I.T.I.S. 'A.Volta' Trieste
A.Smailagi¢
1.2 Conversione delle unità di misura . . . 4
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori . . . 8
2 Vettori 11 2.1 Vettori nel sistema cartesiano . . . 16
3 Condizioni di equilibrio 20 4 Moti di traslazione 28 4.1 Moto uniforme . . . 28
4.2 Moto uniformemente accelerato . . . 36
4.2.1 Moto nel campo gravitazionale . . . 45
4.3 Moti composti di traslazione . . . 52
4.4 Moti parabolici . . . 53
4.5 Moto di rotazione . . . 56
4.6 Moto armonico . . . 59
4.7 Moto dei satelliti e pianeti . . . 63
5 Dinamica 66 5.1 Dinamica di traslazione . . . 66
5.2 Dinamica della rotazione . . . 70
5.3 Approfondimento:Sistemi non-inerziali . . . 74
6 Lavoro ed energia 77 6.1 Lavoro . . . 77
6.2 Energia e lavoro . . . 83
6.3 Conservazione di energia meccanica . . . 84
7 Termologia 90 7.1 Dilatazione termica . . . 92
8 Elettrostatica 93 9 Circuiti elettrici 102 9.1 Circuito R . . . 102
9.2 Circuito C . . . 110
10 Magnetostatica 116 10.1 Legge di Biot-Savart . . . 116
10.2 Forza di Lorentz . . . 116
10.3 Induzione magnetica . . . 119
Elenco delle gure
1 Termometro . . . 8
2 Amperometro . . . 9
3 Vettori colineari . . . 12
4 Gra co delle forze sulla nave . . . 13
5 Gra co delle forze sulla lampada . . . 15
6 Gra co delle velocità della barca . . . 16
7 . . . 29
8 . . . 31
9 . . . 32
10 . . . 33
11 . . . 34
12 . . . 37
13 . . . 38
14 . . . 41
15 . . . 43
16 . . . 43
17 La velocità della pallina è una retta . . . 46
18 La traiettoria della pallina è una parabola . . . 46
19 La traiettoria della pallina è una parabola . . . 49
20 La velocità della pallina è una retta . . . 50
21 . . . 51
22 Oscillazione verticale di una massa . . . 61
23 . . . 91
24 . . . 103
25 . . . 104
26 . . . 104
27 . . . 105
28 . . . 105
29 . . . 106
30 . . . 108
31 . . . 109
32 . . . 110
33 . . . 111
1 Unità di misura
1.1 Notazione scienti ca
1. Scrivere i seguenti valori numerici in notazione scienti ca:
• 10.000.000
• 0, 00001
• 0, 000327
• 7.894.000
• 45.000
• 0, 0000004893
• 1356, 77
• 0, 0003457
• 0, 00456 × 105
• 137, 34 × 103
2. Eseguire i seguenti calcoli esprimendo il risultato in notazione scienti ca:
• 12.000 · 27.000 =?
• 25.400.000 · 86.400 =?
• 0, 000000328 · 125.000 =?
• 0, 00000441/0, 0000000643 =?
• 2.435.734 · 345.954.000 · 239.340 =?
• 629.000/0, 00000218 =?
• 81.700 · 45.420/0, 000034289 =?
• 0, 00034 × 107· 12.000 × 10−5 =?
• 6, 17 × 105+ 5, 81× 104 =?
• 2, 52 × 10−6+ 6, 86× 10−7 =?
3. La lunghezza di 10−10msi chiama un Angstrom (Å) mentre 10−15m si chiama un femtometro (fm). Quanti femtometri corrispondo ad un Angstrom?
4. Riscrivi utilizzando la notazione scienti ca e poi indica gli ordini di grandezza di ciascun numero.
• N1 = 0, 00000056793
• N2 = 456.022.000.000
• N3 = 356, 395
Soluzioni:
• N1 = 0, 00000056793 = 5, 6793× 10−7
• N2 = 456.022.000.000 = 4, 56022× 1011
• N3 = 356, 395 = 3, 56395× 102
5. Esegui la seguente operazione con le potenze di dieci 0, 5× 10−5· 2 × 1010
8× 106 6. Completare il seguente conto
9× 109 (6× 10−19)2 (0.5× 10−8)2 7. Posto:
• a = 0, 0003 nm
• b = 60000 ms
• c = 90000 pg
usa la notazione scienti ca e converti in unità di misura del SI. Poi calcola le seguenti grandezze ed indica le loro dimensioni siche.
• A = c/a3
• B = a/b
• C = c · a2/b
Soluzioni:
a = 0, 0003 nm = 3× 10−4nm = 3× 10−4× 10−9m = 3× 10−13m b = 60.000 msec = 6× 104msec = 6× 104× 10−3sec = 6× 101sec
c = 90.000 pg = 9× 104pg = 9× 104× 10−12g = 9× 10−8g = 9× 10−11kg
A = c/a3 = 9× 10−11kg (3× 10−13m)3 = 1
3× 1028kg/m3 = 3, 3× 1027kg/m3 B = a/b = 3× 10−13m
6× 101sec = 1
2 × 10−14m/sec = 5× 10−15m/sec C = c· a2/b = 9× 10−11kg (3× 10−13m)2
6× 101sec = 27
2 × 10−38kg mm2/sec = 1, 35× 10−37kg m2/sec 8. L'ordine di grandezza del diametro di una molecola è di 10−10m. Qual è l'ordine
di grandezza di uno strato di molecole di spessore di 0, 1 mm? Quante molecole si trovano in questo strato?
