• Non ci sono risultati.

2. Data X v.a. gaussiana N (0, 4), trovare un numero t tale che P (X > t) = 0.5.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "2. Data X v.a. gaussiana N (0, 4), trovare un numero t tale che P (X > t) = 0.5."

Copied!
5
0
0

Testo completo

(1)

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 16/9/2008

1. Date due v.a. X ed Y indipendenti, X gaussiana N (0, 4), Y di Poisson P (2), calcolare E [XY 2 − 2Y X 2 + 3].

2. Data X v.a. gaussiana N (0, 4), trovare un numero t tale che P (X > t) = 0.5.

3. Data Y v.a. di Poisson P (2), trovare il pi`u piccolo numero n tale che P (X > n) ≤ 0.5.

4. Sia X una v.a. discreta tale che P (X = −5) = 0.1, P (X = 0) = p, P (X = 5) = 0.9−p, con p ∈ [0, 0.9]. Trovare p in modo che la varianza di X sia pari ad 1. [Attenzione: vedere la nota nella risoluzione.]

5. Se X, Y sono N (2, 9) indipendenti, calcolare E £

e 5X−3Y ¤ .

6. Se X `e P (4) e Y `e una Bernoulli di parametro 0.3, Y ∼ B (1, 0.3), e sono indipendenti, calcolare E £ X

1+Y

¤ .

7. Nelle ipotesi del punto precedente, calcolare P (X + Y = 3).

8. Tra coloro che hanno un cellulare di marca A (risp. B) il 50% (risp. il 30%) sceglie la tariffa senza scatto alla risposta. A Coregliano il 60%

delle persone possiede un cellulare di marca A, il 40% di marca B. Che probabilit`a c’`e, a Coregliano, che una generica persona abbia tariffa senza scatto alla risposta?

9. A Pescarola, d’estate, piove un giorno su 10, in media. Decidiamo di andare l`ı in vacanza per 10 giorni. Supponiamo che i diversi giorni siano indipendenti per quanto riguarda la pioggia. Che probabilit`a c’`e che becchiamo pioggia per 2 giorni?

10. E se, negli anni, andiamo a Pescarola per 100 giorni, che probabilit`a c’`e

che piova per pi`u di 20 giorni? (E’ sufficiente un calcolo approssimato.)

11. Gestendo un grande magazzino, ponendo attenzione sul numero X di

confezioni di carta igienica vendute giornalmente, vorremmo stimarne il

valor medio. Poche rilevazioni giornaliere ci hanno dato un valor medio

sperimentale pari a 75 con una deviazione standard sperimentale pari a

(2)

25. E’ chiaro che, a causa di questa notevole variabilit`a, non possiamo fidarci pi`u di tanto della stima 75. Quante osservazioni dovremmo fare per stimare la media con precisione di 5 unit`a, confidando al 90% nel risultato?

12. Nella nostra azienda, gli esperti che effettuano le previsioni di vendita hanno dichiarato che ogni giorno venderemo in media 200 esemplari di una certa macchina. Per semplicit`a, supponiamo dal confronto con vendite simili, che la deviazione standard sia dell’ordine di 20 macchine.

Dopo 30 giorni di vendita, si riscontra un numero medio sperimentale di

vendite pari a 160. Dire a che livelli di significativit`a possimo affermare

che le previsioni degli esperti erano sbagliate.

(3)

1 Soluzioni

1. Per l’indipendenza e per la linearit`a del valor medio E £

XY 2 − 2Y X 2 + 3 ¤

= E [X] E £ Y 2 ¤

− 2E [Y ] E £ X 2 ¤

+ 3 dove poi va sostituito E [X] = 0, E [Y ] = 2, (E [Y 2 ] non serve)

E £ X 2 ¤

= V ar [X] + E [X] 2 = 4.

Pertanto E [XY 2 − 2Y X 2 + 3] = −2 · 2 · 4 + 3 = −13.

2. Il problema si pu`o riscrivere nella forma

0.5 = 1 − P (X ≤ t) = 1 − Φ µ t

2

ovvero Φ ¡ t

2

¢ = 0.5, 2 t = q 0.5 = 0, t = 0.

3. Ricordiamo che P (X = k) = e −2 2 k!

k

. Possiamo cercare n solo per ten- tativi. P (X = 0) = e −2 1 1 = 0.135. P (X = 1) = e −2 2 1 = 0.27, quindi P (X ≤ 1) = 0.135 + 0.27 = 0.405. P (X = 2) = e −2 4 2 = 0.27, quindi P (X ≤ 2) = 0.405 + 0.27 = 0.675. Quindi P (X > 2) = 1 − 0.675 = 0 .325 ≤ 0.5. Il valore cercato `e n = 2.

