Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.
2015-2016
Prova scritta - 12 luglio 2016
Problema 1. (pt 12) Su uno spazio probabilizzato ( ; F; P ), supponiamo di avere una successione (Zn) di v.a. discrete indipendenti, tali che P (Zn= 1) = P (Zn= 1) = 1=2, ed una v.a. N uniforme sui numeri interi da 1 a 100, in- dipendente dalle precedenti. Si ponga Xn =Pn
i=1Zi, n 2 N, e W = XN (ovvero W (!) =PN (!)
i=1 Zi(!)).
1. Calcolare esattamente P (X10 = 10)e scrivere una formula esatta per P (Xn = k), al variare di n; k (si può rispondere nell’ordine che si preferisce).
2. Calcolare approssimativamente P 1nXn2 1 .
3. Mostrare che W è una variabile aleatoria e calcolare P (W = 0).
4. Calcolare E [W ].
Problema 2. (pt 9) Sia X una v.a. di densità f ( ; x) = q2
jxj exp x24 , dove il parametro varia nell’insieme dei valori per cui questa funzione è be de…nita e integrabile.
1. Determinare l’insieme , veri…cando che per 2 la funzione f ( ; x) sia davvero una densità di probabilità.
2. Considerare la v.a. Y = sign (X) X2. Determinarne la densità di probabil- ità.
3. Avendo a disposizione un campione X1; :::; Xn di densità f ( ; x), scegliere uno stimatore T (basato su X1; :::; Xn) di e scrivere un intervallo di …ducia di livello per la stima di , basato su T . Possibilmente, si faccia in modo che l’intervallo escluda eguale probabilità sulle due code.
Problema 3. (pt 9) Un’azienda produce componenti per elettrodomenstici. Un suo reparto produce un numero di pezzi giornalieri che varia casualmente di giorno in giorno; con un certo grado di estrapolazione, si supponga che questo numero X aleatorio sia distribuito in modo gaussiano. Nel 2015, il numero medio di pezzi prodotti giornalmente è stato 23.3, con una deviazione standard pari 6.5.
1. 90 giorni su 100, su quale quantità minima di pezzi prodotti si può contare, in questo regime di lavoro? Spiegare bene come avete traddotto matemati- camente questa richiesta.
2. Un dirigente studia un nuovo metodo di produzione che si spera aumenti il numero medio di pezzi prodotti; non ci sono invece ragioni di ritenere che modi…chi la variabilità. Si vuole stimare tale numero medio, nel regime del nuovo metodo, con una precisione di 3 pezzi ed un livello di …ducia del 90%.
Quanti giorni di lavoro col nuovo metodo si devono aspettare?
3. Vengono registrati i valori giornalieri di produzione per 20 giorni, trovando una media dei valori pari a 25.8 (con deviazione standard pari a 6.3 (che quindi si può assumere invariata). Possiamo a¤ermare che il nuovo metodo funziona? Calcolare il valore p (la soglia di accettazione).
1 Soluzioni
Esercizio 1.
1. Le v.a. eZn= (Zn+ 1) =2sono B 1; 12 , indipendenti; la somma di n di esse è una B n;12 . Pertanto
P (Xn= k) = P Xn
i=1
Zi = k
!
= P Xn
i=1
(Zi+ 1)
2 = k + n 2
!
= P Bn= k + n 2 dove Bn B n;12 . Tale probabilità è nulla salvo quandok+n2 2 f0; 1; 2:::; n 1; ng, cioè k + n 2 f0; 2; 4; :::; 2n 2; 2ng, cioè k 2 f n; 2 n; 4 n; :::; n 2; ng.
Tali valori sono assunti con probabilità k+nn
2
1
2n. In particolare, P (X10 = 10) = 10
10 1 210 = 1
210 (a questo si poteva arrivare per altra via dall’inizio).
2. Essendo E [Z1] = 0, V ar [Z1] = E [Z12] = 1,
P 1
nXn2 1 = P 1 n
n2
X
i=1
Zi 1
!
= P
Pn2
i=1Zi n2E [Z1] pn2V ar [Z1] 1
!
