(1)Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A

Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.

2015-2016

Prova scritta - 17 gennaio 2017

Problema 1. (pt 9) Su uno spazio probabilizzato ( ; F; P ), supponiamo di avere una successione (Tn) di v.a. indipendenti, tutte esponenziali di parametro > 0.

Poniamo Sn = Pn

i=1T_i, n 2 N. Per ogni t 0, introduciamo la v.a. Nt de…nita da

N_t = X1 n=1

1_{Sn t}.

1. Calcolare la funzione di ripartizione Fn(t) di Sn.

2. Calcolare P (Nt n) e veri…care che Nt è una v.a. di Poisson di parametro t.

3. Dopo aver motivato il fatto che _n¹ Pn

i=11_{Ti 1} converge a e in probabil- ità, dire quello che si può sul limite lim_n!1P _n¹Pn

i=11_{Ti 1} e p¹ n , particolarizzando il risultato al caso = 1.

Problema 2. (pt 9) Sia X una v.a. di densità f ( ; x) = C ¹

jxj 1_{jxj 1}, dove il parametro varia nell’insieme dei valori per cui questa funzione è integrabile.

1. Determinare l’insieme , trovando C per cui la funzione f ( ; x) sia una densità di probabilità.

2. Considerare la v.a. Y = _jXj¹ . Determinarne la densità di probabilità.

3. Avendo a disposizione un campione X1; :::; X_n di densità f ( ; x), scegliere uno stimatore T (basato su X1; :::; X_n) di . Evidenziare se ha qualche buona proprietà.

Problema 3. (pt 12) L’u¢ cio vendite di un’azienda del marmo vuole fare un’anal- isi statistica. Relativamente alle ultime 20 settimane, ha registrato le quantità vendute (in tonnellate) trovando una media empirica pari a 5.4 ed una deviazione standard empirica pari a 2.1.

1. Con quale precisione conosciamo la media vera settimanale, a livello di con…denza 90%?

2. L’u¢ cio è preoccupato di vendere troppo poco. Stimare la probabilità di vendere, la prossima settimana, meno di 4 tonnellate. Svolgere l’esercizio sia utilizzando i dati a disposizione nel modo più immediato, sia presupponendo per la media la stima più pessimistica, al 90%.

3. Ripetere il calcolo del punto 2 utilizzando per la media il valore 5.4 e per la varianza la stima più pessimistica, al 90%; per pessimistica si intenda qui la varianza più grande possibile e, nella ricerca dell’intervallo di con…denza per la varianza, lo si cerchi bilaterale.

4. Supponiamo che, prima di eseguire le osservazioni, si ritenesse che le vendite del passato avevano una media di almeno 6 tonnellate alla settimana e che l’indagine sia stata svolta a causa del dubbio che le vendite recenti fossero in calo rispetto al passato. Scrivere ipotesi nulla ed alternativa ed una regione di ri…uto al 95% per testare l’ipotesi, e stabilire se 5.4 (con deviazione empirica 2.1) è una media compatibile con l’ipotesi.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1. Sappiamo che Sn (n; ), quindi ha densità f (x) =

n

(n 1)!x^{n 1}e ^x1_{x 0} da cui Fn(t) = 0 per t < 0, mentre per t 0

F_n(t) = Z t

0

n

(n 1)!x^{n 1}e ^xdx =

n 1

(n 1)!x^{n 1}e ^x

t

0

+ Z t

0

n 1

(n 2)!x^{n 2}e ^xdx

=

n 1

(n 1)!t^{n 1}e ^t

n 2

(n 2)!t^{n 2}e ^t ::: e ^t+ 1

= ( t)^{n 1}

(n 1)!e ^y ( t)^{n 2}

(n 2)!e ^y ::: e ^t+ 1 2.

P (N_t n) = P (S_n t) = ( t)^{n 1}

(n 1)!e ^y ( t)^{n 2}

(n 2)!e ^y ::: e ^t+ 1 P (N_t= n) = P (N_t n) P (N_t n + 1) = ( t)ⁿ

n! e ^t ovvero Nt è una v.a. di Poisson di parametro t.

