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ic2006/2007Teiae

FACOLTÁ DI SCIENZE M.F.N

Anno accademico2006/2007

Tesina per la laurea triennale in Matematica

di Nadia Ricchetti

Frazioni continue e sezione aurea

relatore: Prof. Giorgio Ottaviani

Nellavorosvoltoabbiamoriportatolenozioni dibasedellefrazionicontinue

alnedioccuparcidell'approssimazionedeinumeriirrazionali. Inparticolare

abbiamo messo in luce che l'irrazionale peggio approssimabile è il numero

aureo, ma che trova la sua migliore approssimazione proprio mediante lo

sviluppoinfrazionecontinua,graziealrisultatodiHurwitzdelqualesitrova

unadimostrazione nella quarta sezione.

1 Sviluppo in frazione continua di un numero reale

Sia

α ∈ R

^. Determiniamounalgoritmopersviluppare

α

^{infrazionecontinua.}

Ponendo

α = a ⁰ ₁

^{, deniamo}

a 1 = bαc

^{, laparte interadi}

α

^{. Perciò siha che}

α = a 1 + r 1 .

Se

r 1 6= 0

^{, allorail resto}

r 1

^{è compresofra 0 e 1 (esclusi), cioè sarà deltipo}

r 1 = _a ¹ ₀

2

, con

a ⁰ ₂ > 1

^{; quindi, denendo}

a 2 = ba ⁰ 2 c

^{, possiamo scrivere}

a ⁰ ₂ = a 2 + r 2 .

Ingeneralese

r _i−1 6= 0

^,allora

r _i = _a ¹ ₀

i

,con

a ⁰ _i > 1

^{;ponendodunque}

a _i = ba ⁰ i c

^,

per

r i = a ⁰ _i − a ⁱ 6= 0

^prenderemo

a ⁰ _i+1 = _{a 0} ¹

i −a i

, in mododa scrivere

a ⁰ _i

^nella

forma

a ⁰ _i = a i + 1 a ⁰ _i+1 .

Quindilosviluppodi

α

^{in frazione continua sarà:}

α = a 1 + 1

a 2 + 1 a 3 + 1

.

.

.

che denotiamo anche

α = [a 1 , a 2 , a 3 , . . .] = 

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a _i , a ⁰ _i+1 

,

⁽¹⁾

dove gli

a i

^{sono detti quozienti parziali e}

a ⁰ _i+1 = [a i+1 , a i+2 , a i+3 , . . .]

^è

dettoquoziente completodello sviluppodi

α

^.

Osservazione 1. Per ogni

i > 1

^{si hache}

a i ≥ 1

^e

∀i > 0

^,

a ⁰ _i > a i

^.

Osservazione2. I passipersviluppare

α

^{infrazionecontinuasono glistessi}

diquellidell'algoritmoeuclideo(inparticolare lo sviluppo infrazionecontin-

ua del numero

m

n

^ripercorre esattamente i passi dell'algoritmo euclideo per trovare il MCD(m,n) e i quozienti successivi sono proprio i termini

a i

^della

frazionecontinua).

Infatti,possiamo pensare

α

^come

α = a 1 · 1 + r ¹ , 0 ≤ r ¹ < 1 ,

dove

a 1 = bαc

^{èilquozientedelladivisioneconresto,1èildivisoree}

r 1 = _a ¹ ₀

2

èil resto (

∈ N /

^{). Al secondopasso} dell'algoritmo troviamo

1 = a 2 · r ¹ + r 2 , 0 ≤ r ² < r 1 ,

dove

a 2 = j a ⁰ ₂ k

è il quoziente della divisione con resto,

r 1

^{è il divisore e}

r 2 = _a ¹ ₀

3

è ilresto. E così via 1

.

Osservazione3. Lo sviluppo infrazionecontinuasarà nitonelcasoin cui

α

^{sia razionale, innito se}

α

^è irrazionale.

Per l'Osservazione2,infatti,se

α ∈ Q

^{, alloraprimaopoitroveremo unresto}

pari a zero; invece, nel caso in cui

α ∈ R − Q

^{, non troveremo mai un resto}

che sia zeroe quindil'algoritmo proseguirà indenitamente.

2 Ridotte di una frazione continua e proprietà

Denizione1. Sia

 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a _i , a ⁰ _i+1 

losviluppodi

α ∈ R

^{. Sidenisce}

ridotta o convergentei-sima ad

α

^{la frazione}

c i = p i

q i

= [a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i ] , ∀i ≥ 1.

