Prof. Massimiliano de Magistris

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(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Modello circuitale e grandezze elettriche Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

Copyright 2020 - Prof. Massimiliano de Magistris - Università di Napoli "Parthenope"

(2)

In questa lezione introdurremo il modello circuitale, con le relative grandezze elettriche, e le sue leggi fondamentali.

A partire nozione di carica elettrica, definiremo l’intensità di corrente e la tensione elettrica, con le rispettive unità di

misura.

Introdurremo il concetto di bipolo, associando ad esso le sue grandezze descrittive ed i relativi riferimenti.

Enunceremo le leggi di Kirchhoff, ricavandole da altrettante leggi fondamentali dell’elettromagnetismo nelle ipotesi

opportune, con cenni ai loro limiti operativi.

Descriveremo i flussi potenza ed energia elettrica tra i

componenti di un circuito, legandoli alle variabili descrittive.

Modello circuitale e grandezze elettriche

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(3)

Unità 1: modello circuitale, carica elettrica, corrente, tensione e relative unità di misura;

Unità 2: concetto di bipolo e grandezze descrittive,

caratteristiche; leggi di Kirchhoff, condizioni di validità;

Unità 3: potenza ed energia elettrica nei circuiti, limiti del modello circuitale.

Modello circuitale e grandezze elettriche

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(4)

Unità 1:

modello circuitale, carica elettrica, corrente, tensione e relative unità di misura;

Modello circuitale e grandezze elettriche

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In modo elementare possiamo definire la carica elettrica come una proprietà intrinseca della materia, che si manifesta

attraverso l’interazione elettromagnetica (ad es. forza di Coulomb).

È possibile distinguere la carica in due “tipi”, positiva (+) e negativa (-) con semplici esperimenti (es. attrazione o

repulsione di cariche a seconda del tipo).

Sappiamo dalla fisica che la carica è associabile ai costituenti elementari della materia: protoni (positiva) ed elettroni

(negativa).

La carica elettrica si misura in coulomb (C) nel Sistema Internazionale (S.I.).

La carica elettrica/1

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1.6 10 C19

p e

q = -q @ × -

La carica di un protone e di un elettrone sono uguali in valore assoluto, ma opposte; misurate in coulomb risultano:

La carica elettrica si conserva: in un sistema isolato (nel quale la carica non può ne entrare ne uscire) la carica complessiva è costante nel tempo!

In realtà usualmente (alle energie ordinarie) non solo si

conserva la carica totale, ma separatamente quella positiva totale Q+ e quella negativa totale Q-.

Solo in esperimenti ad alte energie è possibile creare o

distruggere uguali quantità di carica positiva e negativa, dando luogo al contemporaneo rilascio o assorbimento di specifiche quantità di energia.

La carica elettrica/2

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Nei conduttori elettrici i portatori di carica (es. elettroni) si

muovono normalmente disordinatamente. Al moto disordinato si può però sovrapporne uno ordinato, per effetto di un campo elettrico macroscopico esterno. In tal caso si avrà una

risultante netta non nulla del flusso delle cariche in una direzione

Una superficie “aperta” S

attraversata da portatori di carica

Per definire la grandezza fisica

intensità di corrente elettrica dobbiamo necessariamente riferirci ad una certa superficie S, ed ad un intervallo di

tempo Dt. Inoltre dobbiamo fissare un verso di attraversamento definito come positivo

La corrente elettrica/1

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intensità di corrente media in

S S

i = DQ Dt ® S

Se chiamiamo DQS la carica totale “netta” che nell’intervallo Dt attraversa S nel verso scelto come positivo, avremo:

Posto S( ) lim0 S

t

i t Q

t

D ®

= D

D

DQS = Q t tS( ,0 + D -t) Q t tS( , ), 0 t0 < t

0 0

( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( ) ( )

S S S S

t

S S t S

i t dQ t dQ t i t dt

dt

Q t Q t i t dt

= =

= +

ò

L’intensità di corrente (per brevità “corrente”) si misura in ampere (A) nel S.I.: 1A=1C/1s.

Possiamo ora definire la corrente “istantanea”:

si ricava

La corrente elettrica/2

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Consideriamo ora un volume W, racchiuso da superficie chiusa S, e siano DQW la carica totale racchiusa nel volume e DQS la carica netta che nell’intervallo Dt attraversa S nel verso

uscente. Possiamo scrivere:

0

0

0

0 ( ) lim

( ) ( ) ( )

t t

t

Q dQ

Q Q i t

t dt

Q t Q t i t dt

S W

S W S D ®

W W S

D + D = Þ = D = -

D

= -

ò

Tali relazioni esprimono la

conservazione della carica per un sistema aperto, mettendo in

relazione la carica contenuta QW(t) e la corrente totale uscente iS(t).

