si ha

si ha

rA{bLTA~ ^IvO

G(n+I)(Z) = ^f(n+1)(z) - Q(x)(n + 1)!

da cui per z = ç si ricava

Q(X) = ^f(n+l)(ç)

(n + 1)!.

Essendo inoltre G(x) = En(x) -w(x)Q(x), usando per Q(x) la forma appena trovata, si ha immediatamente la tesi. D

Poichè I(x; XO,Xl,"" Xn) è il minimo interval!Q contenente i punti x, xo, ...,

Xn, si può osservare che:

. se z ft [xo, xn] , allora En (z) può essere molto grande (ossia l' estrapolazione puo non essere affidabile);

. anche nell'intervallo I(x; xo, ..., xn) non è vero che:

.

r+l(ç)

En(x) := f(x) - IIn(x) = ( n+ 1. )Iw(x)

essendo I(xj xo, ..., xn) il minimo intervallo contenente i punti x, xo, ..., Xn.

lim IIf - IIn 1100= O.

n-+oo :

u~ tipico contro esempio dovuto a Runge rende palese .questo fatto nel caso in cui l'interpolazione venga fatta per nodi equispaziati. Consideriamo infatti la seguente funzione

Dimostrazione. Se X = Xi per qualche i = O, . . . ,n il teorema è banale. Sia

dunque X

# Xi per i = O,. . . ,n ed introduciamo la funzione 1

f(x) = ^{1 + x2'} -5 ~ X ~ 5.

G(z) := En(z) - w(z)Q(x), a ~ z ~ b

dove Q è tale che G(x) = Oe quindi Q(x) = En(x)/w(x). Si ha ovviamente

Suddividiamo l'intervallo coi nodi Xi = -5 + 10i/n con i = O,.. . ,n. Si vede che esistono dei punti X per i quali

G(z) =0 se Z=X,XO,XI"",Xn. _n-+oo lim If(x) - IIn(x)1# O.

Osserviamo che G(z) è una funzione di classe n + 1 (cioè G E Cn+1([a,b])), essendo somma di funzioni di classe n + 1. Essa si annulla in n + 2 punti distinti, allora grazie al teorema di Rolle, in I(x; Xo, Xl,"" Xn) esistono n + 1 punti distinti in cui G'(z) = O. Ripetendo il procedimento per le derivate successive di G, si giunge ad affermare che esiste un unico punto ç

in I(x; Xo, Xl, . . . , xn) tale per cui G(n+1)(ç) ~ O. Tenendo conto che II~n+l) (z) = O e w(n+l) (z) = (n + 1)! Vz E [a,b]

In particolare questo fenomeno si evidenzia agli estremi dell'intervallo (si

veda la Figura 26).

Nelle sezioni successive indicheremo due possibili strade per rimediare a questo tipo di difficoltà .

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