Soluzioni: L'ordine di grandezza dello strato si ottiene scrivendo la sua dimen- sione in notazione scienti ca
0, 1 mm = 1× 10−1× 10−3m = 10−4m
Supponendo che le molecole sono messe una sopra l'altra, il loro numero è dato da
n = 0, 1 mm
10−10m = 10−4m
10−10m = 106
1.2 Conversione delle unità di misura
1. Esprimere in metri le seguenti lunghezze utilizzando la notazione scienti ca:
• 62, 8 km
• 0, 0669 mm
• 33, 3 nm
• 135, 8 µm
• 3, 0002 × 103 cm
2. Sapendo che un pollice (inch) equivale a 1 in = 2, 54 cm centimetri eseguire le seguenti conversioni:
• 24 in → cm
• 12 cm → in
• 0, 3 m → in
• 3 in3 → cm3
• 1, 5 m2 → in2
3. Sapendo che un miglio equivale a 1 mile = 1, 609 km eseguire le seguenti con- versioni:
• 1 mile → m
• 2, 7 mile → km
• 723 m → mile
• 19 km → mile
• 1 mile → in
4. Trasforma le seguenti unità di misura
• 2 km2 =? mm2
• 0, 6 cm3 =? km3
• 13, 6 g/cm3 =?kg/m3
• 50 km/h =? m/sec Soluzioni:
• 2 km2 = 2× (103+3)2mm2 = 2× 1012mm2
• 0, 6 cm3 = 0, 6× (10−5)3km3 = 6× 10−16km3
• 13, 6 g/cm3 = 13, 6× 103kg/m3
• 50 km/h = 360050 × 103m/sec = 3,650 m/sec = 13, 89 m/sec 5. Convertire le seguenti unità di misura
• 9 dam = ... nm
• 35 hg = ... µ g
• 900 mm3 = ... cm3
• 22 h 350 sec = ...min... sec
Soluzioni:
• 9 dam = 9 × 101× 109m = 9× 1010m
• 35 hg = 35 × 102× 106g = 35× 108µ g = 3, 5× 109µ g
• 900 mm3 = 9× 102× 10−3cm3 = 9× 10−1cm3
• 22 h 350 sec = 22×60 min35060 min = 22×60 min (5 min + 50 sec) = (1320min + 5 min) 50 sec = 1325 min 50 sec
6. Eseguire le seguenti conversioni di tempi:
• 45 min =? sec
• 27.500 sec =? h
• 15 d =? min
• 2, 7 h =? sec
• 4200 min =? d
• 3, 8 y =? sec
• 1, 2 × 103sec =? min
• 1, 45 × 108sec =? y
7. Eseguire le seguenti conversioni di lunghezze:
• 5 km2 =? m2
• 25 cm3 =? m3
• 350 mm2 =? dm2
• 23 n m =? km
• 0, 00174 km =? µ m
• 23 m =? pm
• 1, 6 × 106mm =? m
• 27.000 km =? mm
8. Il ghepardo riesce a raggiungere una velocità di vg = 35 m/s. Il falco pellegrino riesce a toccare una velocità di vf = 380 km/h. Converti la velocità del ghepar- do in km/h ed indica quale dei è più veloce.
9. La densità di mercurio è ρHg = 13, 6 g/cm3. Esprimere la densità in kg/m3 e kg/l. Riesci a capire il motivo perché chimici usano esprimere la densità in kg/l? (1dm3 = 1l)
Soluzioni: La trasformazione delle unità di misura è la seguente 13, 6 g/cm3 = 13, 6×10−3
10−6 kg/m3 = 13, 6× 10−3+6kg/m3 =13, 6× 103kg/m3 La relazione tra litri e m3è1 dm3 = 1 l. Trasformando si ha 1×(10−1)3m3 = 1 l, oppure 1m3 = 1× 103l. La densità diventa
13, 6 g/cm3 = 13, 6× 103kg/m3 = 13, 6× 103kg
103l =13, 6 kg/l
Esprimere, dunque, la densità in kg/l mantiene lo stesso numero come in g/cm3, ma la combinazione kg/l non appartiene al sistema SI.
10. Un cubetto di metallo ha una densità di ρ = 20 g/cm3 e la massa m = 2 kg.
Viene immerso in un contenitore pieno d'acqua. Qual è il volume d'acqua che viene spostato? Esprimi il risultato in metri cubi e poi in litri.
Soluzioni: Il volume dell'acqua spostato corrisponde al volume del cubetto (principio di Archimede) che si trova dalla densità
V = m
ρ = 2 kg
20 g/cm3 = 2 kg
2× 104kg/m3 = 10−4m3 = 10−4× 103l = 10−1l 11. La densità dell'olio da cucina è (valor medio a t = 200C) ρ = 0, 916 kg/l.
Esprimere la densità in g/m3, g/cm3 . Quanti litri d'olio bisogna mettere sulla bilancia se si vuole bilanciare un litro di acqua?
12. La densità di un miscuglio di sostanze solide è una media pesata data dalla formula
ρ = ρ1V1+ ρ2V2 V1+ V2
. Se si mescolano oro ed argento in rapporto V1/V2 ≡ VAu/VAg = 10 quanto è la densità del miscuglio? Le densità sono ρ1 ≡ ρAu = 19, 30 g/cm3 e ρ2 ≡ ρAg = 10, 49 g/cm3. (indicazione: dividere il lato destro della formula con V2)
soluzioni: Dividendo il lato destro della formula con V2 si ottiene ρ = (ρ1V1 + ρ2V2) /V2
(V1 + V2) /V2 = ρ1V1/V2+ ρ2 V1/V2+ 1 ρ = 10ρ1+ ρ2
11
ρ = 10· 19, 30 g/cm3+ 10, 49 g/cm3
11 = 18, 50 g/cm3
1.3 Misure dirette ed indirette e gli errori
1. Arrotondare a giusto numero di cifre signi cative le seguenti operazioni con le misure
2, 36 + 0, 2 + 13 =?
16, 12· 5, 365
0, 3 =?
Soluzioni:
2, 36 + 0, 2 + 13 = 15|, 56 = 16 16, 12· 5, 365
0, 3 = 2|88, 279 = 300
2. Arrotondare al numero giusto di cifre signi cative le seguenti operazioni 13, 26 + 0, 345 + 1.2
16.13· 0, 26
Figura 1: Termometro
3. Sono rappresentati due strumenti: il termometro che misura la temperatura t e l'amperometro che misura la corrente elettrica I
Figura 2: Amperometro
• indica le sensibilità degli strumenti e i valori delle grandezze rilevate
• Scrivi il valore sperimentale delle misure che corrispondono alle situazioni illustrate dalle gure Iexp texp
4. Completa la seguente tabella con dei valori mancanti
Errore assoluto ϵa (sec) Valore medio ¯x (sec) Errore relativo ϵr
1 0, 02 0, 80
2 0, 1 10
3 2 0, 05
4 5 0, 04
5 0, 125 0, 008
5. Facendo tre misurazioni di una lunghezza si ottengo i seguenti valori:
• l1 = 5, 3 cm
• l2 = 5, 6 cm
• l3 = 5, 4 cm
Calcola il valore medio, l'errore assoluto, l'errore relativo e valore sperimentale della misura.