(1) = 0:841:
3. La funzione W è a valori interi, quindi basta far vedere che la controimmagine di ciascun intero è misurabile. Vale
f! 2 : W (!) = kg = 8<
:!2 :
N (!)X
i=1
Zi(!) = k 9=
;
=
100[
n=1
(
! 2 : N (!) = n;
Xn i=1
Zi(!) = k )
e ciascuno di questi insiemi è misurabile, perché lo sono la funzione N e la sommaPn
i=1Zi, per ogni n. Vale poi P (W = 0) =
X100 n=1
P (W = 0jN = n) P (N = n) = 1 100
X100 n=1
P (W = 0jN = n) dove
P (W = 0jN = n) = P (W = 0; N = n)
P (N = n) = P (Pn
i=1Zi = 0; N = n) P (N = n)
= P (Xn= 0) P (N = n)
P (N = n) = P (Xn = 0) e questo vale k+nn
2
1
2n se k è pari, zero altrimenti.
4. Possiamo riscrivere W = P100
i=11i NZi, da cui E [W ] =
X100 i=1
E [1i NZi] = X100
i=1
E [1i N] E [Zi] = X100
i=1
P (i N ) E [Zi] = 0:
Esercizio 2.
1. E’ l’insieme dei numeri positivi: per = 0 la funzione non è de…nita, per
< 0 non sarebbe de…nita la radice quadrata e la funzione divergerebbe a 1 e quindi non sarebbe integrabile, mentre per > 0 decade più veloce- mente di un esponenziale, che risulta integrabile anche se moltiplicato per un polinomio. Vale poi, per > 0
Z +1
0
2x exp (x2)2 2
! dx =
Z +1
0
exp z2
2 dz = 1 2
Z +1
1
exp z2
2 dz = 1 2
p2
da cui il risultato.
2. La funzione ' (x) = sign (x) x2 è un di¤eomor…smo crescente di R, per cui
fY (y) = fX(x)
'0(x) y=sign(x)x2
= 0 B@
q2
jxj exp x24 2jxj
1 CA
y=sign(x)x2
= 1
p2 exp y2 2
quindi Y N (0; ).
3. Un’idea naturale, viste le cose precedenti, è trasformare il campione:
Yi = sign (Xi) Xi2
ottenendo così un campione Y1; :::; Yn di densità N (0; ); prendere poi uno stimatore di come ad esempio
T = 1 n
Xn i=1
Yi2 = 1 n
Xn i=1
Xi4
e cercare un intervallo di …ducia. Si può riscontrare che cercandolo della forma [T a; T + b] non si arriva ad un risultato utile. Lo cerchiamo allor della forma Ta;Tb con 0 < b < a. Vogliamo che complessivamente sia
P 2 T
a;T
b = 1
e speci…camente,
P < T
a =
2; P > T
b =
2:
Troviamo a; per b si fa allo stesso modo.
2 = P < T
a = P T
> a = 1 P T a ovvero
P
Pn i=1Yi2
na = 1 2: Ora,Pn
i=1 Yi2
è una Chi-quadro a n gradi di libertà (applicando la de…nizione), quindi detto 2n; il quantile di ordine di una simile Chi-quadro, abbiamo
na = 2n;1
2
da cui a = n1 2n;1
2. Esercizio 3.
1. Detto X N (23:3; 6:52), cerchiamo n (meglio se intero) tale che P (X n) 0:9:
Cerchiamo x tale che P (X x) = 0:9, cioè P (X x) = 0:1. Vale allora x = qN(23:3;6:52)
0:1 = 23:3 + 6:5 q0:1 = 23:3 6:5 1:28 = 14:98. Quindi n = 14 (anche 15 va bene).
2. L’intervallo di …ducia per la media è
X q1
p 2
n
e vogliamo qp1n2 1. Sostituendo = 6:5, = 0:1, troviamo
n 6:5 q0:95 3
2
= 6:5 1:645 3
2
= 12:7 quindi n = 13.
3. E’più naturale, viste le premesse, svolgere un test unilaterale. Il valore p + dato da
P (23:3;6:52) X > 25:8 = P (23:3;6:52) X 23:3 6:5
p20 > 25:8 23:3 6:5
p20
= 1 25:8 23:3 6:5
p20 = 1 (1:72)
= 1 0:957 = 0:043:
