p eril
Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile
A.A.2006/07: App ello del 20/4/2007
Nome:...
N.matr.:... Ancona,20aprile 2007
1. Determinarelasoluzione dell'equazionedelcaloreneldominiospazialein nito
1<x<+1, in presenzadi una sorgenteS(x),
@u
@t K
@ 2
u
@x 2
=S(x)
conS(x)=Acosk
0
xe condizione iniziale u(x;0)=Bsinx.
2. Determinarelasoluzione dell' equazione deltelegrafocon termine costante,
@ 2
u
@t 2
+2 2
@u
@t v
2
@ 2
u
@x 2
= r 2
;
p er x 2 [0;L], con le condizioni al contorno u(0;t) = e u(L;t) = 0 e le
condizioni iniziali u(x;0)=h(x), @u=@t(x;0)=0.
3. Determinarelasoluzione dell'equazione di Laplace
@ 2
u
@x 2
+
@ 2
u
@y 2
=0
neldominio0x1,0y1, conle condizione alcontornodi Dirichlet
u(x;0)=0
u(x;1)=1
u(0;y)=u(1;y)=y
sulb ordo deldominio.
4. Illustrare il meto do dello svilupp o in autofunzioni p er lasoluzione dell'equa-
zionedel calore
@u
@t
=K
@ 2
u
@x 2
neldominio nito 0xLe con lecondizioni al contornonon omogenee
u(0;t)= ,u(L;t)= ;
1. Consideriamoprima lasoluzione stazionaria,che obb edisce all'equazione
Ku 00
s
(x)=Acosk
0 x
lacuisoluzione e
u
s (x)=
A
Kk 2
0 cosk
0 x:
Scriviamoquindilasoluzionedell'equazionedipartenzacomeu(x;t)=u
s (x)+
w (x;t),dove adessow (x;t) obb edisce a
@w
@t K
@ 2
w
@x 2
=0; 1<x<+1
Siaorawb
k
(t) latrasformatadi Fourierdi w risp ettoa dx. Abbiamo
_
b w
k +Kk
2
b w
k
=0
conla soluzione
b w
k
(t)=C
k e
Kk 2
t
:
LacostanteC
k
=wb
k
(0) va determinata dalla condizione iniziale, che p er we
w (x;0)=u(x;0) u
s
(x)=Bsinx A
Kk 2
0 cosk
0 x
edunque
C
k
= 1
p
2
Z
1
1
Bsinx A
Kk 2
0 cosk
0 x
e ik x
dk
= p
2
B
2i
(Æ(k 1) Æ(k+1)) A
2Kk 2
0
(Æ(k k
0
)+Æ(k+k
0 ))
Otteniamoquindi p erlasoluzione complessiva,
u(x;t) = u
s (x)+
1
p
2
Z
1
1 b w
k (t)e
ik x
dk
= u
s (x)+
1
p
2
Z
1
1 C
k e
Kk 2
t
e ik x
dk
= u
s (x)+
B
2i e
Kt+ix
e Kt+ix
A
2Kk 2
0
e Kk
2
0 t+ik
0 x
+e Kk
2
0 t+ik
0 x
= A
Kk 2
0 cosk
0 x+
B
2i e
Kt
sinx A
Kk 2
0 e
Kk 2
0 t
cosk
0 x
= A
Kk 2
0
1 e Kk
2
0 t
cosk
0 x+
B
2i e
Kt
sinx:
2. L'equazionee non omogenea e lo sono pure le condizioni al contorno. Consi-
deriamoquindi innanzituttolasoluzionestazionaria u
s
(x)conlecondizioni al
contornonon omogeneeu
s
(0)= , u
s
(L)=0:
u
s (x)=
1 x
r
2
Lx
2
:
s
dovew so ddisfa l'equazione
@ 2
w
@t 2
+2 2
@w
@t v
2
@ 2
w
@x 2
=0
con le condizioni alcontorno omogenee w (0;t)=w (L;t)=0. La soluzione e
nota(vedi disp ense):
w (x;t)=e
2
t 1
X
n=1 sink
n x (A
n cos
n t+B
n sin
n t)
con
n
= p
! 2
n
4
,dove!
n
=k
n v e k
n
=n=L. Le costantiA
n eB
n vanno
determinate dalle condizioni iniziali , p er le quali ci serve l'espressione p er la
derivata:
@u
@t
=
2
w (x;t)+e
2
t 1
X
n=1
n sink
n x ( A
n sin
n t+B
n cos
n t):
Le condizioni iniziali diventanodunque:
1
X
n=1 A
n sink
n
x=h(x) u
s (x)
1
X
n=1
n B
n sink
n x=
2
[h(x) u
s (x)];
dacui
A
n
= 2
L Z
L
0
[h(x) u
s
(x)]sink
n xdx
B
n
= 2
2
L
n Z
L
0
[h(x) u
s
(x)]sink
n xdx:
3. Pro cedendo come nel paragrafo 9.3 delle disp ense, con a= b= 1 ed f
1 (y) =
f
2
(y) =y,f
3
(x) =0, f
4
(x) =1, sivede subitoche w (x;y)= y e che g
1 (y) =
g
2
(y) = g
3
(x) = g
4
(x) = 0. Si ottengono facilmente le soluzione parziali
v
1
(x;y)=v
2
(x;y)=v
3
(x;y)=v
4
(x;y)=0e quindi