6. Sono state eseguite le seguenti misure dirette di tempo
• t = 1, 26 sec
• t = 1, 24 sec
• t = 1, 25 sec
• t = 1, 22 sec
Scrivere il valore sperimentale e speci care la precisione della misura rispetto al valore teorico.
7. Scrivere il seguente numero dal massimo al minimo numero di cifre signi cative possibile e spiegare il signi cato sico di ogni scrittura
162, 25
8. Se dobbiamo tagliare un tavolo di lunghezza 10 m con lo scarto di 2%, quali lunghezze sono accettabili?
9. I lati di un rettangolo valgono rispettivamente aexp = (8, 4± 0, 2) mm e bexp = (24, 8± 0, 2) mm. Determina la misura completa comprensiva di errore assoluto e opportunamente arrotondata:
• del perimetro
• dell'area
Soluzioni: Perimetro
ϵar = 0, 2/8, 4 = 0, 02|3 = 0, 02 ϵbr= 0, 2/24, 8 = 0, 008|06 = 0, 008 P = 2(8, 4 + 24, 8) mm = 66, 4 mm¯
ϵPa = 2(ϵaa+ ϵba) = 2(0, 2 + 0, 2) mm = 0, 8 mm ϵPr = 0, 8/66, 4 = 0, 01|2 = 0, 01
ϵPr% = 1%
area
A = ab = 8, 4¯ · 24, 8 mm2 = 20|8, 32 mm2 = 210 mm2 ϵAr = ϵar+ ϵbr = 0, 02 + 0, 008 = 0.02|8 = 0, 03 ϵAa = ϵAr · ¯A = 0, 03· 210 mm2 = 6|, 3 mm2 = 6 mm2 Aexp = (210± 6) mm2
10. Valori sperimentali di due lati di un rettangolo sono rispettivamente
• aexp = (20, 7± 0, 2) cm
• bexp = (29, 7± 0, 1) cm
Calcola il perimetro P e l'area A e scrivi i loro valori sperimentali.
11. Si vuole incorniciare una fotogra a i cui lati hanno valore aexp = (21, 9± 0, 2) cm
bexp = (7, 8± 0, 2) cm
Calcolare l'area della fotogra a ed il suo perimetro.
12. Sono state ottenute le seguenti misure
mexp = (30, 2± 0, 2) g Vexp = (22, 2± 0, 1) ml
Calcolare valore sperimentale della densità in kg/m3.
2 Vettori
1. Un vettore ⃗a = 2⃗a0 si moltiplica con +5 e −3. Disegnare i vettori risultanti ⃗b e ⃗c e scrivere il loro modulo. Calcolare la loro somma e la loro dierenza.
Soluzioni: Scriviamo i vettori ⃗b,⃗c come
⃗b = 5 · ⃗a = 5 · 2⃗a0 = 10 ⃗a0
⃗c =−3 · ⃗a = −3 · 2⃗a0 =−6⃗a0
⃗b + ⃗c = 10⃗a0+ (−6⃗a0) = 4 ⃗a0
⃗b − ⃗c = 10⃗a0− (−6⃗a0) = 16 ⃗a0
2. Un oggetto di peso 10 N si trova sul piano inclinato di 300. Calcola la forza che spinge l'oggetto lungo il piano.
Figura 3: Vettori colineari
3. Un auto di peso P = 10.000 N si trova parcheggiata in una strada in discesa con l'inclinazione di 450. Quanto è la minima forza di attrito che tiene l'auto ferma?
4. Un ragazzo si diverte osservando le persone che prendono la scala mobile per salire o scendere. La scala si muove con la velocità di 1 km/h. Come si deve muovere uno sulla scala per stare fermo rispetto all'osservatore esterno ? Cosa deve fare un altro che vuole salire impiegando metà del tempo rispetto al tem- po delle persone ferme sulla scala? Quanto sono la componenti della velocità rispetto al piano orizzontale e verticale se la scala forma angolo α = 300 con il suolo?
Soluzioni:
Per sembrare fermo rispetto all'osservatore, la velocità totale della persona v sulla scala deve essere zero.
⃗
vtot = ⃗vp+ ⃗vs = 0 Signi ca che
⃗vp =−⃗vs
e la persona deve scendere con la velocità ⃗vp = −1 m/sec · ⃗v0. Invece, per dimezzare il tempo di salita deve raddoppiare la velocità
⃗vtot = ⃗vp+ ⃗vs= 2⃗vs
e la persona deve salire con la stessa velocità della scala ⃗vp = 1 m/sec· ⃗v0. Le componenti della velocità totale sono
v|| =
√3 2 v v⊥ = 1
2v
5. La nave Costa Concordia viene trainata da due rimorchiatori che tra di loro formano angolo 900. La forza di ciascun rimorchiatore e di 200 N. La corrente del mare spinge la nave indietro con la forza di 200 N. Quanto e la forza totale e che direzione si muove la nave?
Soluzioni:
I due rimorchiatori generano una forza totale
Figura 4: Gra co delle forze sulla nave
F⃗1,2 = ⃗F1+ ⃗F2 F1,2 =
√
F12+ F22 =√
2 F1 = 282 N
a questa forza si oppone la forza della corrente. Essendo le due forze opposte si ha la forza nale
Ftot = F1,2− Fc= (282− 200) N = 82 N
La nave si muove in avanti.
6. Un carro viene trainato da due cavalli che tra di loro formano angolo 600. La forza di ciascun cavallo e di F1 = F2 = 300 N. Un terzo cavallo tira il carro indietro con la forza di F3 = 200 N. Quanto e la forza totale e che direzione si muove il carro?
Soluzioni: La forza totale è
F⃗tot = ⃗F1+ ⃗F2+ ⃗F3 Prima si sommano le forze F1, F2
F⃗′ = ⃗F1+ ⃗F2 F′ =√
3 F1 =√
3· 300 N = 519 N e poi si sommano
F⃗tot = ⃗F′+ ⃗F3
Ftot = F′− F3 = (519− 200) N = 319 N Il carro si muove in avanti con la forza di 319 N.