3. Il primo fatto deriva dalla legge debole dei grandi numeri: le v.s. 1Ti 1 sono indipendenti (perché trasformazioni delle Tiche sono indipendenti), Bernoulli di parametro p = P (Ti 1) = e , e sappiamo che per la LDGN la media aritmetica delle Bernoulli tende a p in probabilità. Vale poi

n!1lim P 1 n

Xn i=1

1_{Ti 1} e 1 pn

!

= P Pn

i=11_{Ti 1} ne pne (1 e )

p 1

e (1 e )

!

e questo, per il TLC, si approssima con

1 1

pe (1 e )

!

= 1 1

pe ¹(1 e ¹)

!

= 1 (2:07)

= 1 0:98077 = 0:01923:

Esercizio 2.

1. E’integrabile per 2 = ( 1; 1) e vale Z ₁

1

C 1

jxj 1_{jxj 1}dx = 2C Z 1

0

x dx = 2C x ⁺¹ 1

1

0

= 2C 1 da cui C = ¹₂ .

2.

F_Y (y) = P (Y y) e questa vale 0 se y 0, mentre per y > 0 è

= P jXj 1

y = P X 1

y + P X 1

y = 2P X 1

y

= (1 ) Z ₁

1 y

1

x 1_{0 x 1}dx:

Ora, se _y¹ 1, l’integrale è nullo, quindi FY (y) = 0 anche per 0 < y 1; se

1

y < 1, vale

F_Y (y) = (1 ) Z 1

1 y

1

x dx = (1 ) x ⁺¹ 1

1

1 y

= 1 1

y¹ :

In conclusione, FY (y) = 0 per y 1, FY (y) = 1 _y1¹ per y > 1. Da cui f_Y (y) = 0 per y < 1, fY (y) = (1 )_y2¹ per y > 1.

3.

L ( ; x₁; :::; x_n) = (1 )ⁿ 2ⁿ

1

jx¹ x_nj 1_{jx1j 1;:::;jxnj 1}

log L ( ; x₁; :::; x_n) = n log (1 ) n log 2 logjx¹ x_nj per jx¹j 1; :::;jxⁿj 1 e vale 1 altrove; l’equazione di MV è

n

1 b logjx¹ x_nj = 0 da cui

b = n

logjx¹ x_nj + 1:

Pertanto,

T = n

logjX¹ X_nj+ 1 = 1 + n Pn

i=1logjXⁱj:

Circa le proprietà, oltre a quella intrinseca di essere di MV, si può ragionare sul fatto di essere un modello esponenziale e quindi la consistenza; peraltro analizzabile direttamente dall’espressione esplicita.

Esercizio 3.

1.

= 5:4 2:1 t_19;0:05

p20 = 5:4 2:1 1:729

p20 = 5:4 0:81189:

2.

P (V 4) = P V 4

= 4

: L’approssimazione più immediata è

4 5:4

2:1 = ( 0:66) = 1 (0:66) = 1 0:74537 = 0:25463:

Quella più elaborata è 4 5:4 + 0:81189

2:1 = ( 0:28) = 1 (0:28) = 1 0:61026 = 0:38974:

3.

P ²_19;0:95 (n 1)S²

2 2

19;0:05 = 0:9:

Invertendo,

(n 1) S²= ²_19;0:05 ² (n 1) S²= ²_19;0:95: Il valore peggiore è

(n 1) S²= ²_19;0:95= 19 2:1²

10:12 = 8:2796:

Su questa base, l’approssimazione è 0

@ 4 5:4

q

(n 1) S²= ²_19;0:95 1

A = 4 5:4

p8:2796 = 4 5:4 2:87556

= ( 0:48) = 1 (0:48) = 1 0:68439 = 0:31561:

4. H⁰) media 6, H¹) media < 6; regione di ri…uto:

X 6

S

pn < t_{n 1;0:95} = t_19;0:05

ovvero esplicitamente ^{X 6}_S p

20 < 1:729; Per i valori empirici vale

x 6

s

p20 = 5:4 6 2:1

p20 = 1:2778

quindi il test non è signi…cativo.