Trasformata di Fourier

CAPITOLO 7

Trasformata di Fourier

1. Definizione e prime propriet` a

Data una funzione f 2 L ¹ (R, C) si dice trasformata di Fourier di f la funzione (f )(⌫) :=

Z

R f (t)e ^2⇡i⌫t dt, ⌫ 2 R,

denotata anche con ˆ f (⌫). Osserviamo che tale funzione risulta definita in ogni ⌫ 2 R essendo

| (f)(⌫)| = | Z

R f (t)e ^2⇡i⌫t dt |  Z

R |f(t)| dt < +1 per ogni f 2 L ¹ ( R, C). In particolare si ottiene che (f) 2 L ¹ ( R, C) e che

k (f)k ₁  kfk 1 , 8f 2 L ¹ (R, C)

da cui segue che se (f _k ) ⇢ L ¹ ( R, C) `e tale che kf k f k 1 ! 0 per k ! +1, allora k (f k ) (f ) k 1 ! 0 per k ! +1. Si ha quindi che : L <sup>1</sup> ( R, C) ! L <sup>1</sup> ( R, C) `e funzione continua. Si ha inoltre

Teorema 7.1. (sulla continuit` a della trasformata di Fourier) Se f 2 L ¹ (R, C) allora (f) 2 C(R, C) ed inoltre

|⌫|!+1 lim (f )(⌫) = 0.

Dim. La continuit` a segue dal Teorema 5.14 sulla continuit` a dell’integrale dipendente da un para- metro: essendo g(⌫, t) = f (t)e ^2⇡i⌫t funzione continua nella variabile ⌫ 2 R per ogni t 2 R tale che

|g(⌫, t)|  |f(t)| 2 L ¹ ( R, R).

Per quanto riguarda il comportamento per |⌫| ! +1, osserviamo che poich`e e ^2⇡i⌫t = cos(2⇡⌫t) i sin(2⇡⌫t) e f 2 L ¹ ( R, C), dal Lemma di Riemann-Lebesgue si ottiene che (f)(⌫) ! 0 per

|⌫| ! +1. ⇤

Denotato con C 0 (R, C) lo spazio delle funzioni continue infinitesime all’infinito, abbiamo dunque che se f 2 L ¹ (R, C) allora (f) 2 C 0 (R, C).

Vediamo come primo esempio di calcolare la trasformata di Fourier della funzione caratteristica _[a,b] (t), risulta

( _[a,b] )(⌫) = Z _b

a

e ^2⇡i⌫t dt =

( 1 se ⌫ = 0

e ^2⇡ia⌫ e ^2⇡ib⌫

2⇡i⌫ se ⌫ 6= 0

121

In particolare si ha che ( _{[ a,a]} )(⌫) =

( 1 se ⌫ = 0

e ^2⇡ia⌫ e ^2⇡ia⌫

2⇡i⌫ = ^{sin(2a⇡⌫)} _⇡⌫ se ⌫ 6= 0 Denotata con sinc x, seno cardinale, la funzione

sinc x =

( 1 se x = 0

sin(⇡x)

⇡x se x 6= 0 otteniamo che ( _{[ a,a]} )(⌫) = 2a sinc(2a⌫).

Vediamo ora alcune propriet` a elementari della trasformata di Fourier. ` E immediato verificare che `e lineare, ovvero vale

(↵f + g) = ↵ (f ) + (g), 8f, g 2 L ¹ ( R, C), ↵, 2 C.

Data una funzione f : R ! C, si dice simmetrizzata di f(x) la funzione ˜ f (x) = f ( x), x 2 R. Osserviamo che se f(x) `e funzione pari allora f(x) = ˜ f (x) per ogni x 2 R, mentre se f (x) `e funzione dispari allora f (x) = f (x) per ogni x ˜ 2 R. Si dice invece coniugata della simmetrizata la funzione f ⇤ (x) = f( x). Valgono allora le seguenti propriet` a

Proposizione 7.1. Per ogni f 2 L ¹ (R, C) risulta

(i) la trasformata della simmetrizzata `e pari alla simmetrizzata della trasfor- mata:

( ˜ f ) = (f ); ˜

(ii) la trasformata della coniugata `e la coniugata della simmetrizzata della tra- sformata:

(f ) = ( (f )) ^⇤ ;

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 123

(iii) la trasformata della coniugata della simmetrizzata `e la coniugata della tra- sformata:

(f ^⇤ ) = (f ).

Dim. (i) Operando la sostituzione s = t si ha ( ˜ f )(⌫) =

Z

R

f (t)e ˜ ^2⇡i⌫t dt = Z

R f ( t)e ^2⇡i⌫t dt

= Z

R f (s)e ^{2⇡i( ⌫)s} ds = (f )( ⌫) = (f )(⌫). ˜ (ii) Osservato che l’integrale del coniugato `e uguale al coniugato dell’integrale si ottiene

(f )(⌫) = Z

R f (t)e ^2⇡i⌫t dt = Z

R f (t)e ^{2⇡i( ⌫)t} dt

= Z

R f (t)e ^{2⇡i( ⌫)t} dt = (f )( ⌫) = ( (f )) ^⇤ (⌫).

(iii) Analogalmente, posto s = t otteniamo (f ^⇤ )(⌫) =

Z

R f ( t)e ^2⇡i⌫t dt = Z

R f (s)e ^2⇡i⌫s ds

= Z

R f (s)e ^2⇡i⌫s ds = (f )(⌫).

⇤ In particolare, otteniamo

• se f(x) `e sommabile in R e pari allora (f)(⌫) `e pari.

Infatti, essendo ˜ f = f , da (i) segue che (f ) = (f ) e dunque che ˜ (f ) `e pari.

• se f(x) `e sommabile a valori reali e pari allora (f)(⌫) `e a valori reali.

Infatti, essendo f a valori reali e pari si ha che f ^⇤ (t) = f ( t) = f ( t) = f (t) per ogni t 2 R. Dunque, da (iii) segue che (f) = (f ^⇤ ) = (f ) da cui che (f ) risulta a valori reali.

Essendo e ^2⇡i⌫t = cos(2⇡⌫t) i sin(2⇡⌫t), otteniamo che se f (x) `e somma- bile a valori reali e pari allora

(f )(⌫) = 2 Z

[0,+ 1)

f (t) cos(2⇡⌫t) dt.

• se f(x) `e sommabile e dispari allora (f)(⌫) `e dispari.

Infatti, essendo ˜ f = f , da (i) e dalla linearit` a della trasformata si ottiene che (f ) = ( ˜ f ) = (f ). ˜

• se f(x) `e sommabile a valori reali e dispari allora (f)(⌫) `e valori imma- ginari puri.

Infatti essendo f a valori reali e dispari si ha che f ^⇤ (t) = f ( t) = f ( t) = f (t) per ogni t 2 R. Dunque, da (iii) segue che (f ) = (f ^⇤ ) = (f ) e dunque che (f ) risulta a valori immaginari puri.

Otteniamo quindi che se f (x) `e sommabile a valori reali e dispari allora (f )(⌫) = 2i

Z

[0,+ 1)

f (t) sin(2⇡⌫t) dt.

Utilizzando le precedenti propriet` a, calcoliamo la trasformata di Fourier della fun- zione f (t) = e <sup>|t|</sup> . Osservato che f (t) `e sommabile, reale e pari, da quanto sopra si ha che (f ) risulta reale e pari. Si ha dunque

(f )(⌫) = 2 Z

[0,+ 1)

e ^t cos(2⇡⌫t) dt.

Osservato che l’integranda risulta assolutamente integrabile in senso improprio, integrando per parti due volte otteniamo

I = Z

[0,+ 1)

e ^t cos(2⇡⌫t) dt = Z + 1

0

e ^t cos(2⇡⌫t) dt

= ⇥

e ^t cos(2⇡⌫t) ⇤ + 1

0 2⇡⌫

Z ₊₁

0

e ^t sin(2⇡⌫t) dt

= 1 2⇡⌫( ⇥

e ^t sin(2⇡⌫t) ⇤ + 1 0 + 2⇡⌫

Z ₊₁

0

e ^t cos(2⇡⌫) dt)

= 1 (2⇡⌫) ² Z ₊₁

0

e ^t cos(2⇡⌫) dt) = 1 (2⇡⌫) ² I da cui

I = 1

1 + (2⇡⌫) ² e quindi

(f )(⌫) = 2

1 + (2⇡⌫) ² 8⌫ 2 R.

Vediamo ora il comportamento della trasformata rispetto ad omotetie e traslazioni.

Proposizione 7.2. Data f 2 L ¹ (R, C) e a 2 R \ {0}, posto f a (t) := f (at) e ⌧ a f (t) := f (t a), risulta

(f a )(⌫) = 1

|a| (f )( ⌫

a ) e (⌧ a f )(⌫) = e ^2⇡ia⌫ (f )(⌫), 8⌫ 2 R.

Dim. Per provare la prima identit` a, operando la sostituzione s = at, se a > 0 otteniamo (f a )(⌫) =

Z

R f (at)e ^2⇡i⌫t dt = Z

R f (s)e ^2⇡i⌫

1 a ds = 1

a (f )( ⌫ a ).

Se invece a < 0, allora (osservato che con la sostituzione s = at gli estremi di integrazione vengono scambiati) otteniamo

(f a )(⌫) = Z

R f (at)e ^2⇡i⌫t dt = Z

R f (s)e ^2⇡i⌫

1

a ds = 1 a (f )( ⌫

a ).

Per provare la seconda identit` a, posto s = t a, si ottiene (⌧ a f )(⌫) =

Z

R f (t a)e ^2⇡i⌫t dt = e ^2⇡i⌫a Z

R f (s)e ^2⇡i⌫s ds = e ^2⇡i⌫a (f )(⌫).

⇤

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 125

Utilizziamo i precedenti risultati per calcolare la trasformata di Fourier delle funzioni triangolari. Consideriamo la funzione

f (t) = max {1 |t|; 0}, t 2 R.

Essendo la funzione pari e reale, otteniamo che (f ) risulta reale e dunque (f )(⌫) = 2

Z 1 0

(1 t) cos(2⇡⌫t) dt

= 2



(1 t) sin(2⇡⌫t) 2⇡⌫

1 0

+ 1

⇡⌫

Z ₁

0

sin(2⇡⌫t) dt

= 1

2(⇡⌫) ² [ cos(2⇡⌫t)] ¹ ₀ = 1 cos(2⇡⌫)

2(⇡⌫) ² = sin ² (2⇡⌫)

(⇡⌫) ² = sinc ² (⌫) Dalla precedente Proposizione otteniamo allora che, per a > 0, la funzione

g(t) = max {1 | t

a |; 0} = f( t a ) ha trasformata

(g)(⌫) = a (f )(⌫a) = a sinc ² (⌫a).

Calcoliamo ora la trasformata di Fourier di f (t) = _1+t ¹ 2 . Osservato che la funzione

`e pari e a valori reali, utilizzando il Teorema dei residui abbiamo provato che (f )(⌫) =

Z ₊₁

1

cos(2⇡⌫t)

1 + t ² dt = ⇡e ^{2⇡ |⌫|}

Ne segue allora che la trasformata di Fourier delle funzioni Lorentziane f a (t) =

1

a ² +t ² = _a ¹ 2 f ( _a ^t ) `e

(f _a )(⌫) = 1

a ² |a| (f)(a⌫) = ⇡

|a| e ^{2⇡ |a⌫|} . Si ha inoltre

Proposizione 7.3. Se f 2 L ¹ (R, C) e a 2 R allora, posto g a (t) = e ^2⇡iat f (t), risulta (e ^2⇡iat f (t))(⌫) = (f )(⌫ a), 8⌫ 2 R.

Dim. Osservato che e ^2⇡iat f (t) 2 L ¹ ( R, C) si ha (e ^2⇡iat f (t))(⌫) =

Z

R

f (t)e ^2⇡iat e ^2⇡i⌫t dt = Z

R

f (t)e ^{2⇡i(⌫ a)t} dt = (f )(⌫ a).

⇤ Ricordando che cos z = ^{e iz +e} ₂ ^iz e sin z = ^{e iz} _2i ^{e iz} , dalla precedente proposizione si ottiene

Proposizione 7.4. Se f 2 L ¹ (R, C) e a 2 R allora (f (t) cos(2⇡at))(⌫) = 1

2 ( (f )(⌫ a) + (f )(⌫ + a)), 8⌫ 2 R,

mentre

(f (t) sin(2⇡at))(⌫) = 1

2i ( (f )(⌫ a) (f )(⌫ + a)), 8⌫ 2 R.

Ad esempio, essendo

( 1

1 + t ² )(⌫) = ⇡e ^{2⇡ |⌫|}

otteniamo ( cos(2⇡t)

1 + t ² )(⌫) = 1 2 ( ( 1

1 + t ² )(⌫ 1)+ ( 1

1 + t ² )(⌫ +1)) = ⇡

2 (e ^{2⇡|⌫ 1|} +e ^2⇡|⌫+1| ).

Vediamo ora il comportamento della trasformata rispetto all’operazione di deriva- zione. Abbiamo

Proposizione 7.5. Se f 2 L ¹ (R, C) `e tale che, posto g(t) = tf(t), risulta g 2 L ¹ (R, C), allora (f) 2 C ¹ (R, C) e vale

(f ) ⁰ (⌫) = 2⇡i (g)(⌫), 8⌫ 2 R, ovvero risulta

(f ) ⁰ (⌫) = 2⇡i Z

R tf (t)e ^2⇡i⌫t dt 8⌫ 2 R.

Dim. Il risultato segue dal Teorema 5.14 sulla derivabilit` a degli integrali dipendenti da un parame- tro. Infatti g(⌫, t) = f (t)e <sup>2⇡i⌫t</sup> `e funzione derivabile rispetto alla variabile ⌫ 2 R per ogni t 2 R e risulta

| @g

@⌫ (⌫, t)| = |2⇡itf(t)e ^2⇡i⌫t |  2⇡|tf(t)| 2 L ¹ ( R, R).

⇤ Pi` u in generale abbiamo

Proposizione 7.6. Se f 2 L ¹ ( R, C) `e tale che, posto g m (t) = t ^m f (t) per m 2 N, risulta g _m 2 L ¹ ( R, C), allora (f) 2 C ^m ( R, C) e vale

(f ) ^(m) (⌫) = ( 2⇡i) ^m (g m )(⌫), 8⌫ 2 R, ovvero risulta

(f ) ^(m) (⌫) = ( 2⇡i) ^m Z

R t ^m f (t)e ^2⇡i⌫t dt 8⌫ 2 R.

Riguardo alla trasformata della derivata abbiamo

Proposizione 7.7. Se f 2 L ¹ ( R, C) `e continua e C ¹ a tratti con f ⁰ 2 L ¹ ( R, C), allora

(f ⁰ )(⌫) = 2⇡i⌫ (f )(⌫), 8⌫ 2 R.

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 127 Dim. Infatti, osservato che per ogni x 2 R risulta f(x) = f(0) + R

[0,x] f ⁰ (s) ds, si ottiene

x !+1 lim f (x) = f (0) + Z

[0,+1)

f ⁰ (s) ds e lim

x ! 1 f (x) = f (0) Z

( 1,0]

f ⁰ (s) ds.

Essendo f ⁰ 2 L ¹ ( R, C), si ottiene che i precedenti due limiti esistono finiti. Poich`e f 2 L ¹ ( R, C), tali limiti non potranno che essere nulli. Ne segue che

x !±1 lim |f(x)e ^2⇡x⌫ | = lim _x

!±1 |f(x)| = 0, 8⌫ 2 R.

Quindi, integrando per parti, si ottiene (f ⁰ )(⌫) =

Z ₊₁

1

f ⁰ (t)e ^2⇡i⌫t dt = h

e ^2⇡i⌫t f (t) i + 1 1 + 2⇡i⌫

Z ₊₁

1

f (t)e ^2⇡i⌫t dt = 2⇡i⌫ (f )(⌫).

⇤ Dal precedente risultato si ottiene inoltre

Proposizione 7.8. Se f 2 L ¹ ( R, C) `e di classe C ^{m 1} con f ^{(m 1)} di classe C ¹ a tratti e se f ^(k) 2 L ¹ ( R, C) per ogni k = 1, 2, ...m, allora

(f ^(m) )(⌫) = (2⇡i⌫) ^m (f )(⌫), 8⌫ 2 R.

Ricordando che per ogni g 2 L ¹ (R, C) risulta (g)(⌫) ! 0 per |⌫| ! +1, nelle ipotesi del precedente risultato si ha che

(2⇡⌫) ^m (f )(⌫) ! 0 per |⌫| ! +1

e quindi che l’ordine di infinitesimo di (f )(⌫) per |⌫| ! +1 `e maggiore di m.

Come applicazione proviamo che la trasformata delle funzioni Gaussiane f a (t) = e ^{at 2} con a > 0 `e pari a

(f _a )(⌫) = r ⇡

a e ^{⇡2⌫2 a} .

A tale scopo, consideriamo innanzitutto la funzione f (t) = e ^{t 2} . Abbiamo che (f )(⌫) =

Z _{+ 1}

1

e ^{t 2} e ^2⇡i⌫t dt

e per calcolare l’ultimo integrale potremo utilizzare il Teorema dei residui. In alternativa, osserviamo che

(f )(0) = Z + 1

1

e ^{t 2} dt = p

⇡ Abbiamo inoltre che

f ⁰ (t) = 2tf (t)

ed applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membro, da quanto sopra, otte- niamo

(f ⁰ )(⌫) = 1

⇡i (f ) ⁰ (⌫).

Poich`e (f ⁰ )(⌫) = 2⇡i⌫ (f )(⌫), ne segue che 2⇡i⌫ (f )(⌫) = 1

⇡i (f ) ⁰ (⌫)

ovvero che (f )(⌫) deve risolvere l’equazione di↵erenziale (f ) ⁰ (⌫) = 2⇡ ² ⌫ (f )(⌫) con la condizione iniziale (f )(0) = p

⇡. Ne segue allora che (f )(⌫) = p

⇡e ^{⇡ 2 ⌫ 2} .

Dai precedenti risultati segue allora che essendo f a (t) = e ^{at 2} = f ( p

at) si ha (f _a )(⌫) = 1

p a (f )( ⌫ p a ) =

r ⇡ a e ^{⇡2⌫2 a} .

Calcoliamo ora la trasformata della funzione g a (t) = te ^{at 2} . Posto f a (t) = e ^{at 2} , dai precedenti risultati otteniamo

(f a ) ⁰ (⌫) = 2⇡i (g a )(⌫).

