Forma della membrana finale, prospetto sud
Fig. 4.13: Forma della membrana finale, prospetto est
44 Fig. 4.15: Forma della membrana finale, vista prospettica