4. Vale

E [X] = −5 · 0.1 + 5 · (0.9 − p) = 4 − 5p E £

X 2 ¤

= 25 · 0.1 + 25 · (0.9 − p) = 25 − 25p V ar [X] = 25 − 25p − (4 − 5p) 2 = 9 + 15p − 25p 2 quindi deve essere 9 + 15p − 25p 2 = 1. Con facili calcoli si trova

p = 15 ± 1025 2 · 25 =

½ −0.34 0.94 .

Nessuna di queste due soluzioni `e accettabile, quindi non esistono valori di p per cui la varianza `e pari ad 1.

5. La v.a. 5X − 3Y `e gaussiana, di media 5 · 2 − 3 · 2 = 4 e varianza 25 · 9 + 9 · 9 = 306. Quindi, per la formula E £

e tZ ¤

= e µt+

σ2t22

valida se Z ∼ N (µ, σ 2 ), avremo

E £

e 5X−3Y ¤

= e 4+

3062

= e 157 .

(4)

6. Per l’indipendenza, E £ X

1+Y

¤ = E [X] E £ 1

1+Y

¤ . Poi, E [X] = 4, mentre

E

· 1 1 + Y

¸

= 1 · (1 − 0.3) + 1

2 · 0.3 = 0.85.

In conclusione, E £ X

1+Y

¤ = 4 · 0.85 = 3.4.

7.

P (X + Y = 3)

= P (X + Y = 3|Y = 0) P (Y = 0) + P (X + Y = 3|Y = 1) P (Y = 1)

= P (X = 3) P (Y = 0) + P (X = 2) P (Y = 1)

= e −4 4 3

3! · (1 − 0.3) + e −4 4 2

2! · 0.3 = 0.18.

8. Indichiamo con T la tariffa indicata. Vale

P (T ) = P (T |A) P (A) + P (T |B) P (B)

= 0.5 · 0.6 + 0.3 · 0.4 = 0.42.

9. Il numero di giorni, su 10, in cui piove, `e una v.a. binomiale B (10, p).

La sua media `e 10p. Siccome si dice che piove un giorno su dieci in media, deve valere p = 0.1. Detto questo,

P (N = 2) = µ 10

2

p 2 (1 − p) 10−2 = 0.194.

10. Ora consideriamo la v.a. N che calcola il numero di giorni, su 100, in cui piove, che `e una B (100, 0.1). In teoria la risoluzione `e analoga ma non possiamo calcolare P 100

k=20

¡ 100

k

¢ p 2 (1 − p) 100−k . Allora usiamo il TLC: indicando con X i le Bernoulli che descrivono la pioggia dei singoli giorni, e con Z una gaussiana canonica,

P (N ≥ 20) = P (X 1 + ... + X 100 ≥ 20)

= P

µ X 1 + ... + X 100 − 100 · 0.1 10

0.1 · 0.9 20 − 100 · 0.1 10

0.1 · 0.9

≈ P (Z ≥ 3.333) = 1 − Φ (3.333) = 0.0016.

(5)

11. Dobbiamo risolvere la disequazione in n: σq

1− α

n

2

≤ 5, ovvero 25·1.64 n ≤ 5, quindi n ≥ ¡ 25·1.64

5

¢ 2

= 67.24. La risposta `e n = 68.

12. Eseguiamo un test bilaterale per la media, con deviazione standard supposta nota pari a 20. Il valore p rappresenta il limite inferiore dei livelli di significativit`a per cui possimo affermare che le previsioni degli esperti erano sbagliate. Vale

p = 2 − 2Φ µ¯ ¯

¯ ¯ 160 − 200 20

30

¯ ¯

¯ ¯

= 2 − 2Φ (10. 954)

che `e pari a zero a tutti gli effetti. Possiamo rifiutare le previsioni degli

esperti con estrema sicurezza.

Riferimenti

Documenti correlati

[r]

[r]

Fondamenti di Fisica Matematica: Scritto generale 10.07.2012. Cognome

Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria

Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria

[r]

Sul tavolo si possono tenere solo i fogli forniti, una penna, libretto e/o documenti.. Non si pu` o usare

Un sistema omogeneo di 5 equazioni in 3 incognite: a non ha soluzione ; b ha sempre almeno una soluzione; c ha soluzione solo in certi casi; d ha sempre una soluzione