S

W

- +

+ +

+ -

-

-

+ +

- -

-

-

Una superficie “chiusa” S

attraversata da portatori di carica

Conservazione della carica e corrente

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In condizioni stazionarie, applicando la conservazione della carica alla superficie chiusa S= SaU SbU Sl che racchiude un tronco di conduttore, tenuto conto che la corrente il verso

l’esterno è nulla per definizione, si ha per le correnti ia in Sa e ib in Sb:

S = a + + =b l dQW

i i i i

dt =0; il = Þ0 ia = -ib

Dunque la corrente è la stessa in ogni sezione del conduttore! Pertanto ha senso definire per esso un’unica corrente i=ia=-ib.

Tronco di un conduttore allungato immerso in materiale isolante

Esempio: conduttore allungato

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Il campo elettrico compie lavoro sulle cariche che si spostano.

Considerato fissato il campo E ed una carica unitaria, si

definisce la tensione elettrica tra i punti A e B lungo la linea g:

vAB g dl

g

ò

E t×

!

(sx) percorso lungo g da A a B;

(dx) due diversi percorsi g e g’

da A a B.

Essa rappresenta il lavoro per spostare la carica unitaria tra A e B lungo g. Si misura in volt (V) nel S.I.: 1V=1J/1C.

È importante osservare che in generale, presa un’altra linea g’ tra A e B la tensione risulta diversa!

g A

B

g A

B g

AB AB

v g ¹ v g¢

Tensione elettrica: definizioni

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In condizioni stazionarie, applicando la legge di Faraday ad una linea chiusa G ottenuta dall’unione di due qualsiasi linee aperte g e g’ tra A e B si ha:

d dtG

F 0 dl vAB g vAB g¢ vAB

= =

— ò

GE t× Þ = =

Se ora consideriamo una linea G chiusa, si può definire la

circuitazione del campo elettrico, legata dalla legge di Faraday alla variazione del flusso magnetico concatenato con G :

S

d d

dl ds

dt dt

e

G

G G G

=

— ò

E t× = -

òò

B n× = - F

La circuitazione lungo una linea G è anche detta “forza elettro- motrice” (f.e.m.)

Circuitazione e forza elettromotrice

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(13)

Unità 2:

concetto di bipolo e grandezze descrittive, caratteristiche; leggi di Kirchhoff,

condizioni di validità del modello

Modello circuitale e grandezze elettriche

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Consideriamo un generico componente, delimitato da una

superficie da cui fuoriescono due terminali conduttori (bipolo), ed iA ed iB siano le intensità di corrente entranti nei suoi

terminali.

In condizioni stazionarie, dalla conservazione della carica applicata alla superficie S si ha:

A B

i i dQ

dtW

+ = = Þ0 iA = - =iB i

Dunque è possibile definire un’unica corrente per il bipolo!

Correnti nei terminali di un bipolo

Modello del bipolo: correnti

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(15)

Per lo stesso bipolo, consideriamo due linee g e g’ esterne che collegano il terminale A e quello B .

In condizioni stazionarie, dalla legge di Faraday applicata alla linea chiusa G = g U g’ si ha:

Dunque è possibile definire un’unica tensione per il bipolo!

AB AB

v v d

dt

g g

G

¢

- = - F 0

AB AB AB

v g v g¢ v

= ß

= =

Tensioni tra i terminali di un bipolo

Modello del bipolo: tensioni

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(16)

In condizioni non stazionarie, ma definibili come “quasi stazionarie”, possiamo porre:

g g

g g g g

W

G

¢

¢ ¢

Þ - @ Þ @ =

F @ Þ

Þ - @ Þ @ =

!

!

, 0

, 0

0

A B A B A B

AB AB

AB AB AB AB AB

i i dQ i i i i i

dt v v d

dt

v v v v v

Possiamo allora definire il (modello del) bipolo se valgono (anche in via approssimata) le condizioni:

–la corrente nei due terminali è la stessa (a meno del segno) –la tensione tra i due terminali è la stessa, indipendentemente dalla linea scelta (purché esterna al bipolo)

–la relazione f(v,i)=0 che lega le variabili è univoca

Modello del bipolo

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Una volta definito il bipolo ne introduciamo il simbolo,

fissando anche i riferimenti per le sue grandezze descrittive (tensione e corrente).