7. Una lampada pesa P = 70 N ed è appesa al so tto con due cavi (di ugua- le lunghezza) che formano l'angolo di 1200. Ciascun cavo riesce sopportate al massimo 35 N di peso. Riescono a sopportare il peso della lampada?
Soluzioni: Il peso della lampada viene bilanciato dalla somma vettoriale delle tensioni nei li ⃗T1, ⃗T2.
P⃗ ≡ −⃗T = ⃗T1+ ⃗T2
T = P = 70 N
Le tensioni formano un angolo si 1200 ed il parallelogramma di forze è un rombo.
La metà di questo rombo è un triangolo equilatero che da Ttot = T1 = T2 = 70 N. Si come i singoli li non riescono sopportate le forze maggiori di 35 N si spezzeranno.
8. Una lampada di peso 50 N è appesa al so tto con 2 corde che formano un an- golo di 900 tra di loro. Quanta forza sostiene ogni corda?
Figura 5: Gra co delle forze sulla lampada
9. Un palloncino sale verticalmente con la velocità di vp = 2 m/sec. Il vento so a verso destra con una velocità di vv = 4 m/sec. Disegnare la velocità totale e calcolare il suo modulo.
Soluzioni:
vtot =
√
vp2+ vv2 =√
20 m/sec = 4, 47 m/sec
10. Una barca cerca di attraversare il ume in modo verticale con la velocità di vb = 3 m/sec. Il ume scorre a destra con la velocità corrente di vc = 4 m/sec. La distanza tra le due sponde è di 300 metri. A che distanza dal punto di partenza arriva la barca dall' altra parte della sponda?. Disegna la situazione in scala. Trovare con quale velocità e in che direzione deve andare la barca per poter attraversare il ume in modo perpendicolare.
Soluzioni: La velocità nale è la somma vettoriale delle due velocità vb, vc
⃗v = ⃗vb+ ⃗vc
Essendo le velocità ortogonali, il modulo di v si può calcolare con il teorema di Pitagora
v =
√
vb2+ vc2 =√
(32+ 42) m2/sec2 = 5 m/sec
La barca attraversa diagonalmente il ume nel tempo t. Lo stesso tempo impiega la componente vb per attraversare distanza di 300 m. Si ha
s/v = 300 m/vb → s = 300 · 5/3 m = 500 m
Se la barca dovesse attraversare verticalmente il ume con la velocità v
Figura 6: Gra co delle velocità della barca
dovrebbe cambiare la direzione in modo che la nuova velocità formi il paralle- logramma con la velocità della corrente, la cui diagonale sia proprio la velocità v. In questo caso la nuova velocità sarebbe
v′p =√
v2 + v2c =√
(52+ 42) m2/sec2 =√
41 m/sec = 6, 4 m/sec
11. La pioggia cade verticalmente con la velocità di 5 m/sec. Il vento so a all'an- golo 600, rispetto alla verticale, con la velocità 5 m/sec. Qual'è la velocità nale delle gocce di pioggia, vista da terra? Costruire vettore velocità nale e calco- lare il suo modulo.(Usare le regole dell'angolo 600). Di che angolo (rispetto alla terra) bisogna inclinare l'ombrello per riparasi meglio dalla pioggia?
Soluzioni:
⃗vtot = ⃗vp+ ⃗vv vtot =√
3 vp = 1, 73· 5 m/sec = 8, 7 m/sec
l'angolo di inclinazione della velocit/`a totale, essendo il parallelogramma un rombo, è αvtot = 600/2 = 300 rispetto alla vp. Per ripararsi dalla pioggia bisogna inclinare l'ombrello di ,600 se si cammina controvento, e di 1200 se si cammina a favore del vento.
2.1 Vettori nel sistema cartesiano
12. Si calcolino i moduli e si disegnino i seguenti vettori
OA = 5⃗i + 3⃗j⃗ OB = 10⃗i⃗ − 7⃗j OC =⃗ −2⃗i − 3⃗j
13. Si hanno due punti A(4,3) e B(2,4). Disegnare i vettori ⃗OAe ⃗OB riferendosi ad un sistema cartesiano con origine in O e trovare il modulo del vettore somma OC = ⃗⃗ OA + ⃗OB e le coordinate del punto C.
14. Abbiamo tre punti nel sistema cartesiano A(−5; −4), B(2; 3) e C(4; −2). Cal- cola ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC; ⃗OA + ⃗OB− ⃗OC; ⃗OA− ⃗OB− ⃗OC. Disegna il risultato nel sistema cartesiano.
15. Si hanno tre punti A(4,0), B(2,2) e C(-6,2). Scrivere vettori ⃗OA, ⃗OB, ⃗OC riferendo si ad un sistema cartesiano con origine in O e trovare i seguenti vettori
• ⃗OE = ⃗OA + ⃗OB + ⃗OC , le coordinate del punto E e il modulo |OE|.
• ⃗CD = ⃗OA + ⃗OB − ⃗OC e il modulo |CD|.
• ⃗CA = ⃗OA− ⃗OB− ⃗OC e il modulo |CA|.
Soluzioni: Scriviamo i tre vettori nel sistema cartesiano usando la notazione dei versori ⃗i,⃗j come
OA = 4⃗ ·⃗i + 0 · ⃗j OB = 2⃗ ·⃗i + 2 · ⃗j OD =⃗ −6 ·⃗i + 2 · ⃗j
adesso è facile fare le operazioni tra versori uguali e si ha
OE = ⃗⃗ OA + ⃗OB + ⃗OD = 4·⃗i + 0 · ⃗j + 2 ·⃗i + 2 · ⃗j − 6 ·⃗i + 2 · ⃗j OE = 4⃗ · ⃗j
E(4, 0) OE =√
42+ 02 = 4
DC = ⃗⃗ OA + ⃗OB− ⃗OD = 4·⃗i + 0 · ⃗j + 2 ·⃗i + 2 · ⃗j + 6 ·⃗i − 2 · ⃗j DC = 12⃗ ·⃗i
DC =√
122+ 02 = 12
DA = ⃗⃗ OA− ⃗OB− ⃗OD = 4·⃗i + 0 · ⃗j − 2 ·⃗i − 2 · ⃗j + 6 ·⃗i − 2 · ⃗j DA = 8⃗ ·⃗i − 4 · ⃗j
DA =
√
82+ (−4)2 =√
80 = 8, 9
16. Usando vettori dell'esercizio precedente dimostrare la relazione (OA⃗ × ⃗OB
)× ⃗OD =
(OA⃗ · ⃗OD
)· ⃗OB−(
OD⃗ · ⃗OB
)· ⃗OA
Soluzioni:
La dimostrazione tiene conto che il prodotto vettoriale tra versori uguali da zero (esempio ⃗i ×⃗i = 0) così come prodotto scalare tra versori diversi da anche zero (esempio ⃗i · ⃗j = 0).