Poich`e abbiamo visto che

(f _a )(⌫) = r ⇡

a e ^{⇡2⌫2 a} , ne segue

(g a )(⌫) = 1

2⇡i (f a ) ⁰ (⌫) = 1 2⇡i

r ⇡

a e ^{⇡2⌫2 a} ( 2 ⇡ ² ⌫

a ) = i⌫ ⇡ a

r ⇡ a e ^{⇡2⌫2 a} In alternativa, osservato che g a (t) = _2a ¹ f _a ⁰ (t), dai precedenti risultati otteniamo

(g a )(⌫) = 1

2a (f _a ⁰ )(⌫) = ⇡i⌫

a (f a )(⌫) = i⌫ ⇡ a

r ⇡ a e ^{⇡2⌫2 a}

Tabella 1. Alcune Trasformate di Fourier

f (t) (f )(⌫)

Funzioni caratteristiche _{[ a,a]} (t) 2asinc(2a⌫) Funzioni triangolari max {1 | _a ^t |; 0} asinc ² (a⌫) Funzioni esponenziali e ^|at| _a 2 +(2⇡⌫) ^{2a 2}

Funzioni Lorentziane _{a 2} ¹ _{+t 2 |a|} ^⇡ e ^{2⇡ |a⌫|}

Funzioni Gaussiane e ^{at 2} , a > 0 p _⇡

a e ^{⇡2⌫2 a}

Vediamo infine il comportamento della trasformata rispetto al prodotto di convolu- zione:

(f ⇤ g)(t) :=

Z

R f (t s)g(s) ds, 8f, g 2 L ¹ (R, C).

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 129

Osserviamo che f ⇤ g 2 L ¹ ( R ⇥ R, R) in quanto, dal Teorema di Fubini e dall’inva- rianza per traslazione dell’integrale, risulta

Z

R |f ⇤ g(t)| dt  Z

R ( Z

R |f(t s)g(s) | ds) dt = Z

R ( Z

R |f(t s) | dt)|g(s)| ds

= Z

R kfk 1 |g(s)| ds = kfk 1 kgk 1

da cui in particolare segue che kf ⇤ gk 1  kfk 1 kgk 1 . Abbiamo Proposizione 7.9. Se f, g 2 L ¹ (R, C) allora

(f ⇤ g)(⌫) = (f)(⌫) (g)(⌫), 8⌫ 2 R.

Dim. Dal Teorema di Fubini-Tonelli, essendo h(t, s) = f (t s)g(s)e ^2⇡i⌫t in L ¹ ( R ⇥ R, R) per ogni

⌫ 2 R, abbiamo (f ⇤ g)(⌫) =

Z

R f ⇤ g(t)e ^2⇡i⌫t dt = Z

R ( Z

R f (t s)g(s) ds)e ^2⇡i⌫t dt

= Z

R ( Z

R f (t s)e ^{2⇡i⌫(t s)} dt)g(s)e ^2⇡i⌫s ds

= Z

R

( Z

R

f (✓)e ^2⇡i⌫✓ d✓)g(s)e ^2⇡i⌫s ds = Z

R

f (✓)e ^2⇡i⌫✓ d✓

Z

R

g(s)e ^2⇡i⌫s ds

= (f )(⌫) (g)(⌫)

⇤

Tabella 2. Propriet` a della Trasformata di Fourier

(↵f + g) = ↵ (f ) + (g) f, g 2 L ¹ , ↵, 2 C (f (at))(⌫) = _|a| ¹ (f )( ^⌫ _a ) f 2 L ¹ , a 2 R \ {0}

(f (t a)) = e ^2⇡i⌫a (f )(⌫) f 2 L ¹ , a 2 R (e ^2⇡iat f (t))(⌫) = (f )(⌫ a) f 2 L ¹ , a 2 R (cos(2⇡at)f (t))(⌫) = ¹ ₂ ( (f )(⌫ a) + (f )(⌫ + a)) f 2 L ¹ , a 2 R (sin(2⇡at)f (t))(⌫) = _2i ¹ ( (f )(⌫ a) (f )(⌫ + a)) f 2 L ¹ , a 2 R (f ) ^(m) (⌫) = ( 2⇡i) ^m (t ^m f (t))(⌫) t ^m f (t) 2 L ¹

(f ^(m) )(⌫) = (2⇡i⌫) ^m ( (f )(⌫) f 2 C ^m , f ^(k) 2 L ¹ , 1  k  m

(f ⇤ g)(⌫) = (f)(⌫) (g)(⌫) f, g 2 L ¹

2. Antitrasformata e Teorema di dualit` a

Risulta utile determinare quando `e possibile risalire ad una funzione una volta nota la sua trasformata. Diamo allora la seguente definizione.

Data f 2 L ¹ ( R, C), si dice antitrasformata di Fourier di f la funzione (f )(t) :=

Z

R f (⌫)e ^2⇡i⌫t d⌫, ⌫ 2 R.

Osserviamo che (f )(x) = (f )( x) ovvero (f ) `e la simmetrizzata di (f ) e dunque vale

(f ) = (f ) = ˜ ( ˜ f ).

L’antitrasformata verifica ovviamente tutte le propriet` a della trasformata. Abbiamo inoltre

Teorema 7.2. (Formula di Inversione)

Sia f 2 L ¹ (R, C) tale che (f) 2 L ¹ (R, C). Allora f 2 C 0 (R, C) e per ogni t 2 R vale

f (t) = ( (f ))(t) = Z

R (f )(⌫)e ^2⇡i⌫t d⌫ = Z

R ( Z

R f (s)e ^2⇡i⌫s ds)e ^2⇡i⌫t d⌫.

Si osservi che per provare la precedente formula non si pu` o scambiare l’ordine di integrazione in quanto la funzione f (s)e ^{2⇡i⌫(t s)} non appartiene a L ¹ ( R ⇥ R), infatti

|f(s)e ^{2⇡i⌫(t s)} | = |f(s)| 62 L ¹ ( R ⇥ R). Per la dimostrazione viene usato un metodo di regolarizzazione mediante la convoluzione.

Ne segue in particolare

Corollario 7.1. : L ¹ (R, C) ! C 0 (R, C) `e iniettiva.

Dim. Infatti, se f, g 2 L ¹ ( R, C) sono tali che (f) = (g), allora (f g) = 0 2 L ¹ ( R, C) e dalla formula di inversione otteniamo che f (t) g(t) = 0 in R e dunque che f = g in L ¹ ( R, C). ⇤ Si ottiene allora che : L ¹ ( R, C) \ C 0 ( R, C) ! L ¹ ( R, C) \ C 0 ( R, C) risulta una bijezione.

Come esempio di applicazione, determiniamo il prodotto di convoluzione

[ ^a ₂ , ^a ₂ ] ⇤ [ ^a ₂ , ^a ₂ ] (t) = Z

R [ ^a ₂ , ^a ₂ ] (t s) _[ ^a

2 , ^a ₂ ] (s) ds = Z ^a

2 a 2

[ ^a ₂ , ^a ₂ ] (t s)ds.