Ci sono due distinte

combinazioni: la freccia della corrente entra nel terminale contrassegnato con +, ovvero ne esce. Il primo caso lo

definiamo “convenzione

normale o dell’utilizzatore”, il secondo “convenzione del

generatore”. Il motivo di tale denominazione apparirà chiaro in seguito, considerando la

potenza.

Simbolo del bipolo, con i riferimenti di tensione e corrente e le rispettive convenzioni.

A

B

A

B

A

B

A

B +

-

+

+ - -

+ -

convenzione dell’utilizzatore

convenzione del generatore

i i’ i’ i

v v’ v v’

Riferimenti e convenzioni per i bipoli

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(18)

Un nodo che collega alcuni bipoli, contornato da una superficie S

1 2 3 4

i i i i dQ

dtW

+ - + = -

( )

1

0; in generale: N k 0

k

i

=

=

å

± =

Consideriamo alcuni bipoli collegati in un unico nodo, e

applichiamo la legge di conservazione della carica al volume W ed alla superficie S che lo racchiudono; in condizioni stazionarie tenuto conto che le correnti sono solo nei terminali, si ha:

LKC: la somma algebrica delle intensità di corrente dei bipoli collegati in un nodo è uguale a zero istante per istante

S

1 2

4 3

nodo

W

Legge di Kirchhoff per le correnti (LKC)

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(19)

Un generica maglia (ciclo) ottenuta collegando i terminali di alcuni bipoli

1 2 3 4

v v v v d

dtG

- - - = - F

( )

1

0; in generale: N k 0

k

v

=

=

å

± =

Consideriamo più bipoli collegati in un unica maglia (ciclo) Applichiamo la legge di Faraday alla linea chiusa G, definita dall’unione delle linee g1, g2, g3, g4 che definiscono le tensioni dei rispettivi bipoli; supponendo le condizioni stazionarie si ha:

LKT: la somma algebrica delle tensioni dei bipoli che

formano una maglia è uguale a zero istante per istante

Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT)

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Come per le condizioni dei bipoli, anche le LK sono verificate esattamente solo nel caso stazionario; risultano in realtà

ancora valide con ottima approssimazione se, anche in questo caso, ipotizziamo le condizioni “quasi stazionarie”:

( ) ( )

1 2

1

1 2

1

, ,... 0

, ,... 0

P

P k

k Q

Q k

k

i i i dQ i

dt

v v v d v

dt

W

=

G

=

Þ ± @

F Þ ± @

å å

!

!

In definitiva il modello circuitale è valido rigorosamente solo nel caso stazionario. Fortunatamente anche in condizioni non stazionarie risulta estremamente accurato in un’enorme

varietà di situazioni! (su ciò torneremo in seguito)

LKC, LKT e condizioni quasi stazionarie

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Un generico circuito con l=5 bipoli, n=3 nodi e sei maglie

3

1 2 4 5

q w

e

+

-

+

- +

-

+ -

+

-

1 2

3 4 2

1 2 3

4 5

3 4 5

1 3 4

1 2 4 5

2 3 5

1 3 5

0 0 0

0 0 0 0

0 0

v v

v v v

i i i

v v

LKC i i i LKT

v v v

i i i i

v v v

v v v

- + =

ìï+ + - = + + + = ï

ì ï- + =

ï- + - = ï

í í- + + =

ï- - - + = ï

î ï- + + =

ï- + + =

ïî Per il circuito in figura, una volta scelti

i riferimenti, applichiamo le LKC, LKT a tutti i nodi e tutte le maglie :

Esempio: formulazione LKC e LKT

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(22)

1 2 3

3 4 5

1 2 4 5

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 i i i

i i i

i i i i

+ + + + =

+ - + - =

- - + - + =

+ + + =

1 2

2 3 4

4 5

1 3 5

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

v v

v v v

v v

v v v

- + + + + =

- + + + =

+ + - + =

- + + + + =

Sommando le tre LKC si ottiene una riga nulla (0=0): le tre equazioni

sono sicuramente dipendenti tra loro. È possibile dimostrare che invece due (in generale (n-1))

qualsiasi sono sempre indipendenti Sommando le prime tre LKT si

ottiene la sesta delle equazioni precedenti: dunque essa risulta

dipendente. È possibile dimostrare che per il circuito considerato si

possono sempre individuare 3 (in generale (l-(n-1)) LKT indipendenti.