OA⃗ · ⃗OD = 4·⃗i ·(
−6 ·⃗i + 2 · ⃗j)
=−24 (OA⃗ · ⃗OD
)· ⃗OB =−24(
2·⃗i + 2 · ⃗j)
=−48 ·⃗i − 48 · ⃗j OB⃗ · ⃗OD =
(
2·⃗i + 2 · ⃗j)
·(
−6 ·⃗i + 2 · ⃗j)
=−8 (OB⃗ · ⃗OD
)· ⃗OA =−8 · 4⃗i = −32⃗i (OB⃗ · ⃗OD
)· ⃗OA−(
OA⃗ · ⃗OD
)· ⃗OB =−32⃗i −(
−48 ·⃗i − 48 · ⃗j)
= 16·⃗i + 48 · ⃗j dall'altro canto si ha
OA⃗ × ⃗OB = 4·⃗i ×(
2·⃗i + 2 · ⃗j)
= 8·⃗i × ⃗j = 8 · ⃗k (OA⃗ × ⃗OB
)× ⃗OD = 8· ⃗k ×(
−6 ·⃗i + 2 · ⃗j)
=−48 · ⃗k ×⃗i + 16 · ⃗k × ⃗j = −48 · ⃗j − 16 ·⃗i
nalmente si vede che (OA⃗ × ⃗OB
)× ⃗OD =
(OA⃗ · ⃗OD
)· ⃗OB−(
OB⃗ · ⃗OD
)· ⃗OA
17. Due masse sono posizionate su una retta inclinata di 450 rispetto all'asse x e tra di loro agisce la forza di gravita di F = 10 N. Si scriva il vettore forza con i versori del sistema cartesiano.
3 Condizioni di equilibrio
1. Due studenti si trovano su un'asta lunga 4 m. Il fulcro O è posto a 2, 8 m dal- l'estremità su cui si trova uno studente di 500 N. Determinare il peso dell'altro studente quando il sistema è in equilibrio. Determinare la forza vincolare sul fulcro.
Soluzioni: Condizione di equilibrio per rotazione da M⃗tot = ⃗Ma+ ⃗Mb
Mtot = Ma− Mb = Fa· OA − Fb· OB = 0 F b = F a· OA
OB
F b = 500 N· 2, 8 m/1, 2 m = 1166, 7 N
La forza vincolare Fv si trova dalla condizione di equilibrio per traslazione 0 = ⃗Fa+ ⃗Fb+ ⃗Fv
0 = Fa+ Fb− Fv
Fv = Fa+ Fb = 500 N + 1166, 7 N = 1666, 6 N
2. Una tavola di legno lunga 2, 4 m è appoggiata nel suo centro O e caricata agli estremi con due forze F1 = 100 N e F2 = 1000 N dirette verso il basso. Si vuole equilibrare la tavola con la terza forza verticale F3 = 1500 N. Dove bisogna applicare questa forza rispetto al fulcro? Quanto è la forza vincolare?
Soluzioni: Scegliamo di piazzare la forza F3 a sinistra del fulcro nel punto C.
Condizione di equilibrio per rotazione da M⃗tot = ⃗Ma+ ⃗Mb+ ⃗Mc
0 = Ma+ Mc− Mb
0 = F1· OA + F3· OC − F2· OB OC = −F1· OA + F2· OB
F3 = −100 N · 1, 2 m + 1000 N · 1, 2 m
1500 N = 0, 72 m
Il peso di 1500 N deve essere applicato a 0, 72 m a sinistra dal fulcro. La forza vincolare Fv si trova dalla condizione di equilibrio per traslazione
0 = F1+ F2+ F3− Fv
Fv = F1+ F2+ F3 = 100 N + 1000 N + 1500 N = 2600 N
Esiste un altra soluzione se piazziamo la forza F3 a sinistra del fulcro. In questo caso bisogna cambiare il suo verso (diretta verso alto). Prova ottenere questa soluzione.
3. Una lampada è appesa al so tto da due funi che formano angolo di 900. Il peso della lampada è 100 N.Calcolare la forza tensione nelle funi (il loro modulo è uguale T1 = T2. La lampada si trova in equilibrio)
Soluzioni: La forza totale è
T⃗tot = ⃗T1+ ⃗T2
Si ha T1 = T2. Essendo un quadrato la sua diagonale è P = √
2 T1 T1 = 50N/√
2 = 35, 5 N
4. Una lampada è appesa al so tto da due funi che formano angolo di 1200. Il peso della lampada è 100 N.Calcolare la forza tensione nelle funi (il loro modulo è uguale T1 = T2. La lampada si trova in equilibrio)
Soluzioni: Si procede come nel esercizio precedente, solo che il parallelogramma è un rombo con angoli 1200 e 600. La diagonale che taglia a metà angolo 1200, forma con i lati un triangolo equilatero. Si ha che questa diagonale, che rappresenta la tensione totale, è uguale ai lati. Risultato: La forza totale è
P = T = T1 = T2 T1 = 100N
5. Una lampada di peso P è appesa al so tto con due cavi (di uguale lunghezza) che formano un angolo α. Quanto sono le tensioni T1 e T2 nei cavi?
