MECCANICA RAZIONALE Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Anno Accademico 2015-2016
A. Ponno
(aggiornato al 19 gennaio 2016)
Ottobre 2015
5/10/15 Benvenuto, presentazione del corso e dei suoi contenuti. Descrizione del materiale didatti- co e delle modalit`a di esame. Concetti di base: punto materiale, massa, carica. Posizione, velocit`a e accelerazione di un punto materiale che si muove nello spazio.
6/10/15 Esempi di moti: moto rettilineo uniforme; moto uniformemente accelerato; moto elicoi- dale. Principi della dinamica del punto materiale. Primo principio (principio di inerzia).
Classe dei sistemi inerziali. Secondo principio (legge di Newton). Esempio: punto sog- getto a forza assegnata come funzione del tempo. Coppie isolate di punti materiali: terzo principio (principio di azione e reazione). Interazioni fondamentali: forza di gravit`a e forza elettrostatica.
7/10/15 Principio di sovrapposizione delle forze. Principio di determinismo newtoniano. Principio di relativit`a galileiana e sue conseguenze sulla struttura delle forze per sistemi di punti isolati. Esempi di dinamica del punto: punto isolato; caduta dei gravi; particella carica in un campo elettrico uniforme e costante; punto attaccato all’origine tramite una molla ideale (discussione sul modello di molla reale). Soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico 1D.
12/10/15 Moto armonico 3D, soluzione e propriet`a generali: conservazione del momento angolare e dell’energia. Inizio dello studio del problema dei due corpi: moto del baricentro e moto relativo.
13/10/15 Problema dei due corpi: studio del moto relativo. Conservazione del momento angolare, planarit`a del moto e introduzione delle coordinate polari. Conservazione dell’energia del moto radiale ed energia potenziale efficace. Determinazione degli intervalli consentiti del moto radiale. Problema gravitazionale: orbite possibili.
14/10/15 Studio degli intervalli consentiti per il moto radiale nel caso dell’oscillatore armonico 3D.
Leggi di conservazione generali per il problema dei due corpi: conservazione del momento angolare e dell’energia totale. Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante.
19/10/15 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie (EDO). Definizioni generali. EDO del primo ordine autonome: analisi qualitativa. Stabilit`a degli equilibri. Linearizzazione della EDO attorno a zeri (equilibri) semplici e soluzione della EDO lineare omogenea del primo ordine tramite serie: funzione esponenziale. Metodo di separazione delle variabili:
esempi.
20/10/15 Ancora esempi di separazione di variabili. Perdita di unicit`a della soluzione. EDO del secondo ordine conservative: analisi qualitativa e diagramma di fase. Esempi.
21/10/15 EDO lineari a coefficienti costanti. Propriet`a generali. Soluzione generale dell’omogenea nel caso di radici distinte. Esempio: caduta dei gravi con attrito.
26/10/15 Pendolo: equazione di Newton, reazione vincolare e diagramma di fase. Oscillatore ar- monico forzato e smorzato: soluzione generale dell’omogenea e soluzione particolare con forzante armonica.
27/10/15 Oscillatore forzato e smorzato: ampiezza e ritardo di fase della risposta; frequenza di risonanza; risposta nel caso di forzante somma arbitraria di armoniche. Oscillatore forzato non smorzato (inizio).
28/10/15 Oscillatore forzato non smorzato: battimenti e risonanza esatta. Analisi dei battimenti in presenza di attrito (lasciato per esercizio). Piccoli spostamenti dei sistemi di punti attorno all’equilibrio. Linearizzazione delle equazioni di Newton attorno ad una fissata configurazione di equilibrio.
Novembre 2015
02/11/15 Ipotesi sulle matrici jacobiane coinvolte e modello semplificato di piccole oscillazioni attorno a configurazioni di equilibrio. Metodo di decomposizione in modi normali di oscillazione.
03/11/15 Esercizi sulle piccole oscillazioni di sistemi di punti.
04/11/15 Esercizi sulle piccole oscillazioni di sistemi di punti. Dimostrazione del teorema spettrale per la matrice delle piccole oscillazioni.
09/11/15 Introduzione ai vincoli. Meccanica del punto materiale vincolato su una superficie o su una curva. Problema delle reazioni incognite. Vincoli ideali. Statica del punto vincolato.
Attrito statico: legge di Coulomb-Morin. Esempio: punto materiale vincolato a muoversi sul piano o su un asse soggetto a forza elastica e a forza peso; esistenza di continui di equilibri compatibili col vincolo.
10/11/15 Proposizione sull’apertura dei continui di equilibri attorno a posizioni di equilibrio ideale in presenza di attrito statico (nel caso di punto su curva piana). Legge dell’attrito di- namico. Esempio: punto in discesa su piano inclinato e condizione di arresto. Calcolo delle reazioni in punti di fissaggio e in punti mobili di ancoraggio. Esempi: dinamometro sospeso a punto fissato o a punto mobile di moto assegnato.
