Elementi di Probabilit` a e Statistica - 052AA - A.A. 2014-2015

Elementi di Probabilit` a e Statistica - 052AA - A.A. 2014-2015

Prova di verifica - 19 giugno 2015

Esercizio 1. Il signor Macchi ogni mattino guarda il cielo sopra Pisa e valuta se sia il caso di portare con s´ e un ombrello. La sua previsione per` o non ` e accurata, e poniamo α ∈ [0, 1] la probabilit` a che oggi piova, condizionata al fatto che Macchi aveva previsto che non piovesse, β ∈ [0, 1] la probabilit` a che oggi non piova, condizionata al fatto che Macchi aveva previsto pioggia (Macchi prevede pioggia o meno con probabilit` a non nulle). Poniamo pari a 1/5 la probabilit` a dell’“evento” oggi piove (a Pisa piove in media anche pi` u di un giorno ogni 5).

1) Qual’` e il rapporto tra la probabilit` a dell’“evento” oggi piove e Macchi ha previsto pioggia, e l’“evento” oggi non piove e Macchi ha previsto pioggia?

2) Mostrare che, per α = 1/6, β = 1/3 la probabilit` a dell’“evento” Macchi ha previsto pioggia

` e unicamente determinata, e calcolarla.

3) Con i valori di α e β (e le conseguenti probabilit` a) fissati al punto sopra, qual’` e la probabilit` a che il signor Macchi abbia previsto pioggia, condizionata all’“evento” oggi piove?

Soluzione 1. Anche se non ` e esplicitamente richiesto, il problema si potrebbe modellizzare in uno spazio di probabilit` a in cui vi sono 2 eventi

P ↔ oggi piove M ↔ Macchi ha previsto pioggia,

e bisognerebbe affrontare la questione se vi sia una misura di probabilit` a P consistente con le probabilit` a specifiche assegnate (ma questo ` e proprio l’oggetto del secondo punto).

1) Possiamo scrivere i rapporti di probabilit` a in termini di probabilit` a condizionate:

P(P ^c ∩ M )

P(P ∩ M ) = P(P ^c |M )P(M )

P(P |M )P(M ) = P(P ^c |M )

P(P |M ) = 1 − β

β ∈ [0, ∞]

2) Siamo interessati alla probabilit` a p = P (M ). Qualunque essa sia, poich´ e stiamo assumendo che sia diversa da 0, possiamo scrivere

P(P ) = P(M ∩ P ) + P(M ^c ∩ P )

= P(P |M )P(M ) + P(P |M ^c )P(M ^c )

= (1 − β)p + α(1 − p) Da cui necessariamente (se β + α 6= 1)

p = 1/5 − α 1 − β − α . Nel caso specifico otteniamo p = 1/15.

3) Usiamo la formula di Bayes

P(M |P ) = P(P |M )P(M )/P(P ) = 2 3 · 1

15 · 5 = 2 9 .

Esercizio 2. Dato n ≥ 1, siano X 1 , . . . , X n variabili aleatorie i.i.d., con momento secondo finito e poniamo X := ¹ _n P _n

i=1 X _i . Per n ≥ 2, sia S _n ² := _n−1 ¹ P _n

i=1 (X _i − X) ² lo stimatore corretto della varianza σ ² := Var(X i ), e sia T _n ² := _n ¹ P n

i=1 (X i − X) ² “quello non corretto”. Definiamo

R(U, σ ² ) := E[|U − σ ² | ² ] il rischio (quadratico) associato ad uno stimatore U di σ ² .

1) Assumiamo che le X _i siano centrate, E[X _i ] = 0, e ammettano momento quarto finito µ ₄ :=

E[X _i ⁴ ] < ∞. Per n = 2, scrivere R(S ₂ ² , σ ² ) e R(T ₂ ² , σ ² ) come funzioni di σ ² e µ ₄ . Quale stimatore ha rischio maggiore?

2) Assumiamo che X _i sia N (m, σ ² ), per m ∈ R, σ ² > 0. Per ogni n ≥ 2, calcolare R(S _n ² , σ ² ) e R(T _n ² , σ ² ). Quale stimatore ha rischio maggiore?

3) Assumendo ancora che X _i sia N (m, σ ² ), per m ∈ R e σ ² > 0, determinare il valore α ^∗ che minimizza la funzione R 3 α 7→ R(αS n ² , σ ² ), e calcolare il rischio R(α ^∗ S _n ² , σ ² ).

Soluzione 2. 1) Nel caso n = 2, possiamo scrivere S ₂ ² =



X 1 − X 1 + X 2

2

 2

+



X 2 − X 1 + X 2

2

 2

= 1

2 (X 1 − X ₂ ) ² . Poich´ e S ₂ ² ` e corretto, otteniamo

E[(S 2 ² − σ ² ) ² ] = Var(S ₂ ² ) = E[S 2 ⁴ ] − E[S 2 ² ] ²

= 1

4 E[(X 1 − X ₂ ) ⁴ ] − σ ⁴

= 1

4 E[X ₁ ⁴ − 4X ₁ ³ X 2 + 6X ₁ ² X ₂ ² − 4X ₁ X ₂ ³ + X ₂ ⁴ ] − σ ⁴

= 1

4 2µ 4 + 6σ ⁴
− σ ⁴ = µ ₄ + σ ⁴ 2

dove abbiamo anche usato il fatto che E[X 1 ³ X ₂ ] = E[X 1 ³ ]E[X 2 ] = 0, perch´ e X ₁ e X ₂ sono indipedenti (dotate di momento quarto, quindi anche terzo) e centrate. Abbiamo anche usato il fatto che σ ² = E[X i ² ]. Per quanto riguarda T ₂ ² = S ₂ ² /2, otteniamo

E[(T 2 ² − σ ² ) ² ] = E[T 2 ⁴ ] − 2σ ² E[T 2 ² ] + σ ⁴

= 1

16 E[(X 1 − X ₂ ) ⁴ ] − σ ² E[S ² 2 ] + σ ⁴

= 1

16 E[X 1 ⁴ − 4X ₁ ³ X 2 + 6X ₁ ² X ₂ ² − 4X ₁ X ₂ ³ + X ₂ ⁴ ]

= 1

16 2µ 4 + 6σ ⁴
= µ 4 + 3σ ⁴ 8

Ne segue che il rischio associato allo stimatore T ₂ ² ` e sempre strettamente inferiore a quello associato a S ₂ ² .

2) Nel caso in cui le X _i siano indipendenti e N (m, σ ² ), sappiamo dalla teoria che Y = _σ ¹

P n

i=1 (X _i − X) ² ha legge χ ² (n − 1) = Γ((n − 1)/2, 1/2). Le dispense forniscono la formula E[Y ² ] = n ² − 1 e quindi

E[(S n ² − σ ² ) ² ] = Var(S _n ² ) = E[S n ⁴ ] − E[S n ² ] ²

= σ ⁴

(n − 1) ² E[Y ² ] − σ ⁴

= σ ⁴  (n + 1)(n − 1) (n − 1) ² − 1



= 2σ ⁴ n − 1 . Per lo stimatore T _n ² = σ ² Y /n ragioniamo in modo simile:

E[(T n ² − σ ² ) ² ] = E[T n ⁴ ] − 2σ ² E[T n ² ] + σ ⁴

= σ ⁴

 E[Y ² ]

n ² − 2 E[Y ] n + 1



= σ ⁴  n ² − 1

n ² − 2 n − 1 n + 1



= σ ⁴ n ² − 1 − 2n(n − 1) + n ²

n ² = σ ⁴ 2n − 1

n ² .

Poich´ e vale ²ⁿ⁻¹ _n

< _n−1 ² per n ≥ 2, il rischio di T _n ² ` e sempre minore di quello di S ² _n .

3) Svolgiamo un’altra volta il calcolo, stavolta considerando uno stimatore U = βσ ² Y (poi poniamo α = β(n − 1)). Si ottiene

E[(U − σ ² ) ² ] = E[U ² ] − 2σ ² E[U ] + σ ⁴

= σ ⁴ β ² E[Y ² ] − 2βE[Y ] + 1 

= σ ⁴ β ² (n ² − 1) − 2β(n − 1) + 1 .

Perci` o, per minimizzare, basta porre 2β(n ² − 1) − 2(n − 1) = 0, ossia β = _n+1 ¹ (in termini di α, vale α = ⁿ⁻¹ _n+1 ). Troviamo in corrispondenza il rischio

R(αS _n ² , σ ² ) = 2σ ⁴ n + 1

Esercizio 3. Consideriamo, per un’opportuna costante C _θ > 0, la densit` a di probabilit` a f (θ, x) parametrizzata da θ ∈ (0, ∞) definita da

f (θ, x) =

 C _θ per −θ ≤ x ≤ θ, 0 altrimenti.

Siano X ₁ , ..., X _n delle v.a. indipendenti con densit` a f (θ, x).