Soluzioni: Questo esercizio serve per dimostrare l'utilità dell'uso della scomposi- zione del vettore nel sistema cartesiano. Prendiamo che il peso si trova sull'asse ye l'asse x è parallela al so tto. Le condizioni d'equilibrio per traslazione lungo questi assi sono
T⃗1,x+ ⃗T2,x = 0 T⃗1,y+ ⃗T2,y+ ⃗P = 0
scritto in componenti si ha
T1,x− T2,x = 0
−T1,y− T2,y+ P = 0
T1,x = T1sin α/2 T1,y = T1cos α/2
si ottiene
T1,x= T2,x T1,y+ T2,y = P
T2,y = T1cos α/2 T2,y = T1cos α/2 T1,y = T2,y
nalmente abbiamo
T1 = P 2 cos α/2 T1,y = P
2 T1,x = P
2 tan α/2
Usando questo risultato generale si riproducono risultati dei due esercizi prece- denti
T1 = P
2 cos 450 = P
√2 T1 = P
2 cos 600 = P
6. Un asta di peso trascurabile, lunga 90 cm ha il fulcro in O. All'estremo A agisce la forza di FA = 76 Nortogonale all'asta, mentre nell'estremo B la forza FB che forma angolo di 450 con l'asta. Sapendo che OB = OA + 30 cm trovare la forza FB e la forza vincolare totale Fv,tot nel O.
Soluzioni:
0 = Ma− Mb
0 = OA· Fa− OB · Fb,⊥
Fb,⊥ = 76 N· 30 cm
60 cm = 38 N Fb =√
2· Fb,⊥= 53, 6 N
Ci sono due componenti della forza vincolare, una parallela Fv,|| ed altra orto- gonale Fv,⊥ all'asta
Fv,⊥= Fb,⊥ = 53, 6N
Fv,|| = Fa+ Fb,||= 76 N + 38 N = 114 N
che formano la forza vincolare totale ⃗Fv,tot = ⃗Fv,⊥+ ⃗Fv,||. Il modulo di questa forza è
Fv,tot =
√
Fv,2⊥+ Fv,2||=√
2872, 9 N + 12996 N = 125, 97 N
7. Il piatto della bilancia della signora Maria pesa FP = 3 N ed è appeso a 4 cm dal gancio. L'asta è lunga d = 60 cm e lo zero della scala si trova a 5 cm dal gancio (fulcro). Trascurando il peso dell'asta calcolare:
• quanto pesa il peso scorrevole FS?
• quale è la portata massima della bilancia Qmax?
• A che distanza lS dal fulcro si deve portare il peso scorrevole per poter misurare 8 N di merce sul piatto?
8. Due pesi FA e FB sono appesi agli estremi di un bastone lungo l = 28 cm. Il sistema si trova in equilibrio quando il peso A si trova a lA = 8 cm dal fulcro.
Il dinamometro agganciato nel fulcro misura FD = 56 N. Quanto valgono i pesi FA e FB ? (trascurare il peso del bastone)
Soluzioni: Il dinamometro misura la forza vincolare Fd= Fa+ Fb
Fa= 56 N− Fb
Ma= Mb 8 cm· Fa= 20 cm· Fb
8 cm· (56 N − Fb) = 20 cm· Fb
448 N = 28 Fb Fb = 16 N Fa= 40 N
9. Una scala di peso P = 10 N, lunga l = 6 m è appoggiata con un estremo B alla parete verticale senza attrito. L'altro estremo A appoggia sul pavimento a distanza s = 3 m dalla parete. Quanto sono le forze vincolari nei due estremi della scala?
Soluzioni: Essendo la scala in equilibrio si può scegliere a piacere il punto vin- colare (centro di rotazione) e imporre condizione di equilibrio per rotazione attorno a quel punto. Prendiamo come fulcro punto A = O dove la scala tocca il pavimento. Si ha
M⃗P + ⃗MB = 0 P⊥· l/2 = F⊥,B · l
P⊥= P · s l F⊥,B = FB· h
l FB = P · s
2√ l2− s2
La condizione di equilibrio per traslazione riguarda due assi: uno parallelo al pavimento x e l'altro perpendicolare y. Si ha
x→ F||,A = FB
y → F⊥,A = P FA,tot =
√
FB2 + P2
10. Se una persona di peso P1 = 40 N sale sulla scala dell'esercizio precedente, no a che posizione x sulla scala riesce arrivare prima che la scala cominci scivolare, se il coe ciente d'attrito è µ = 0, 3, ignorando il peso della scala?
Soluzioni: Come nel precedente esercizio con un momento di forza aggiuntivo dovuto al peso della persona che sale M1 = P1,⊥· x. Si trovano le forza vincolari
FB ≡ F||,A = (P · l/2 + P1· x)
l · s
2√ l2− s2 F⊥,A = P1+ P
La forza di attrito è causata dalla forza con cui la scala preme sul pavimento P + P1 , la quale bilancia la forza che provoca scivolamento. Si ha
F||,A = µ (P1+ P ) µ (P1+ P ) = (P · l/2 + P1· x)
l · s
√l2− s2
Nel caso in cui si ignora il peso della scala si ha
x = µ l√ l2− s2
s
11. Un asta di peso P = 10 N è ssata ortogonalmente al muro con un cardine.
Sull'altro estremo è appeso un oggetto di peso P = 60 N. L'estremo dove si trova il peso è ssato al muro con una corda facendo angolo α = 300 con l'asta.
Calcolare
• la tensione T nel lo
• forza vincolare totale prodotta dal cardine
12. Ripetere l'esercizio precedente quando l'asta ed il lo sono ortogonali tra di loro e tutti due formano angolo α = 450 con il muro.
13. Due masse, una appesa m2 = 0, 3 kg e l'altra appoggiata m1 = 1 kg, si trovano su un piano inclinato di lunghezza l = 1 m. Trovare l'altezza del piano h =?
che garantisce l'equilibrio del sistema.
14. Una piastra metallica è vincolata in O. Alla piastra sono applicate due forze di F1 = F2 = 50 N a 450 ciascuna e alle distanze AB = 45 cm, AO = 15 cm.
Quanto è il momento della forza totale? Quale forza Fc bisogna applicare nel punto C a metà tra O e B per mettere la piastra in equilibrio?
Soluzioni:
AO = 15 cm AB = 45 cm OB = 30 cm
OC = OB : 2 = 30 : 2 = 15 cm Fa⊥ = Fb,⊥= Fa/√
2 = 35, 5 N
condizione di equilibrio per rotazione da
0 = OC· Fc+ OA· Fa,⊥− OB · Fb,⊥
Fc= −15 cm · 35, 5 N + 30 cm · 35, 5 N
15 cm = 35, 5 N
15. All'estremità A, B di un' asta lunga 60 cm sono appesi due pesi di P1 = 30 N e P2 = 20 N. Dove bisogna appendere un blocco di P3 = 20 N in modo che l' asta sia in equilibrio? L'asta è vincolata nel baricentro.