Abbiamo visto che la trasformata di Fourier della funzione caratteristica _[ ^a

2 , ^a ₂ ] (t)

`e asinc(⌫a), mentre la trasformata di Fourier della funzione triangolare f a (t) = max{1 | <sub>a</sub> <sup>t</sup> |; 0} `e asinc ² (⌫a). Dunque

( _[ ^a

2 , ^a ₂ ] ) ( _[ ^a

2 , ^a ₂ ] ) = a (f a ).

Dal precedente risultato abbiamo allora che

[ ^a ₂ , ^a ₂ ] ⇤ [ ^a ₂ , ^a ₂ ] (t) = af a (t) = max{a |t|; 0}

3. TRASFORMATA DI FOURIER IN L ² 131

Determiniamo ora il prodotto di convoluzione f a ⇤ f b essendo f a (t) = e ^{at 2} , a 2 R \ {0}. Abbiamo visto che (f a )(⌫) = p _⇡

a e ^{⇡2⌫2 a} e dunque (f a ⇤ f b )(⌫) = (f a )(⌫) (f b )(⌫) =

r ⇡ a

r ⇡

b e ^{⇡ 2 ⌫ 2 ( 1 a + 1 b )} 2 L ¹ (R) Posto ¹ _c = ¹ _a + ¹ _b abbiamo allora che

(f a ⇤ f b )(⌫) = r ⇡

a r ⇡

b e ^{⇡2⌫2 c} = ⇡ p ab

r c

⇡ r ⇡

c e ^{⇡2⌫2 c} =

r ⇡

a + b (f c )(⌫).

Essendo la trasformata iniettiva ne segue allora che f a ⇤ f b (t) =

r ⇡

a + b e ^{ct 2} =

r ⇡

a + b e ^{a+b ab t 2} . Abbiamo inoltre

Teorema 7.3. (Lemma di dualit` a) Se f, g 2 L ¹ ( R, C) allora

Z

R (f )(t) g(t) dt = Z

R f (t) (g(t)) dt.

Dim. Osservato che Z

R ( Z

R |f(t)e ^2⇡it✓ |dt)|g(✓)|d✓ = kfk 1 kgk 1 < + 1 dal Teorema di Fubini-Tonelli otteniamo

Z

R (f )(t) g(t) dt = Z

R ( Z

R f (✓)e ^2⇡i✓t d✓)g(t) dt = Z

R ( Z

R g(t)e ^2⇡i✓t dt)f (✓) d✓ = Z

R (g)(✓)f (✓)d✓.

⇤

3. Trasformata di Fourier in L ²

Come nel caso delle serie di Fourier, la teoria della trasformata in L ² ( R, C) `e pi`u simmetrica rispetto a quella in L ¹ (R, C). Faremo solo un breve cenno.

Osserviamo che L ² ( R, C) 6⇢ L ¹ ( R, C) mentre dalla diseguaglianza di H¨older si ha che per ogni R > 0 risulta L ² ([ R, R], C) ⇢ L ¹ ([ R, R], C) ¹ . Data allora f 2 L ² (R, C), osservato che per ogni n 2 N si ha [ n,n] f 2 L ² ([ n, n], C) ⇢ L ¹ ([ n, n], C) e dunque risulta definita ( _{[ n,n]} f )(⌫) per ogni n 2 N, diciamo trasformata di Fourier di f (o anche trasformata di Fourier-Plancherel) la funzione

(f )(⌫) := lim

n !+1 ( _{[ n,n]} f )(⌫) = lim

n !+1

Z

[ n,n]

f (t)e ^2⇡i⌫t dt, ⌫ 2 R, dove il limite si intende in L ² (R, C).

Si pu` o provare (Teorema di Plancherel) che tale definizione `e ben posta, ovvero che la successione delle trasformate ( _{[ n,n]} f )(⌫) `e convergente in L ² ( R, C).

1 infatti risulta kfk 1  µ(E)

kfk 2 per ogni E 2 M con µ(E) < +1

Si ha inoltre che se f 2 L ² ( R, C) \ L ¹ ( R, C), allora (f) ⌘ (f). Infine si pu`o provare che vale la seguente identit` a, analoga dell’identit` a di Parseval per le serie di Fourier:

k (f)k 2 ⌘ kfk 2 .

Osserviamo che dalla definizione, se f 2 L ² (R, C) e risulta integrabile secondo Riemann in ogni intervallo della forma [ n, n] allora risulta

(f )(⌫) = lim

n !+1

Z n n

f (t)e ^2⇡i⌫t dt = v.p.

Z + 1 1

f (t)e ^2⇡i⌫t dt.

dove abbiamo denotato con v.p. il valore principale secondo Cauchy.

Ad esempio, abbiamo visto che la funzione sinc `e la trasformata della funzione caratteristica _[ ¹

2 , ¹ ₂ ] . Osservato che sinc 62 L ¹ (R, C) mentre sinc 2 L ² (R, C) e risulta integrabile secondo Riemann in ogni intervallo della forma [ n, n], possiamo calcolarne la sua trasformata nel seguente modo

(sinc)(⌫) = v.p.

Z + 1 1

sinc(t) e ^2⇡i⌫t dt = lim

n !+1

Z n n

sinc(t) e ^2⇡i⌫t dt.

Essendo sinc(t) pari e a valori reali otteniamo che per ogni n 2 N risulta Z n

n

sinc(t) e ^2⇡i⌫t dt = 2 Z n

0

sin ⇡t

⇡t cos(2⇡⌫t) dt

= Z n

0

sin(2⇡⌫t + ⇡t) sin(2⇡⌫t ⇡t)

⇡t dt

e dunque

(sinc)(⌫) = 1

⇡ Z ₊₁

0

sin(2⇡⌫t + ⇡t)

t dt 1

⇡ Z ₊₁

0

sin(2⇡⌫t ⇡t)

t dt.