⁽²⁾

Teorema1. Inumeratori

p _i

^eidenominatori

q _i

^delleridotte

c _i

^{dellafrazione}

continua

 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i , a ⁰ _i+1 

, soddisfano leuguaglianze

p i = a i p _i−1 + p _i−2 , q i = a i q _i−1 + q _i−2 (∀ i ≥ 1),

⁽³⁾

dove abbiamo posto come valori inziali

p ₋₁ = 0 , p 0 = 1 , q ₋₁ = 1 , q 0 = 0 .

Se

p i

^e

q i

^{soddisfanola (3),allora}

∀i ≥ 0

^vale

p i q _i−1 − p i−1 q i = (−1) ⁱ .

⁽⁴⁾

Inoltre numeratori e denominatori di ciascuna convergente sono ridotti ai

minimitermini.

1

Atitolodiesempioeseguiamol'algoritmoperilnumero

Φ

^:

1+ √ 5

2 = 1 · 1 + ^{√ 5−1} 2 , 0 ≤ ^{√ 5−1} 2 < 1

^;

1 = 1 · ^{√ 5−1} 2 + ³⁻ ₂ ^{√ 5} , 0 ≤ ³⁻ 2 ^{√ 5} <

√ 5−1 2

^;

√ 5−1

2 = 1 · ³⁻ 2 ^{√ 5} + `√5 − 2´ , 0 ≤ √

5 − 2 < ³⁻ 2 ^{√ 5}

^{; ...}

Otteniamolosviluppo

Φ = [1, 1, 1, 1, . . .] = [¯ 1]

^.

l'indice della ridotta(2). Supponiamo che latesi siverichi per i primii=n

passiedimostriamo che essa siverica anche per i=n+1.

Osserviamoche

[a 1 , a 2 . . . , a _n−1 , a _n , a _n+1 ] = h

a 1 , a 2 . . . , a _n−1 , 

a _n + _a ¹

n+1

i

,

quindisiha che

c _n+1 = p _n+1 q n+1

=

 a _n + _a ¹

n+1

 p _n−1 + p _n−2

 a _n + _a ¹

n+1

 q _n−1 + q _n−2

= (a _n a _n+1 + 1) p _n−1 + a _n+1 p _n−2 (a n a n+1 + 1) q _n−1 + a n+1 q _n−2 =

= a n+1 (a n p _n−1 + p _n−2 ) + p _n−1

a n+1 (a n q _n−1 + q _n−2 ) + q _n−1 = a n+1 p n + p _n−1 a n+1 q n + q _n−1 .

Sempre per induzione sull'indice i si dimostra la validità della (4); da ciò

consegue che i numeratori e i denominatoridi ogni convergente sono ridotti

aiminimitermini,inquanto gliunicidivisoricomunifra

p i

^e

q i

^sono

±1

^.

Osservazione4. Possiamoscrivere

α

^{anche con laseguente notazione, che}

segue per induzione usando il Teorema 1:

α = a ⁰ _i+1 p _i + p _i−1

a ⁰ _i+1 q i + q _i−1 .

⁽⁵⁾

Corollario1. Sia

p _i

q _i

^{la ridottai-sima di}

α

^{reale. Allora}

∀ i ≥ 1 p i = q i α + δ

q i

, |δ| < 1.

⁽⁶⁾

Dimostrazione. Sia

α ∈ R

^{con sviluppo (1). Allora, per la (4) e la (5),}

abbiamo

α − p i

q _i = (−1) ⁱ⁺¹

q ⁰ _i+1 q _i ,

^con

q _i+1 ⁰ = a ⁰ _i+1 q _i + q _i−1 .

⁽⁷⁾

Poiché

q ⁰ _i+1 > q i+1

^{, facendoalcuni passaggialgebrici, otteniamo}

p i = q i α + (−1) ⁱ

q _i+1 ⁰ = q i α + (−1) ⁱ δ i

q i+1

,

⁽⁸⁾

con

0 < δ i = ^q _q ⁱ⁺¹ ₀

i+1 < 1

^{. Giungiamo alla tesi} moltiplicando e dividendo l'ultimomembro della (8)per

q i

^{e ponendo}

δ = (−1) ⁱ δ i q _i

q i+1

.

Coni risultaticheseguono cominciamoad occuparci della stimadeinumeri

irrazionali usandolosviluppoin frazionicontinue.