Soluzioni: Si posiziona il peso P3 a sinistra del fulcro. La condizione di equilibrio per rotazione da
0 = Ma+ Mc− Mb
0 = OA· P1+ OC· P3− OB · P2
OC = OB· P2− OA · P1
P3
OC = 600 N cm− 900 N cm
20 N =−15 cm
Si vede che la scelta di posizione di P3 è sbagliata. Bisogna spostarlo a destra del fulcro, a distanza di 15 cm.
16. Una trave di peso PT = 40 N e lunga L = 5 m è vincolata su due estremi da due supporti. Una forza F = 300 N agisce a distanza x = 1 m dall'estremo sinistro.
Quanto sono le forze vincolari nei due stremi?
• senza considerare il peso della trave
• con il peso della trave
Soluzione: Le forze vincolari li chiamiamo F1, F2. Essendo il sistema in equilibrio applichiamo le condizioni di equilibrio. Per la rotazione si può scegliere qualsiasi punto come centro di rotazione. Prendiamo che sia punto dove agisce la forza F1. Senza il peso della trave si ha
F = F1+ F2 x· F = L · F2
F2 = x
LF = 60 N F1 = F − F2 = L− x
L F = 240 N con il peso della trave
F = F1+ F2− PT
L· F2 = x· F + L 2PT F2 = x
LF + 1
2PT = 80 N F1 = F − F2+ PT = L− x
L F + 1
2PT = 260 N
Si noti che la scelta del centro di rotazione nel punto di applicazione della forza F1 elimina questa forza dalla condizione di equilibrio per rotazione e rende calcolo più semplice. Si vede anche che, quando la forza F è applicata al centro della trave, le forze vincolari sono uguali alla metà della forza applicata.
17. Un asta di peso P = 5 N e lunghezza l = 3 m è appoggiata agli estremi su due bilance. Un peso di 60 N si trova a distanza d = 2, 5 m dall'estremità sinistra.
Si trovino
• le forze lette dalle bilance senza considerare il peso dell'asta
• le forze lette dalle bilance considerando il peso dell'asta
18. Si hanno due carrucole, una mobile e una ssa (paranco). La carrucola mobile pesa P1 = 5 Ne su di essa è appeso un carico P = 95 N. Con quale forza bisogna tirare la fune per tenere sistema in equilibrio?
4 Moti di traslazione
4.1 Moto uniforme
1. Un'automobile percorre due percorsi uguali di 75 km in due tempi diversi t1 = 1 h, t2 = 2 h. Dimostra che la velocità media di tutto il percorso non è la media delle velocità medie dei singoli percorsi.
Soluzioni: Le velocità medie dei singoli percorsi s1, s2 sono
¯
v1 = ∆s1
∆t1
= 75 km
1 h = 75 km/h
¯
v2 = ∆s2
∆t2 = 75 km
2 h = 37, 5 km/h
La velocità media di tutto il percorso e la media delle medie sono
¯
v ≡ ∆stot
∆ttot = ∆s1+ ∆s2
∆t1+ ∆t2 = 150 km
3 h = 50 km/h
¯
v′ = ¯v1+ ¯v2
2 = (75 + 37, 5) km
2 h = 56, 25 km/h
¯ v ̸= ¯v′
La velocità media di percorsi misti si calcola con la formula ¯v ≡ ∆s∆ttottot e non come la media delle velocità media di singoli percorsi.
2. Una barca attraversa il ume partendo in direzione perpendicolare alla sponda con la velocità vB = 3 m/sec. La corrente del ume ha la direzione parallela alla sponda ed è vc = 4 m/sec. Il ume è largo d = 300 m. Se la barca arriva all'altra sponda a distanza l = 400 m (lungo la sponda) dal punto di partenza, quanto tempo impiega per attraversare il ume e quanta distanza percorre?
Soluzioni: La velocità totale della barca è la somma vettoriale della velocità della barca e della velocità della corrente ⃗vtot = ⃗vB+ ⃗vc. Lo stesso dicasi per la distanza percorsa ⃗s = ⃗d + ⃗l. Si ha
vtot =
√
v2B+ v2c = 5 m/sec s =√
d2+ l2 = 500 m t = s
vtot = 500
5 = 100 sec
Figura 7:
Si noti che il tempo si può ottenere considerando solo il moto della barca che percorre la distanza d
t = d
vB = 300
3 = 100 sec
oppure solo movimento della corrente che percorre la distanza l t = l
vc = 400
4 = 100 sec
La spiegazione di questo fato si trova nel capitolo dei moti composti.
3. Due ragazzi A e B partono dagli estremi di un corridoio lungo l = 27 m con le velocità vA= 4 m/sec e vB= 5 m/sec.
• Disegnare il gra co (s,t) e (v,t).
• Veri care che lo spazio percorso sia uguale all'area sotto il gra co (v,t) (scegliere tF = 2 sec)
• trovare il tempo di incontro e il punto di incontro
• a che distanza si trovano dopo tF = 1 sec (posizionare l'origine delle coor- dinate nel punto A)
Soluzioni:
Scegliamo l'origine del sistema di riferimento (coordinate) nel punto A. Le traiettorie dei moti sono
sAF = 4 m/sec· tF
sBF = 27 m− 5 m/sec · tF
La condizione di incontro sAF = sBF porta all'equazione 27 m− 5 m/sec · tF = 4 m/sec· tF
27 m = 9 m/sec· tF
tF = 3 sec
sF = 4 m/sec· 3 sec = 12 m
il punto d'incontro ha le coordinate (3 sec, 12 m) rispetto all'origine. Dopo 1 sec le posizioni sono
sAF = 4 m/sec· 1 sec = 4 m
sBF = 27 m− 5 m/sec · 1 sec = 22 m
∆s = 22 m− 4 m = 18 m
4. Un automobile A parte con la velocità v = 40 km/h da Trieste per Vene- zia. Un'altra auto B parte dopo 1 h nella stessa direzione con la velocità v = 60 km/h.Trovare
• A che punto e dopo quanto tempo si incontrano?