Operando la sostituzione ✓ = ⇡(2⌫ + 1)t nel primo integrale e ✓ = ⇡(2⌫ 1)t nel secondo, ricordando che con il metodo dei residui abbiamo provato che

Z + 1 0

sin ✓

✓ d✓ = ⇡ 2 , otteniamo

(sinc)(⌫) = sgn(2⌫ + 1) 1

⇡ Z + 1

0

sin ✓

✓ d✓ sgn(2⌫ 1) 1

⇡ Z + 1

0

sin ✓

✓ d✓

= 1

2 (sgn(2⌫ + 1) sgn(2⌫ 1)) = 8 >

> <

> >

:

1 se |⌫| < ¹ ₂ 0 se |⌫| > ¹ ₂

1

2 se ⌫ = ± ¹ ₂ e dunque che (sinc) coincide con la regolarizzata della caratteristica _[ ¹

2 , ¹ ₂ ] , deno-

tata talvolta con rect(t).

4. APPLICAZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 133

4. Applicazione alle equazioni differenziali

L’utilizzo della trasformata di Fourier alla risoluzione di equazioni di↵erenziali si basa sul fatto che essa trasforma l’operazione di derivazione in quella di prodotto per una variabile indipendente.

• Equazioni differenziali ordinarie lineari

Supponiamo di avere un’equazione di↵erenziali lineare a coefficienti costanti:

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ^{(n 1)} + ... + a _{n 1} y ⁰ + a _n y = f (t)

Applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri dell’equazione e denotata con z(⌫) = (y)(⌫) e g(⌫) = (f )(⌫), otteniamo l’equazione algebrica

((2⇡i⌫) ⁿ + a 1 (2⇡i⌫) ^{n 1} + ... + a n 1 (2⇡i⌫) + a n )z(⌫) = g(⌫)

Tuttavia il metodo non viene spesso utilizzato in quanto l’operazione risulta lecita solo se si suppone che la funzione incognita y(t) risulti sommabile in tutto R, e ci`o per le soluzioni di equazioni di↵erenziali lineari non `e sempre valido.

Come ulteriore esempio, determiniamo le soluzioni dell’equazione di↵erenziale linea- re del secondo ordine a coefficienti non costanti

y ⁰⁰ (t) + 2⇡ty ⁰ (t) + 2⇡y(t) = 0.

Supposto y, y ⁰ , y ⁰⁰ 2 L ¹ (R) e denotata con z(⌫) = (y)(⌫), osservato che (2⇡ty ⁰ (t))(⌫) = 1

i ( 2⇡ity ⁰ (t))(⌫) = 1

i (y ⁰ (t)) ⁰ (⌫)

= 1

i (2⇡i⌫z(⌫)) ⁰ = 2⇡(z(⌫) + ⌫z ⁰ (⌫)),

applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri dell’equazione otteniamo allora

(2⇡i⌫) ² z(⌫) 2⇡(z(⌫) + ⌫z ⁰ (⌫)) + 2⇡z(⌫) = 0 , z ⁰ (⌫) = 2⇡⌫z(⌫) che ammette come soluzione z(⌫) = z(0)e ^{⇡⌫ 2} . Essendo e ^{⇡⌫ 2} la trasformata di e ^{⇡t 2} (gaussiana con a = ⇡), ne deduciamo che soluzioni dell’equazione sono y(t) = ke ^{⇡t 2} . L’applicazione della trasformata di Fourier risulta invece essenziale nella risoluzione di equazioni di↵erenziali alle derivate parziali dove permette, sotto opportune ipo- tesi, di ridurre l’equazione ad un’equazione di↵erenziale ordinaria. Come esempio notevole consideriamo nuovamente l’equazione del calore.

• Equazione del calore

Supponiamo di avere un mezzo conduttore di lunghezza infinita. Indicata con U (x, t) la temperatura del mezzo nel punto x 2 R al tempo t > 0 l’equazione prende la forma

@ _t u(x, t) = @ _xx u(x, t).

Cerchiamo soluzioni dell’equazione soddisfacenti alla condizione iniziale U (x, 0) = u 0 (x). Supposto che u 0 , u ⁰ ₀ , u ⁰⁰ ₀ 2 L ¹ (R, R), cerchiamo soluzioni della nostra equazio- ne tali che:

- u(x, t), @ _x u(x, t) e @ _xx u(x, t) sommabili rispetto ad x in R;

- esiste 2 L ¹ (R, R) tale che per ogni T > 0 si abbia |@ t u(x, t)|  (x) per ogni x 2 R e ogni t 2 [0, T ].

Applicando la trasformata di Fourier (rispetto alla variabile x 2 R) ad ambo i membri dell’equazione di↵erenziale. Essendo

(@ _xx u)( , t) = (2⇡i⌫) ² (u)(⌫, t) = 4⇡ ² ⌫ ² (u)(⌫, t)

mentre, dal Teorema sulla derivabilit` a dell’integrale dipendente da un parametro otteniamo

(@ t u)(⌫, t) = Z

R @ t u(x, t)e ^2⇡i⌫x dx = @ t

Z

R u(x, t)e ^2⇡i⌫x dx = @ t (u)(⌫, t).

Posto allora v(⌫, t) = (u)(⌫, t), l’equazione di↵erenziale si riduce all’equazione ordinaria

@ t v(⌫, t) = 4⇡ ² ⌫ ² v(⌫, t) (38) che dovr` a verificare il dato iniziale

v(⌫, 0) = (u 0 )(⌫) = v 0 (⌫).

La soluzione di tale problema risulta evidentemente la funzione v(⌫, t) = v 0 (⌫)e ^{4⇡ 2 ⌫ 2 t} .

Per ottenere la soluzione del problema iniziale, dobbiamo risalire alla funzione u(x, t) che ha per trasformata v(⌫, t). Ricordando allora che

(e ^{ax 2} )(⌫) = r ⇡

a e ^{⇡2⌫2 a} riconosciamo

e ^{4⇡ 2 ⌫ 2 t} = 1 2 p

⇡t (e ^{x2 4t} )(⌫).

Dunque si ottiene

(u(x, t))(⌫) = v(⌫, t) = (u 0 )(⌫) ( 1 2 p

⇡t e ^{x2 4t} )(⌫) = ( 1 2 p

⇡t u 0 (x) ⇤ e ^{x2 4t} )(⌫).

Dall’iniettivit` a della trasformata segue allora che u(x, t) = 1

2 p

⇡t u 0 (x) ⇤ e ^{x2 4t} = 1 2 p

⇡t Z

R u 0 (x ⇠)e ^{⇠2 4t} d⇠.

CAPITOLO 8

Trasformata di Laplace

1. Definizione e prime propriet` a

Data una funzione f : I ⇢ R ! C definita in un intervallo I contenente il semiasse R ⁺ := [0, + 1), si dice trasformata di Laplace di f la funzione

⇤(f )(s) :=

Z

R ⁺ f (t)e ^st dt, definita nell’insieme

S(f ) := {s 2 C | f(t)e ^st 2 L ¹ (R ⁺ )}, detto insieme di convergenza assoluta della trasformata ⇤(f ).