Corollario 2. Se

α = 

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a i , a ⁰ _i+1 

e se

p i

q i

è l'i-sima ridotta,

allora

    α − p _i

q _i  

  < 1

a _i+1 q _i ² , ∀i ≥ 1 .

In particolare la successione

p i

q i

converge ad

α

^.

    α − p i

q _i  

  = 1

q i a ⁰ _i+1 q i + q _i−1
<

1

a ⁰ _i+1 q _i ² < 1 a _i+1 q _i ² .

Potremmo chiederci, allora, quale sia il numero irrazionale

α

^{peggio ap-}

prossimabiletramite frazionicontinue.

Teorema 2. Sia

α

irrazionalee siano

p i

q i

e

p _i+1 q i+1

due sueridotteconsecutive.

Allora

∀ i ≥ 2

^{vale la relazione}

1 2 q i+1 2 <

    α − p i

q i

    < 1

q i 2 .

⁽⁹⁾

Dimostrazione. Illato destro della (9)siottiene agevolmente dalCorollario

2,tenendo presente l'Osservazione 1. Per quanto riguarda ilsinistro, per la

(7), abbiamoche

    α − p _i

q i

    = 1

q i q ⁰ _i+1

e,poiché

q i q ⁰ _i+1 < q i (q i+1 + q i ) < q i+1 2

+ q i 2

< 2 q i+1 2

,siottienelatesi.

Maallora,intuitivamente(confrontaanche[5]),ilnumeropeggioapprossima-

bile dai razionali è quello per cui lasuccessione

n α − ^p q ⁱ _i

o

tende a zero più

lentamente, ovvero,graziealla(9),quellopercuilasuccessione

n 1 q _i

o

tendea

zeropiùlentamente,cioè

{q i }

^divergepiùlentamente. Perla(3)ericordando lasuccessioneper ricorrenza di Fibonacci

F 1 = 1 = F 2

F i = F _i−1 + F _i−2 , ∀ i > 2 ,

⁽¹⁰⁾

possiamo aermare che, per ogni i,

q i ≥ F ⁱ

^{. Perciò}

q i −→ ∞

^per

i → ∞

e il numero per cui la successione cresce più lentamente è quello per cui

q i = F i

^{per ognii. Ma questo accade se e solo se}

a i = 1

^{per ognii, ovvero}

se e solo se

α = Φ = [1, 1, 1, 1, . . .]

^{. Poiché ciò che in realtà ci interessa}

è il comportamento asintotico della successione

q _i

^{, possiamo aermare che,}

invece di un solo numero, esiste una classe di numeri irrazionali che sono i

peggiori approssimabili mediante l'algoritmo visto, quella per cui

∀ i > ¯n

^,

con

n ∈ N ¯

^{, siha che}

a _i = 1

^{, cioè tutti quelli che da}

n ¯

^{in poi sicomportano}

come

Φ

^.

Formalizziamole conclusionidelparagrafo precedente.

Denizione 2. Due numeri

α

^e

β

^{sidicono equivalenti (}

α ≡ β

^)se

∃

^a,b,c,d

∈ Z

^{tali che}

α = a β + b

c β + d ,

^con

a d − b c = ±1.

Oppurescriviamo la stessadenizionecon lanotazione matriciale:

 α 1



=

 a b c d



| {z }

A

 β 1



,

^con

detA = ±1 .

⁽¹¹⁾

Vediamo innanzitutto alcuneproprietà.

Proposizione1.

≡

^{è una relazione} d'equivalenza.

Proposizione2. Se

α = 

a 1 , a 2 , . . . , a i , a ⁰ _i+1 

, allora

α ≡ a ⁰ i+1

^.

Proposizione3. Siano

α = 

a 1 , a 2 , . . . , a _i , a ⁰ _i+1 

e

β = h

b 1 , b 2 , . . . , b _j , b ⁰ _j+1 i

,

con

a ⁰ _i+1 = [a i+1 , a i+2 , . . .]

^e

b ⁰ _j+1 = [b j+1 , b j+2 , . . .]

^.

Se

a ⁰ _i+1 = b ⁰ _j+1

^{, allora}

α ≡ β

^.

Dimostrazione. La Proposizione 1 si dimostra facilmente dalla (11). La

Proposizione 2, invece, segue direttamente dalle (4), (5); mentre la 3 segue

immediatamente dalle prime due.