• dopo quanto tempo sono a distanza di 20 km tra di loro?
Disegnare il gra co delle due traiettorie.
Soluzioni:
Scegliamo l'origine del sistema di riferimento (coordinate) nel punto A = T rieste.
Le traiettorie dei due moti sono
sAF = 40 km/h· tF
sBF = 60 km/h· (tF − 1 h)
Figura 8:
si incontrano quando
sAF = sBF
40 km/h· tF = 60 km/h· (tF − 1 h) tF = 3 h
sAF(3 h) = sBF(3 h) = 120 km
Per trovarsi a distanza di 20 km/h tra di loro devono soddisfare la condizione 20 km = sAF − sBF
20 km = 40 km/h· tF − 60 km/h · (tF − 1 h) tF,1 = 2 h
sAF(2 h) = 40 km/h· 2 h = 80 km sBF(2 h) = 60 km
B ancora insegue A oppure
20 km = sBF − sAF
20 km = −40 km/h · tF + 60 km/h· (tF − 1 h) tF,2 = 4 h
sAF(4 h) = 40 km/h· 4 h = 160 km sBF(4 h) = 180 km
B ha sorpassato A .
5. Analizzare il gra co del moto uniforme. Trovare:
Figura 9:
a velocità di ogni percorso e scrivere le traiettorie b velocità media di tutto il percorso
Soluzioni: Le velocità di ogni percorso sono vI = sF − sI
tF − tI
= 5− 0
1, 5− 0km/h = 3, 3 km/h vII = 15− 0
3− 1, 5km/h = 0 km/h vIII = 0− 5
5− 3km/h =−2, 5 km/h le traiettorie e la velocità media totale sono
sI = 3, 3 km/h tF sII = 5 km → sta fermo
sIII = 5 km− 2, 5 km/h (tF − 3 h)
¯
vtot = 10 km
5 h = 2 km/h
6. Analizzare il gra co dei due moto uniformi e
Figura 10:
a scrivere le traiettorie
b trovare le coordinate del punto d'incontro
Soluzioni: Prima troviamo le velocità dei due moti vI = sF − sI
tF − tI
= 20− 0
20− 0m/sec = 1 m/sec vII = 0− 20
10− 0m/sec =−2 m/sec
e le traiettorie sono
sI = 1 m/sec tF
sII = 20 m− 2 m/sec tF
il tempo ed il punto d'incontro sono sI = sII
1 m/sec tF = 20 m− 2 m/sec tF
t = 6, 7 sec
s = 1 m/sec· 6, 7 sec = 6, 7 m
7. Due ragazzi A (Alberto) e B (Bono) percorrono una strada. Il gra co dei loro moti e rappresentato in gura.
Figura 11:
a scrivere le traiettorie dei due moti
b trovare il tempo quando sono a distanza 10 m tra di loro
8.
9. Un automobile A parte con la velocità v = 60 km/h da Trieste per Vene- zia. Un'altra auto B parte dopo 2 h nella stessa direzione con la velocità v = 80 km/h.Trovare
• A che punto e dopo quanto tempo si incontrano?
• dopo quanto tempo sono a distanza di 20 km tra di loro?
10. Due volpi distanti AB = 20 m tra di loro, vedono un coniglio a metà strada e cominciano correre verso di lui con le velocità vA = 10 m/sece vB = 20 m/sec. Il coniglio, furbo, comincia correre verso sinistra dove si trova la volpe A e aggiusta la sua velocità vC in modo che le due volpi arrivano assieme da lui. Non potendosi fermare in temo le volpi si scontrano e il coniglio si salva. Determinare la velocità del coniglio che la fa salvare. Origine del sistema di coordinate posizionare in A.
Soluzioni: Scriviamo le traiettorie delle volpi e del coniglio sAF = 10 m/sec tF → prima volpe
sBF = 20 m− 20 m/sec tF → seconda volpe sCF = 10 m− vCm/sec tF → coniglio troviamo dove si incontrano le due volpi
sAF = sBF
10 m/sec tF = 20 m− 20 m/sec tF
tF = 2 3sec sF,inc.= 20
3 m
la velocità del coniglio si trova imponendo che, anche lui, si trovi nel punto d'incontro delle due volpi.
sCF = 20
3 m = 10 m− vCm/sec· 2 3sec vC = 5 m/sec
In generale vale vC = (vB+vsBA) sCI
I − vA con l'origine del sistema di coordinate nel punto A.
11. Durante una gara di cani da corsa la preda si trova a distanza sp = 10 mdavanti al primo cane. La preda si muove con la velocità vp = 9 m/sec. La pista è lunga s = 100 m. Quanto deve essere la velocità del primo cane per raggiungere la preda proprio nel punto d'arrivo?
Soluzioni: Le traiettorie sono
sF,C = vc· tF
sF,p = sp+ vp· tF
si incontrano quando sp = sc
sp+ vp· tF = vc· tF
tF = sp vc− vp
inserendo nella traiettoria del cane si ha la distanza percorsa dal cane in questo tempo
sc= vc· sp vc− vp
se si vuole che sc= stot si trova la velocità del cane essere vc= stot
vc− vp
vp = 10 m/sec
4.2 Moto uniformemente accelerato
1. La traiettoria del moto uniformemente accelerato è sF = sI + vI(tF − tI) + a/2(tF − tI)2 e la velocità istantaneavF = vI+ a(tF − tI). Eliminando il tempo si riesce ricavare la formula che collega direttamente la velocità con la distanza percorsa vF2 − vI2 = 2 a(sF − sI). Prova ottenere questa formula.
Soluzioni: Si ricava il tempo dalla formula della velocità e si inserisce nella traiettoria come segue
tF − tI = vF − vI
a sF − sI = vIvF − vI
a + a
2
(vF − vI
a )2
sF − sI = vF − vI
2 a (2 vI+ vF − vI) = vF2 − vI2 2 a vF2 − vI2 = 2 a (sF − sI)
2. Un'automobile A insegue un'automobile B . Il gra co rappresenta le velocità delle due vetture.
• scrivere le traiettorie sAF, sBF?
• dopo quanto tempo A raggiunge B e in che punto?
• a che distanza si trovano dopo t = 20 sec?