Esempio: dipendenza delle LKC e LKT

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(23)

Unità 3:

potenza ed energia elettrica nei circuiti, limiti del modello circuitale.

Modello circuitale e grandezze elettriche

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(24)

In un circuito il campo elettrico (generato dall’intero circuito) agisce sulle cariche in moto all’interno di ogni bipolo

compiendo lavoro, a spese della restante parte del circuito. Di conseguenza c’è un flusso di energia (elettrica), tra il

componente in esame e il resto del circuito.

A

B +

- v(t)

i(t)

restante parte del circuito

bipolo

DW(a)(t)

DW(e)=-DW(a) Considerato un intervallo Dt, la corrispondente energia DW(a) che fluisce dal circuito al bipolo si definisce

“assorbita”. Quella opposta DW(e) (dal bipolo al circuito)

“erogata”.

Potenza ed energia elettrica nei circuiti/1

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(25)

L’energia assorbita o erogata sono in ogni caso quantità

algebriche, il cui valore dipende dal funzionamento (istante per istante) del circuito: se DW(a)>0 l’energia sarà effettivamente assorbita in Dt, se DW(a)<0 sarà invece erogata.

Possiamo definire, rispettivamente, la potenza media ápñ in Dt o istantanea p(t) in t come:

( ) ( ) ( )

0 0

; lim lim

t t

w t t w t

w w

p p t

t D ® t D ® t

+ D -

D D

= = =

D D D

Ricordando che l’energia si misura in joule (J) nel S.I., di conseguenza [p]=J/s=W (watt); 1W=1J/1s. Riscrivendo la

relazione tra potenza ed energia assorbite (erogate) in forma integrale abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) ( )

0

t

a a a e

t

w t = w t +

ò

p t dt = -w t

Potenza ed energia elettrica nei circuiti/2

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(26)

Leghiamo ora i flussi di potenza da e verso il bipolo alle

grandezze descrittive dello stesso, tensione v e corrente i. E’

un risultato fondamentale dell’elettromagnetismo che, in un circuito:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) (convenzione utilizzatore) ( ) ( ) (convenzione generatore)

a

a

p t v t i t p t v t i t

=

= -

Ciò può essere intuitivamente compreso considerando, per un bipolo, la carica

elementare dq=i(t)dt che in un intervallo elementare viene spostata da un

terminale all’altro:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dw v t dq v t i t dt dw v t i t p t

dt

= =

= =

Un bipolo con la convenzione dell’utilizzatore e la carica dq

trasportata” tra i terminali in dt

+

- v(t)

i(t)

dq=i dt

Potenza ed energia elettrica nei circuiti/3

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(27)

È possibile stimare la validità delle approssimazioni considerate in relazione alla rilevanza dei fenomeni di

propagazione elettromagnetica sulla struttura in esame: se essa risulta trascurabile nei suoi effetti, allora il modello

circuitale descrive bene i fenomeni osservabili.

Semplificando al massimo, detta c la velocità di propagazione della luce nel vuoto, lc la dimensione principale del sistema, tc un tempo caratteristico nel suo funzionamento, considerata la quantità lc=ctc (lunghezza d’onda di caratteristica), se lc>>lc la propagazione risulterà trascurabile!

Possiamo fare qualche semplice ma significativo esempio

valutando la lunghezza d’onda caratteristica relativamente alle frequenze in gioco per alcuni sistemi di grande interesse!

Limiti di validità delle LK e del modello/1

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(28)

1. Ricevitore radio FM

frequenza 100 MHz=108Hz à tc=10-8s=10ns lc=c x tc=3 x 108 x 10-8 = 3m >> lc

2. Rete distribuzione energia elettrica frequenza 50 Hz à tc=0.02s=200ms

lc=c x tc=3 x 108 x 2 x 10-2 = 6x106m=6000km >> lc 3. Processore a 10 GHz

frequenza 10 GHz=1010Hz à tc=10-10s=0.1ns lc=c x tc=3 x 108 x 10-10 = 3x10-2m=3cm !!!!!!!

Limiti di validità delle LK e del modello/2

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(29)

Come esercizi sugli argomenti di questa lezione si suggeriscono gli ex. 1-8 a pag. 56-57 e del testo di riferimento, dove vengono

riportati i risultati.

I relativi svolgimenti completi sono disponibili alla pagina:

http://www.elettrotecnica.unina.it/files/demagistris/libro.html

Esercizi proposti

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figura

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Riferimenti

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