Teorema 3. Sianox un numero reale equivalente a

ζ > 1

^{e P,Q, R, S}

∈ Z

taliche

Q > S > 0

^{e tali che}

 x 1



=

 P R

Q S



| {z }

B

 ζ 1



=

 P ζ + R Q ζ + S



,

^con

det B = ±1.

Allora

R S

^e

P

Q

^{sono due} convergenti consecutive alla frazione continua il cui valore è x. Inoltre, se esse sono rispettivamente l'(i-1)-sima e l'i-sima

convergente, allora

ζ

^è l'(i+1)-simo quoziente completo.

Dimostrazione. Sintetizziamo i passi della dimostrazione (vedi anche [3]).

Possiamo scrivere (vedil'Osservazione3) l'espressione

P

Q = [a 1 , a 2 , . . . , a i ] =

p i

q i

,scegliendo 2

i in modoche

P S − Q R = (−1) ⁱ

^.

2

Épossibileeettuaretalesceltaperunrisultatochenonanalizziamo inquestasede:

`Seyè unrazionale rappresentabiletramitefrazionecontinuaconun numerodisparidi

convergenti,alloraèrappresentabileancheconunnumeropari(eviceversa).'

Perunadimostrazioneconfronta[3 ].

Ma alloravale anche

(P, Q) = 1

^{e, poiché}

Q > 0

^{per ipotesi, si ha immedi-}

atamente che

P = p i

^,

Q = q i

^eche

p _i S − q i R = (−1) ⁱ = p _i q _i−1 − p i−1 q _i ⇔ p _i (S − q i−1 ) = q _i (R − p i−1 ) .

Quindi, poiché

(p i , q i ) = 1

^{, ricaviamo che}

q i

  (S − q i−1 )

^{. Ma allo stesso}

tempo vale anche

|S − q i−1 | < q i

^{; perciò si ha che}

S = q _i−1

^,

R = p _i−1

^e

x = ^p _q ^{i ζ+p i−1}

i ζ+q _i−1

^{proprio comenella (5). Segue latesi.}

Inoltre vale lacaratterizzazione seguente:

Teorema 4. Due numeri

α

^e

β

^sono equivalenti se e solo se

α = [a 1 , a 2 , . . . , a n , g 1 , g 2 , . . .]

^e

β = [b 1 , b 2 , . . . , b m , g 1 , g 2 , . . .]

^,

cioè se i quozienti di

α

^{dopo l'n-simo coincidono con quelli di}

β

^{dopo l'm-}

simo.

Dimostrazione. Se deniamo

ω = [g 1 , g 2 , g 3 , . . .]

^{, proviamo la condizione}

suciente semplicemente utilizzando letreproprietà appena dimostrate.

Viceversa, se

α ≡ β

^{, vale la (11). A meno di sostituire i coecienti con i}

loroopposti,supponiamo

c α + d > 0 .

⁽¹²⁾

Sviluppando

α

^con l'algoritmo di frazionecontinua, otteniamola(5), che in formamatriciale diviene

 α 1



=  p i p _i−1 q _i q _i−1

  a ⁰ _i+1 1

 .

Per le Proposizioni 1 e 2,quindi,

β ≡ a ⁰ i+1

^{, ovvero}

 β 1



=

 a b c d

  p i p _i−1 q _i q _i−1

  a ⁰ _i+1 1



=

 a p i + b q i a p _i−1 + b q _i−1 c p _i + d q _i c p _i−1 + d q _i−1

  a ⁰ _i+1 1



=

 P R

Q S



| {z }

B

 a ⁰ _i+1 1

 ,

con

det B = ±1

^{. Ci resta da provare che se}

β = [b 1 , b 2 , . . . , b k , ζ]

^{, allora}

ζ = a ⁰ _i+1

^{. Per il Corollario 1,abbiamo che}

p i = α q i + δ q i

, p _i−1 = α q _i−1 + δ ⁰

q _i−1 ,

^dove

|δ| < 1 ,   δ ⁰ 

 < 1 .

Dacui:

Q = q _i (c α + d) + c δ q i

e

S = q _i−1 (c α + d) + c δ ⁰

q _i−1 .

Ora, per valori di i sucientemente grandi, sfruttando la (12),

Q > S > 0

^.

Per tali i, quindi

 β 1



=

 P R

Q S

  ζ 1

 .

