MATEMATICA MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA e

MATEMATICA FINANZIARIA

a.a. 2017-18

Corso di laurea in Economia Aziendale

Fascicolo n.5 Serie numeriche

• Serie numerica

• Serie geometrica

Prof.ssa Carla Fiori Prof. Carlo Alberto Magni

Università di Modena e Reggio Emilia

SERIE

Serie numerica

Una serie numerica è una somma di infiniti numeri reali

+ + ⋯ + + ⋯

, ∈ ℕ^∗

si chiama “termine generale della serie”

Data una serie numerica, non sempre è possibile trovare la somma dei suoi infiniti termini e, quando è possibile, il risultato che si ottiene non è necessariamente infinito ma può essere un numero reale (ossia finito).

Se della serie ∑ sommo solo i primi n termini, ottengo sicuramente un numero reale

= + + ⋯ +

La quantità prende il nome di “ridotta” o “somma parziale” n-sima della serie. Un modo compatto per indicarla è

=

Per trovare la somma di tutti gli infiniti termini della serie, si può allora calcolare questa somma quando → +∞ ossia si calcola il _nlim_{→+∞ .}

Il limite può esistere ed essere un numero finito, può esistere ed essere infinito, può non esistere.

La serie è convergente se

+∞

→

nlim ₌

+∞

→

nlim _{+ + + ⋯ + = ∈ ℝ}

divergente se

+∞

→

nlim ₌

+∞

→

nlim _{+ + + ⋯ + = ±∞}

indeterminata se

+∞

→

nlim ₌

+∞

→

nlim _{+ + + ⋯ +} non esiste

Questo limite si chiama “somma della serie” e si indica col simbolo ∑ .

Serie Geometrica

Una serie numerica particolarmente importante per le applicazioni economiche è quella denominata serie geometrica.

Serie geometrica di ragione è la serie

, ∈ ℕ^∗

Calcoliamo la somma parziale quando si parte da n=1, risulta:

= + + + ⋯ + = + + + ⋯ +

= 1 ⇒ = ≠ 1 ⇒ = −

1 −

Infatti

• Se q=1 risulta = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⟹ = .

• Se q≠1 si ha = + + + ∙∙∙∙ + , = + + ∙∙∙∙ + e sottraendo membro a membro queste due uguaglianze si ottiene

− = 1 − = − ⟹ = &'&^()*

'& .

Quanto dimostrato, assicura che data la serie geometrica ∑ risulta

• | | < 1 ha somma _n sⁿ

+∞

lim→ _{= ∙ '&}^& ⟹ serie convergente con somma

- = ∙ ^&_'&

• > 1 ha somma _n sⁿ

+∞

lim→ = +∞ = /+∞ se > 0−∞ se < 0 ⟹ serie divergente

• ≤ −1 ⟹ _n sⁿ

+∞

lim→ non esiste

• = 1 ha somma _n sⁿ

+∞

lim→ = /+∞ se > 0−∞ se < 0 ⟹ serie divergente

NOTA – Se nella serie geometrica la somma parte da 4 = 5 ossia si considera ∈ ℕ

6

si ha = 1 + + + + ⋯ + e se ≠ 1 si ottiene = ^'&_'&^()*

Quando si passa al limite della somma parziale n-sima, il carattere della serie non cambia ma nel caso di serie convergente, ossia quando | | < 1, cambia la somma - perché si è aggiunto l’addendo ⁶ = .

Pertanto quando si parte da n=0, risulta

• = ^'&_'&^()* , lim _→ = ∙ _'&

• per | | < 1 la somma della serie è S = ∙ _'&

Esercizio 1.

Si calcoli la somma parziale venticinquesima della serie geometrica di termine generale

= − 1

40 2 , ∈ ℕ^∗ Soluzione .

< = − 1

40 2 − 1

40 2 − 1

40 2 − ⋯ − 1

40 2 ^< = − 1

40 ∙2 − 2 ⁼

−1 = −3 355 443.15

Esercizio 2.

Si calcoli la somma S della serie geometrica di termine generale = 0.6 , ∈ ℕ^∗ . Soluzione. La serie converge perché |0.6| < 1 e poiché n parte da 1, risulta

- = lim_⟶ = lim_⟶ 0.6 − 0.6

1 − 0.6 = 1.5

Esercizio 3.

Si calcoli la somma S della serie geometrica di termine generale = 0.6 , ∈ ℕ Soluzione. Poiché n parte da 0, risulta

- = lim_⟶ = lim_⟶ 1 − 0.6

1 − 0.6 = 1

1 − 0.6 = 2.5

Nota - Per non ricordare troppe formule, basta ricordare la formula della somma S quando si parte da n=1 e aggiungere il termine ₆ = 0.6 ⁶; infatti 1.5 + 1 = 2.5.

Esercizio 4.

Determinare per quali valori di x la serie geometrica ∑ 0.5 B − 2 è convergente e per tali valori trovare la somma S.

Soluzione. La serie converge quando |B − 2| < 1 ; −1 < B − 2 < 1, e pertanto converge per 1 < B < 3 . Per tali valori la somma della serie è

- = lim_⟶ = lim_⟶ 0.5 B − 2 − B − 2

1 − B − 2 = 0.5 B − 2

1 − B − 2 = B − 2 6 − 2B .

Esercizio 5.

Determinare per quali valori di x la serie geometrica ∑ ₆7 B + 3 è convergente e per tali valori trovare la somma S.

Soluzione. La serie converge quando E B + 3E < 1 ; −1 < B + 3 < 1, e pertanto

converge per −8 < B < −4 . Per tali valori, tenendo presente che la serie parte da = 0, la somma della serie è

- = lim_⟶ = lim_⟶ 71 − 12B + 3

1 − 12B + 3 = 7 1

1 − 12B + 3 = −14 B + 4 .

Esercizio 6.

Si calcoli la somma parziale dodicesima della serie geometrica di termine generale

=1

2 3 , ∈ ℕ^∗ Soluzione .

=1

2 3 +1 2 3 1

2 3 + ⋯ +1

2 3 =1

2 ∙3 − 3 1 − 3

Esercizio 7.

Si calcoli la somma parziale dodicesima della serie geometrica di termine generale

=1

2 3 , ∈ ℕ Soluzione .

= 1

2 3 ⁶+ 1

2 3 +1 2 3 1

2 3 + ⋯ +1

2 3 = 1

2 ∙1 − 3 1 − 3