11/11/15 Cenni alle reazioni di appoggio. Esercizi sulle reazioni vincolari e sull’attrito statico:
punto su piano inclinato; punto su asse attaccato a due molle; punto vincolato su curva piana sotto l’azione di forza costante o di forza peso.
16/11/15 Equazioni cardinali della dinamica. Derivazione della prima e della seconda equazione cardinale.
17/11/15 Esercizio su sistema di punti soggetto a gravit`a: soluzione esplicita delle due equazioni cardinali. Discussione del problema dei due corpi e dei sistemi isolati (non soggetti a forze esterne). Discussione sull’utilit`a delle equazioni cardinali. Equazioni cardinali della statica. Asta e filo ideali. Esercizio: forza applicata alla giunzione di due aste ideali.
23/11/15 Esercizio sulle due aste con metodo alternativo. Sistemi di forze applicate: risultante e momento risultante. Formula di trasposizione del momento risultante. Coppia. Equi- valenza dei sistemi di forze applicate. Riduzione di un sistema qualsiasi a risultante nel polo pi´u coppia. Sistemi di forze applicate parallele: centro del sistema ed equivalenza a risultante nel centro (nel caso di risultante non nullo). Esempio: sistema di forze peso.
24/11/15 Esercizi. Dinamometro doppio. Scala appoggiata al muro e angolo minimo di inclinazione.
Sfera appoggiata al gradino sottoposta a spinta; inizio.
25/11/15 Fine dell’esercizio sulla sfera. Solidi in appoggio ideale: Poligono di appoggio; centro di pressione; carichi e reazioni. Teorema sul centro di pressione.
30/11/15 Esercizi di statica. Trave (asta) appoggiata soggetta a carico: reazioni di appoggio e condizioni sul carico per la perdita di equilibrio; analisi sul centro di pressione. Gru (schematica): reazioni di appoggio; intervallo di variabilit`a del carico e condizione sul rapporto di carico per l’utilizzo dell’intero avambraccio; analisi del centro di pressione.
Dicembre 2015
01/12/15 Teorema dell’energia cinetica. Lavoro. Forze conservative. Legge di conservazione dell’energia totale. Caso generale. Esempi.
02/12/15 Esercizi. Conservazione dell’energia per due punti collegati da una molla e per il dinamo- metro doppio. Legge generale di conservazione dell’energia per un sistema di due punti e tre molle soggetto a una forza esterna e con una condizione al bordo “mobile”.
09/12/15 Definizione di stabilit`a (secondo Lyapunov) degli equilibri di sistemi newtoniani. Esempio:
oscillatore armonico. Sistemi newtoniani conservativi. Teorema di Lagrange-Dirichlet (dimostrazione nel caso di minimo non degenere).
14/12/15 Caratterizzazione dei vincoli ideali nel caso generale; principio di d’Alambert. Statica:
principio dei lavori virtuali. Esercizio: calcolo delle reazioni di appoggio della trave con carico.
15/12/15 Esercizio: determinazione della legge di Archimede e studio completo della leva tramite principio dei lavori virtuali. Esercizio: punto vincolato a muoversi su una superficie di assegnata equazione cartesiana, soggetto al proprio peso: calcolo delle reazioni; equazioni del moto; equilibri e loro stabilit`a; piccole oscillazioni attorno ai minimi locali.
16/12/15 Sistemi di punti materiali soggetti a vincoli ideali, olonomi, bilateri. Coordinate libere;
superficie vincolare nello spazio delle configurazioni; spostamenti virtuali. Deduzione delle equazioni di Lagrange a partire dal principio di d’Alambert. Caso generale e caso conservativo.
Gennaio 2016
11/01/16 Ripasso sulla deduzione delle equazioni di Lagrange per sistemi soggetti a vincoloi olonomi bilateri ideali. Calcolo dell’energia cinetica. Dimostrazione delle identit`a tecniche usate nella derivazione. Costanti del moto. Coordinate ignorabili e conservazione del momento associato. Conservazione dell’energia generalizzata nel caso di lagrangiana indipendente dal tempo.
12/01/16 Esercizi di meccanica lagrangiana. Punto materiale pesante vincolato su paraboloide di rotazione: lagrangiana, costanti del moto, riduzione e analisi qualitativa. Punto pesante vincolato su superficie sferica connesso all’asse verticale da una molla: lagrangiana e costanti del moto.
13/01/16 Esercizi di meccanica lagrangiana. Punto vincolato su asse diametrale di una pedana rotante e connesso al centro da una molla: lagrangiana, equazione di Lagrange e sua soluzione. Punto pesante vincolato su anello rotante attorno all’asse diametrale verticale:
lagrangiana, conservazione dell’energia, equilibri e stabilit`a (linearizzazione e Lagrange- Dirichlet).
18/01/16 Esercizi su piccole oscillazioni e stabilit`a.
19/01/16 Esercizi su piccole oscillazioni e stabilit`a.