Dacui, per il Teorema 3 segue che

P Q

^e

R

S

^sono rispettivamente la k-sima e la(k-1)-sima convergente alla frazione continua ilcui valore è

β

^{, mentre}

ζ

^è

ilsuo(k+1)-simo quoziente completo. Segue latesi.

4 Approssimazioni di irrazionali tramite frazioni

continue: il teorema di Hurwitz

Problema: dato

α

irrazionale,qual'è lastimamiglioreperuna suaapprossi- mazionetramitefrazionicontinue? Risponderemodimostrandoilteoremadi

Hurwitzevericando che lastimadatadaquestoteoremaèl'unicaingrado

di approssimareun generico

α

^.

Stimiamo innanzitutto ladierenza

  α − ^p q ⁱ _i

 



^{. Per la(5), si ha}

a ⁰ _i+1 p i + p _i−1

a ⁰ _i+1 q i + q _i−1 − p i

q i

= (−1) ⁱ⁺¹ q _i ² a ⁰ _i+1 + b i+1
,

dove abbiamo utilizzato la(4)e abbiamo posto

b i+1 := q _i−1 q i

.

⁽¹³⁾

(Notiamo che dalla (13), segue

0 < b _i+1 < 1

^{.) Passando almodulo, allora,}

otteniamo

    α − p i

q i

 

  = 1

q i 2 a ⁰ _i+1 + b i+1

.

⁽¹⁴⁾

Deniamo

λ i+1 := a ⁰ _i+1 + b i+1

^{. Ciinteressatrovareil}

λ i

^{miglioreinrelazione}

alla classedi equivalenza di

α

^.

Consideriamo innanzitutto i numeri

ξ =

√ 5 − 1

2 = [0, 1, 1, 1, . . .] = [0, ¯1]

⁽¹⁵⁾

e

θ = 1 + √

2 = [2, 2, 2, . . .] = [¯2] .

⁽¹⁶⁾

Le due Osservazioni seguenti cidanno lapossibilità di formulare un'ipotesi

per lastima che cerchiamo.

Conlanotazione

a n ∼ b ⁿ

intenderemo che

{ ^a b n ⁿ } −→ 1

^.

Osservazione 5.

  α − ^p q ⁱ i

   ∼

√ 1

5 q i 2

^{, per ogni}

α

equivalente a

ξ

^.

    ξ − p i

q _i     = 1

q _i ² 1

a ⁰ _i+1 + b _i+1 ∼ 1

q _i ² (1 + 2 ξ) ⁻¹ = 1 q _i ² √

5 ,

perché

a ⁰ _i+1 = 1 + ξ

^{,mentre, peri} sucientemente grande,

3

b i+1 = ^{q i−1} _q

i ∼ ξ

^.

Osservazione 6.

  α − ^p q ⁱ i

   ∼

1 2 √

2 q i 2

^{,per ogni}

α

equivalente a

θ = 1 + √ 2

^.

Infattiper la(14)

    θ − p _i

q i

    = 1

q i 2

1

a ⁰ _i+1 + b i+1 ∼ 1

q i 2 (2 θ − 2) ⁻¹ = 1 q _i ² √

8 ,

perché

a ⁰ _i+1 = θ

^,mentre,perisucientementegrande,

b i+1 = ^{q i−1} _q

i ∼ (θ − 2)

^.

Teorema5. Diognitreconvergenticonsecutive adunirrazionale

α

^,almeno

una soddisfala disuguaglianza

    α − p _i

q i

 

  < 1

√ 5 q i 2 , ∀ i ≥ 2 .

Dimostrazione. Per l'Osservazione 5,ci interessa dimostrare che date

c _n−1

^,

c n

^,

c n+1

^tre convergenti consecutive ad

α

^{, per almeno uno fra} i=n-1,n,n+1 siha che

1 a ⁰ _i +b _i < √ ¹

5

^.

Perciò supponiamo che valgano entrambe ledisuguaglianze

a ⁰ _n−1 + b _n−1 ≤ √

5 , a ⁰ _n + b n ≤ √

5 .

⁽¹⁷⁾

Dimostriamoche sidovràaverenecessariamente

a ⁰ _n+1 + b n+1 > √ 5

^.

Esprimendo

a ⁰ _n−1

^{nella forma}

a ⁰ _n−1 = a _n−1 + 1

a ⁰ _n

⁽¹⁸⁾

eper la(13), otteniamo

1

a ⁰ _n = a ⁰ _n−1 − a n−1

1

b _n = a _n−1 + b _n−1

che, sommatemembro a membro,danno

1 a ⁰ _n + 1

b n

= a ⁰ _n−1 + b _n−1 ≤ √

5 .