Osserviamo che la funzione f (t)e ^st risulta sommabile in R ⁺ se e solo se risulta tale |f(t)e ^st | = |f(t)|e ^Re(s)t . Inoltre, se 2 C `e tale che Re( ) > Re(s), allora

|e ^t | < |e ^st | e dunque |f(t)e ^t | < |f(t)e ^st |. Abbiamo allora che S(f) risulta un semipiano e precisamente, posto

⇢(f ) := inf {p 2 R | e ^pt f (t) 2 L ¹ ( R ⁺ ) }, risulta

S(f ) = {s 2 C | Re(s) > ⇢(f)} oppure S(f) = {s 2 C | Re(s) ⇢(f ) }.

Infatti, se Re(s) > ⇢(f ) allora esiste p 2 R con e ^pt f (t) 2 L ¹ ( R ⁺ ) tale che p < Re(s), ne segue allora che |f(t)e ^st | < |f(t)e ^pt | 2 L ¹ ( R ⁺ ) e dunque che s 2 S(f). Se invece Re(s) < ⇢(f), allora e ^Re(s)t f (t) 62 L ¹ ( R ⁺ ) e dunque e ^st f (t) 62 L ¹ ( R ⁺ ), ovvero s 62 S(f). Rimane invece dubbio il caso in cui Re(s) = ⇢(f ).

Nel seguito chiameremo ⇢(f ) ascissa di convergenza della trasformata ⇤(f ). Osservia- mo che per quanto sopra provato abbiamo che eventualmente ⇢(f ) = 1, in tale caso avremo che S(f ) ⌘ C.

Diremo nel seguito che una funzione f : I ! C (con R ⁺ ⇢ I) `e trasformabile secondo Laplace o brevemente L-trasformabile se esiste s 2 C tale la funzione f(t)e ^st risulti sommabile in R ⁺ , ovvero per la quale S(f ) 6= ;.

Osserviamo che data una funzione f (t) definita in I R ⁺ ed L-trasformabile, posto f 0 (t) =

( f (t) se t 0 0 se t < 0,

135

risulta ⇤(f 0 )(s) = ⇤(f )(s) per ogni s 2 S(f). Nel seguito penseremo quindi ad una funzione L-trasformabile come ad una funzione nulla per t < 0.

Come primo esempio, calcoliamo la trasformata di Laplace della funzione di Heavi- side:

H(t) := _R ⁺ (t) =

( 1 se t 0 0 se t < 0 .

Osserviamo innanzitutto che e ^st risulta sommabile in R ⁺ se e solo se Re(s) > 0.

Infatti, per s 6= 0 abbiamo che Z

R ⁺ e ^st dt = Z _{+ 1}

0

e ^st dt =

 e ^st s

+ 1 0

= 1

s lim

t !+1

e ^st s . Osserviamo allora che il limite

t!+1 lim e ^st

esiste finito se e solo se Re(s) > 0 ed in tal caso risulta nullo. Infatti

t!+1 lim e ^Re(s)t = 8 >

> <

> >

:

0 se Re(s) > 0 +1 se Re(s) < 0 1 se Re(s) = 0

Abbiamo quindi che se Im(s) 6= 0, allora e ^st = e ^Re(s)t (cos(Im(s)t) sin(Im(s)t) ammette limite se e solo se Re(s) > 0. Otteniamo allora che S(H) = {s 2 C | Re(s) > 0} e ⇢(H) = 0 e che per s 2 S(H) da quanto sopra risulta

⇤(H)(s) = Z

R ⁺ e ^st dt = 1 s .

Vediamo ora di calcolare la trasformata di Laplace della funzione esponenziale e ^at , a 2 C. Per quanto gi`a osservato nel precedente esempio, la funzione e ^at e ^st = e ^{(s a)t} risulta sommabile in R ⁺ se e solo se Re(s a) > 0 ovvero se e solo se Re(s) > Re(↵). Avremo dunque che S(e ^at ) = {s 2 C | Re(s) > Re(a)} e che

⇢(e ^at ) = Re(a). Per s > Re(a) abbiamo che la trasformata di Laplace di e ^at risulta

⇤(e ^at )(s) = Z

[0,+ 1)

e ^at e ^st dt = Z _{+ 1}

0

e ^{(s a)t} dt

=

"

e ^{(s a)t}

s a

# ₊₁

0

= 1

s a lim

t !+1

e ^{(s a)t}

s a = 1

s a . Calcoliamo ora la trasformata di Laplace dell’impulso di durata h > 0:

f h (t) := _[0,h) (t) =

( 1 se t 2 [0, h),

0 altrimenti .

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 137

abbiamo che f _h (t)e ^st risulta sommabile in R ⁺ per ogni s 2 C (dunque S(f h ) = C e ⇢(f _h ) = 1) e che per s 6= 0 si ha

⇤(f h )(s) = Z _h

0

e ^st dt =

 e ^st s

h 0

= 1 e ^hs s mentre ⇤(f h )(0) = h.

Vale il seguente risultato

Teorema 8.1. Sia f L-trasformabile con ascissa di convergenza ⇢(f). Allora per ogni p 0 > ⇢(f ), ⇤(f ) risulta limitata nel semipiano S 0 = {s 2 C | Re(s) p 0 } ed inoltre

Re(s) lim !+1 ⇤(f )(s) = 0.

Dim. Per s 2 C con Re(s) p 0 risulta

|⇤(f)(s)|  Z

R

|f(t)e ^st | dt = Z

R

|f(t)|e ^Re(s)t dt  Z

R

|f(t)|e ^p

^t dt ed essendo p 0 > ⇢(f ) si ha che R

R

|f(t)|e ^p

^t dt = C 0 2 R. Ne segue allora che per ogni s 2 C con Re(s) p 0 risulta |⇤(f)(s)|  C 0 .

Per provare che ⇤(f )(s) ! 0 per Re(s) ! +1, consideriamo una successione (s n ) n 2N tale che Re(s n ) ! +1 per n ! +1 e poniamo f ⁿ (t) = f (t)e ^s

^t . Fissato p 0 > ⇢(f ), sia ⌫ 2 N tale che Re(s n ) p 0 per ogni n ⌫. Allora per ogni t 2 R ⁺ e ogni n ⌫ si ha

|f n (t)| = |f(t)e ^s

^t | = |f(t)|e ^Re(s

^)t  |f(t)|e ^p

^t 2 L ¹ ( R ⁺ ).