1) Scrivere le funzioni di ripartizione di |X 1 | e di M := max _i=1,...,n |X _i |.

2) Scrivere il modello statistico standard relativo a f (θ, x) e trovare lo stimatore di massima verosimiglianza b θ.

3) Valutare se b θ ` e corretto e se ` e consistente.

4) Vogliamo considerare

l’ipotesi nulla H 0 ) θ ≤ 2, contro l’alternativa H 1 ) θ > 2.

Supponiamo di volere determinare una regione critica della forma {M ≤ c} oppure {M ≥ c}, per qualche c ∈ R. Intuitivamente, quale delle due `e nella direzione giusta? Dimostrare (senza usare il teorema sul rapporto di verosimiglianza, qui un po’ critico) che la scelta fatta definisce una regione di rifiuto di livello α = 0.05 per un’opportuna scelta di c.

Soluzione 3. 1) Si ha C _θ = _2θ ¹ ,

F _|X

_| (θ, t) =







0 per t ≤ 0

t

θ per 0 ≤ t ≤ θ 1 per t > θ

F _M (θ, t) = P (M ≤ t) = P (|X _i | ≤ t) ⁿ =







0 per t ≤ 0

t θ

n

per 0 ≤ t ≤ θ 1 per t > θ.

2) Poniamo Ω = R ⁿ , F = B (R ⁿ ), P _θ con densit` a L (θ, x 1 , ..., x n ) data da (essendo f (θ, x) =

1 2θ 1 _|x|≤θ )

L (θ, x 1 , ..., x n ) = 1

(2θ) ⁿ 1 _max|x

|≤θ

Fissati x ₁ , ..., x _n , come funzione di θ accade che 1 _max|x

_|≤θ vale 0 per θ ∈ [0, max |x _i |), 1 per θ ≥ max |x _i |, quindi L (θ, x ₁ , ..., x _n ) nulla per θ ∈ [0, max |x _i |) (quindi il massimo va cercato per θ ≥ max |x i |); e per θ ≥ max |x _i | la funzione L vale _(2θ) ¹

quindi ` e decrescente in θ.

Pertanto il punto di massimo assume il valore max |x i |. Lo stimatore di MV `e pertanto M : θ = max |X b _i | .

3) Calcoliamo il valore atteso di ˆ θ:

E ^θ [M ] = Z

tf _M (θ, t) dt = n θ

Z θ 0

t  t θ

 n−1

dt = n θ ⁿ

Z θ 0

t ⁿ dt = n θ ⁿ

θ ⁿ⁺¹

n + 1 = n n + 1 θ quindi ˆ θ non ` e corretto. Poi, per  tale che θ −  ≥ 0 (il caso θ = 0 va esaminato a parte, ma P ⁰ (|M n − 0| > ) = 0)

P ^θ (|M n − θ| > ) = 1 − P ^θ (θ −  ≤ M n ≤ θ + )

= 1 − Z θ

θ−

n

θ ⁿ t ⁿ⁻¹ dt = 1 − n θ ⁿ

 t ⁿ n

 θ θ−

= 1 − 1

θ ⁿ (θ ⁿ − (θ − ) ⁿ ) =  θ −  θ

 n

→ 0, quindi ` e consistente.

4) (Nota: il rapporto di MV conterrebbe il termine ¹ ₁

^|

^|

max

|

|

la cui interpretazione ` e un po’

critica). La regione intuitivamente plausibile ` e {M ≥ c}: se il massimo di un campione sperimentale supera c vuol dire che θ supera c, e questo ` e nella direzione giusta per rifiutare θ ≤ 2 (il ragionamento opposto con {M ≤ c} non ` e plausibile).

Supponiamo di trovare c tale che

P ^θ=2 (M ≥ c) ≤ α.

Allora, per θ ≤ 2,

P ^θ (M ≥ c) = 1 − F M (θ, c) ≤ 1 − F M (2, c) ≤ α

dove abbiamo usato il fatto che F _M (2, c) ≤ F _M (θ, c) (si vede con facili ragionamenti).

A questo punto cerchiamo c tale che

P ^θ=2 (M ≥ c) ≤ α.

Dobbiamo risolvere

1 − F M (2, c) ≤ α F _M (2, c) ≥ 1 − α

quindi (anche se pu` o sembrare un po’ paradossale rispetto agli esempi soliti) si prende c < 2, positivo, e precisamente tale che ^c ₂
n

= α, ovvero c = 2 √

α.