⁽¹⁹⁾

3

Sidimostraperinduzione,utilizzandoilTeorema1,che

`se

α = [a 1 , a 2 , . . . , a _i−1 , a i , . . .]

^,allora

^{q i} _q ⁻¹

i = [0, a i , a _i−1 , . . . , a 2 ]

^'.

1 = a ⁰ _n · 1

a ⁰ _n ≤  √

5 − b ⁿ 

· √

5 − 1 b _n



⇐⇒ b n + 1 b _n ≤ √

5 .

Ma, poichè

b n ∈ Q

^, nell'ultima disuguaglianza non può valere l'uguale.

Perciò abbiamo

b ² _n − √

5 b n + 1 < 0 ⇐⇒

√ 5 2 − b ⁿ

! ²

< 1 4 .

Dacuiconcludiamo che

b n >

√ 5 − 1

2 .

Supponiamo ora per assurdo che valga anche

a ⁰ _n+1 + b _n+1 ≤ √

5

^{. Facendo}

passaggianaloghi aiprecedenti, otteniamo che

b _n+1 >

√ 5 − 1 2

e,di conseguenza, per la(18), siha

a n = 1

b n+1 − b ⁿ <

√ 5 + 1

2 −

√ 5 − 1 2 = 1 .

Contraddizione, in quanto

a n ≥ 1

^per

n ≥ 2

^(vediOsservazione1).

Segue latesi.

Arriviamo perciò all'importante risultato dimostrato per la prima volta da

Hurwitz nel1891:

Teorema6. Ogniirrazionale

α

^{haunainnitàdi} approssimazionirazionali

p

q

^{che soddisfano}

    p q − α

    < 1

√ 5 q ²

(20)

Dimostrazione. Poiché

α ∈ R − Q

^{,allorahaunosviluppoinnitoinfrazione}

continua(Osservazione3)eilTeorema5garantisceperciòchecisianoinnite

convergenti che soddisfano ladisuguaglianza(20).

Analogamente:

Teorema 7. Se

α

^{è diverso da}

ξ = ^{√ 5−1} ₂

^(ounsuo equivalente), alloraam- mette innite approssimazioni razionali

p

q

^{che soddisfano la} disuguaglianza

    α − p

q  

  < 1 2 √

2 q ² .

⁽²¹⁾

5,proviamo che di ognitre convergenti consecutive ad

α

^non equivalente a

ξ

^{, almeno per una vale che laquantità}

λ i = a ⁰ _i + b i > 2 √ 2 = √

8

^.

Supponiamo che valgano

a ⁰ _n−1 + b _n−1 ≤ √

8 , a ⁰ _n + b n ≤ √

8 .

⁽²²⁾

Dimostriamoche sidovràaverenecessariamente

a ⁰ _n+1 + b n+1 > √ 8

^.

Come nella dimostrazione delteorema5,ponendo

a ⁰ _n−1 = a _n−1 + 1

a ⁰ _n ,

⁽²³⁾

risulta

1 a ⁰ _n + 1

b n

= a ⁰ _n−1 + b _n−1 ≤ √

8 ;

⁽²⁴⁾

dalle relazioni (22)e (24)vediamo che

1 = a ⁰ _n · 1

a ⁰ _n ≤  √

8 − b ⁿ 

· √

8 − 1 b _n



⇐⇒ b n + 1 b _n ≤ √

8 ,

e,poichè

b n ∈ Q

^{, abbiamo}

b ² _n − √

8 b n + 1 < 0 ⇐⇒  √

8 − b ⁿ  2

< 1 .

Dacuiconcludiamo che

b _n >

√ 8

2 − 1 = √ 2 − 1 .

Supponiamooraperassurdochevalgaanche

a ⁰ _n +b _n ≤ √

8

^{. Facendopassaggi}

analoghi aiprecedenti, otteniamoche

b _n+1 > √ 2 − 1

equindi sihaper le(23) e(24)

a n = 1

b n+1 − b ⁿ <  √ 2 + 1 

+  1 − √

2 

= 2 .

Contraddizione, perché per ipotesi

α

^nonè equivalente a

ξ

^.

Quindisegueche

a ⁰ _n+1 + b _n+1 > √ 8

^.

