Soluzioni Provascritta–17/7/2007 MetodiMatematicieStatistici

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 17/7/2007

Esercizio 1. Siano T0 e T1due v.a. esponenziali di parametri 5 e 6, W una Bernoulli di parametro 1/2, tutte indipendenti.

i) Calcolare la generatrice di T0 + T1. ii) Calcolare ET₁²T0.

iii) Calcolare PTW > 1.

Esercizio 2. Sia X una v.a. gaussiana di media θ incognita e deviazione standard pari a 4.

i) Vogliamo stimare θ con un errore assoluto pari a 1. Se vogliamo il risultato al 95%, quanto numeroso dev’essere il campione?

ii) Supponiamo che da quel campione sia emersa la stima

θ = 22. Cosa possiamo dire della media vera θ?

iii) Cosa possiamo dire della probabilità che X superi 24?.

Esercizio 3. Indichiamo con X una v.a. di Bernoulli di parametro p e poniamo X^′ = 2X − 1.

i) Trovare p in modo che X^′ abbia media nulla. Chiamare p^∗tale valore.

ii) Siamo X₁^′, ..., Xn′ delle v.a. indipendenti distribuite come X^′, con p generico (non necessariamente uguale a p^∗). Dare tutte le formule che si conoscono, esatte o

approssimate, che si possono usare per il calcolo di PX₁^′ + ... + Xn′ > nλ.

iii) Eseguire il calcolo del punto (ii) nel caso in cui le X_k^′ siano Nμ, σ² indipendenti.

Soluzioni

Esercizio 1. i)

Ee^tT0+T1 = Ee^tT0Ee^tT1 = 5 5 − t

6 6 − t. ii)

ET₁²T0 = ET12ET0 = VarT¹+ ET¹² 1 5

= 1

6² + 1 6²

1 5 =

1

90 = 1.1111 × 10⁻². iii)

PTW > 1 = PTW > 1|W = 0PW = 0 + PTW > 1|W = 1PW = 1

= 12 PT0 > 1 + PT1 > 1

= 12 e⁻⁵+ e⁻⁶ = 4.6083 × 10⁻³.

Esercizio 2. Sia X una v.a. gaussiana di media θ incognita e deviazione standard pari a 4.

i)

4q0.975

n ≤ 1 da cui

n ≥ 4q0.975² = 61.466 ovvero n = 62.

ii)

θ = 22 ± 1 a livello di confidenza 95%.

In realtà, ricalcolando l’errore relativo a 62 prove, si trova un intervallo anche un po’ più piccolo, quindi migliore (questo è dovuto all’approssimazione n = 62 rispetto a 61.466).

Entrambi comunque sono intervalli di confidenza al 95%.

iii) A livello di confidenza 95%, 21 ≤ θ ≤ 23, quindi

P²¹X > 24 ≤ P^θX > 24 ≤ P²³X > 24

1 −Φ 24 − 21

4 ≤ P^θX > 24 ≤ 1 − Φ 24 − 23 4 1 −Φ 34 ≤ P^θX > 24 ≤ 1 − Φ 14

1 − 0.7734 ≤ P^θX > 24 ≤ 1 − 0.5987 0.226 6 ≤ P^θX > 24 ≤ 0.4013.

Esercizio 3. i)

EX^′ = −1 ⋅ 1 − p + 1 ⋅ p = −1 + 2p quindi è zero se e solo se p = ¹₂. Quindi p^∗ = ¹₂.

ii) Siano X₁^′, ..., Xn′ delle v.a. indipendenti distribuite come X^′, con p generico (non necessariamente uguale a p^∗). Dare tutte le formule che si conoscono, esatte o

approssimate, che si possono usare per il calcolo di Osserviamo che X^′ = 2X − 1 con X ∼ B1,p, quindi

X₁^′ + ... + Xn′ = 2X¹+ ... + Xⁿ − 1

con X1, ..., Xn ∼ B1, p indipendenti, e X1 + ... + Xⁿ ∼ Bn, p. Pertanto PX₁^′ + ... + Xn′ > nλ = P2X1 + ... + Xn − 1 > nλ

= P X¹ + ... + Xⁿ > nλ + 12

=

∑

k>^nλ₂⁺¹

n

k p^k1 − p^n−k. Per il teorema degli eventi rari possiamo anche dire

PX₁^′ + ... + Xn′ > nλ ∼ 1 −

∑

k≤^nλ₂⁺¹

e^−np np^k k! . Infine, per il teorema limite centrale, osservando che

VarX^′ = 4VarX = 4p1 − p,

PX₁^′ + ... + Xn′ > nλ ∼ P Z > nλ − n2p − 1

2 n p1 − p

= 1 − Φ n λ + 1 − 2p 2 p1 − p . dove Z ∼ N0, 1.

iii) In questo caso X₁^′ + ... + Xn′ ∼ Nnμ, nσ² (le combinazioni lineari di gaussiane indipendenti sono gaussiane) quindi

PX₁^′ + ... + Xn′ > nλ = 1 − Φ nλ − nμ n σ

= 1 − Φ n λ − μ σ

che è la stessa formula trovata sopra col TLC, essendo 2p − 1 la media di X^′ e 2 p1 − p

la deviazione standard.