Ma allora, per

α

^non equivalente a

ξ

^{, esistono inniti}

^p _q

^{per i quali vale la}

disuguaglianza(21).

Vediamoadesso unrisultatochefornisceilcontroesempio per lavaliditàdei

teoremi6 e 7appena dimostrati.

Teorema 8. Se

k > √

5

^{e se}

α ≡ ξ

^{, allora esiste solo un numero nito di}

razionali

p

q

^{tali che}

    α − p

q     < 1

k q ² .

Dimostrazione. Per il Corollario 1,

ξ − p q = δ

q ² ,

⁽²⁵⁾

con

|δ| < 1

^{. Supponiamo per assurdo che esistano inniti}

^p _q

^{che soddisfano}

la(25), dove prendiamo

|δ| < k ¹ < ^{√ 1} ₅

^{. Allora}

δ

q −

√ 5

2 q = −p − 1 2 q ,

edelevando alquadratoentrambi i membri, si ha che

δ ² q ² − √

5 δ = p ² + p q − q ² .

⁽²⁶⁾

Guardando i duemembridella (26), ciaccorgiamo che ilsecondo membro è

unintero, mentre ilprimo èminoredi 1,infatti

   

δ ² q ² − √

5 δ     = |δ|

   

δ q ² − √

5     < 1

k

 1 k q ² + k



= 1

k ² q ² + 1 −→ 1,

per

q −→ ∞

^{. Essendogiuntiad una}contraddizione, seguelatesi.

5 Numero aureo

Utilizzando lo sviluppo in frazione continua, calcoliamo la radice positiva

dell'equazione

x ² = x + 1 ,

ottenibilevolendodividereunsegmentodilunghezzaxnellasuaproporzione

estremae media:

x = 1 + 1

x , x = 1 + 1 1 + 1

x

, . . .

Troviamo, così,losviluppoin frazione continuadel numero aureo

Φ =

√ 5 + 1

2 = 1 + 1

1 + 1

1 + 1

.

.

.

= [1, 1, 1, . . .] = [¯1] .

⁽²⁷⁾

Figura 1: L'areadelquadrato è

q ² _i = 64

(gura(a)), mentrequelladelrettangolo(gura (b))è

q i+1 q _i−1 = 65

.

Le sueridottesono:

1 1

^,

2 1

^,

3 2

^,

5 3

^,

8 5

^,

13 8

^,

21 13

^,

34 21

^,

55 34

^,

89 55

^,

144 89

^,

. . .

^.

Osserviamo che ogni convergente è il rapporto di due numeri di Fibonacci

consecutivie quindi

p _i−1 = q i

^,

∀ i > 1

^{. La (2)diventa così}

c _i = q _i

q _i−1 = a _i + q _i−2 q _i−1 ;

mentrela(4) sarà:

q i+1 q _i−1 − q i ² = (−1) ⁱ .

⁽²⁸⁾

Osserviamoche la(28)risolve ilparadossogeometrico (vedigura 1).

I risultati esposti in questa tesina evidenziano che, grazie allo sviluppo in

frazione continua, non solo abbiamo potuto vedere che il numero aureo è

unirrazionale, mache sitratta dell'irrazionale (o comunqueappartienealla

classe di irrazionali) che si approssima peggio. Infatti, poiché i quozienti

parzialidi

Φ

^sono(

∀i

⁾

a _i = 1

^{, di}conseguenzaiTeoremi6,7e8ciforniscono una prova rigorosa del fatto che non si riesce a stimare molto agevolmente

tale numero in quanto, confrontando la (15) con la (27), ci accorgiamo che

Φ = 1 + ξ

^{, ovveroi due numeri sono}equivalenti.

Riferimenti bibliograci

[1] J.F.Koksma, Diophantische Approximationen, in Ergebnisse der Math-

ematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, Berlin 1936, pp.29 e

seguenti.

[2] C.D. Olds,Frazioni continue, Zanichelli, Bologna 1968.

[3] G.H. Hardy, E.M. Wright, An introduction to the Theory of Numbers,

OxfordUniversity Press,Oxford1979.

[4] M. Livio, La sezione aurea, Rizzoli,Milano2003.

[5] M. Abate, Il Girasole di Fibonacci, testo della conferenza tenuta nel

convegno Matematica e Cultura, il25 marzo 2006,in Springer, 2006.

[6] N.Ricchetti,La Sezione Aurea, in Il Paradosso, Firenze 2006,pp. 4-7.