Inoltre, essendo per ogni t > 0 e ^Re(s

^)t ! 0 per n ! +1, ne segue che per q.o. t 2 R ⁺ risulta f n (t) = f (t)e ^s

^t ! 0 per n ! +1. Dal Teorema di convergenza dominata concludiamo che

⇤(f )(s n ) = Z

R

f n (t) dt ! 0, per n ! +1.

⇤ Non `e in generale vero che ⇤(f )(s) ! 0 per |s| ! +1. Ad esempio per l’impulso di durata 1 si ha che

⇤( _[0,1) )(s) = 1 e ^s

s ! +1 per s 2 R, s ! 1.

Il prossimo risultato prova che la trasformata di Laplace risulta olomorfa (e dunque continua) nel suo dominio. Vale infatti

Teorema 8.2. (olomorfia della Trasformata di Laplace)

Sia f L-trasformabile con ascissa di convergenza ⇢(f). Allora ⇤(f)(s) risulta olo- morfa nel semipiano Re(s) > ⇢(f ). Precisamente, la funzione g(t) = tf (t) risulta L-trasformabile con ascissa di convergenza ⇢(g) = ⇢(f) e vale

⇤(f ) ⁰ (s) = ⇤(g)(s), 8s 2 C, Re(s) > ⇢(f), ovvero

d ds

Z

[0,+ 1)

f (t)e ^st dt = Z

[0,+ 1)

tf (t)e ^st dt, 8s 2 C, Re(s) > ⇢(f).

Dim. Proviamo innanzitutto che la funzione g(t) = tf (t) `e L-trasformabile con ⇢(g) = ⇢(f).

Infatti, se Re(s) > ⇢(f ), siano a, b 2 R tali che Re(s) > a > b > ⇢(f). Essendo a > b, si ha che te ^at = o(e ^bt ) per t ! +1, e dunque che esiste C > 0 tale che te ^at < Ce ^tb per ogni t > 0.

Allora essendo Re(s) > a e b > ⇢(f ), risulta

|g(t)e ^st | = |tf(t)e ^st |  |f(t)|te ^at  C|f(t)|e ^bt 2 L ¹ ( R ⁺ ) 8t > 0.

Quindi g `e L-trasformabile con ⇢(f) ⇢(g). La diseguaglianza opposta `e immediata essendo

|f(t)e ^st | < |tf(t)e ^st | 2 L ¹ ( R ⁺ ) per ogni t > 1 e s 2 C con Re(s) > ⇢(g).

Per concludere la dimostrazione `e sufficiente applicare il Teorema sulla derivabilit` a dell’integrale dipendente da un parametro. Infatti la funzione h(s, t) = f (t)e ^st risulta derivabile rispetto ad s

con @

@s h(s, t) = tf (t)e ^st , 8s 2 C

Fissato b > ⇢(f ), procedendo come sopra, si ottiene che per ogni s 2 C con Re(s) > b esiste C > 0 (indipendente da s) tale che risulta

| @

@s h(s, t) | = |tf(t)e ^st |  C|f(t)|e ^bt 2 L ¹ ( R ⁺ ) 8t > 0.

Ne segue allora che

⇤(f )(s) = Z

R

f (t)e ^st dt risulta derivabile in ogni s 2 C con Re(s) > b e

⇤(f ) ⁰ (s) = d ds

Z

[0,+ 1)

f (t)e ^st dt = Z

[0,+ 1)

tf (t)e ^st dt.

Essendo b > ⇢(f ) arbitrario si ottiene la tesi. ⇤

Dai risultati sulle funzioni olomorfe abbiamo allora che ⇤(f )(s) risulta di classe C ¹ nel semipiano Re(s) > ⇢(f ) ed applicando iterativamente il precedente risultato otteniamo che ⇢(t ^(m) f (t)) = ⇢(f ) per ogni m 2 N e

⇤(f ) ^(m) (s) = ( 1) ^m ⇤(t ^m f (t))(s), s 2 C, Re(s) > ⇢(f).

Ad esempio, ricordando che ⇤(e ^at ) = _{s a} ¹ per Re(s) > Re(a) otteniamo che per tali valori risulta

⇤(te ^at ) = ⇤(e ^at ) ⁰ (s) = 1 (s a) ² e pi` u in generale che

⇤(t ^m e ^at ) = ( 1) ^m ⇤(e ^at ) ^(m) (s) = m!

(s a) ^m+1 .

Infine, ricordando che la trasformata della funzione di Heaviside H(t) `e ⇤(H)(s) = ¹ _s , per ogni Re(s) > 0, e che

⇤(H) ⁽ⁿ⁾ (s) = ( 1) ⁿ n!

s ⁿ⁺¹ , posto

P n (t) = t ⁿ H(t) =

( t ⁿ se t 0,

0 se t < 0,

1. DEFINIZIONE E PRIME PROPRIET ` A 139

risulta

⇤(P n )(s) = ( 1) ⁿ ⇤(H) ⁽ⁿ⁾ (s) = n!

s ⁿ⁺¹ , 8n 2 N.

In particolare abbiamo che Z ₊₁

0

t ⁿ e ^t dt = ⇤(H n )(1) = n!.

Osservato che il precedente integrale risulta convergente anche se consideriamo potenze t ^x con x > 1, per ogni x > 0 risulta definita la funzione

(x) :=

Z + 1 0

t ^{x 1} e ^t dt, 8x > 0

detta funzione gamma di Eulero e da quanto sopra osservato risulta (n + 1) = n!

per ogni n 2 N.

Abbiamo inoltre

Teorema 8.3. (Trasformata di Laplace di funzioni periodiche)

Sia f (t) funzione periodica per t 0 di periodo T > 0. Se f (t) risulta sommabile in [0, T ] allora f risulta L-trasformabile e per Re(s) > 0 risulta

⇤(f )(s) = 1 1 e ^st

Z

[0,T ]

f (t)e ^st dt.

Dim. Dall’additivit` a dell’integrale abbiamo

⇤(f )(s) = Z

[0,+1)

f (t)e ^st dt = X

k 0

Z

[kT,(k+1)T ]

f (t)e ^st dt

ed operando la sostituzione ⌧ = t kT in ciascuno degli integrali, essendo f (t) periodica di periodo T ne segue

⇤(f )(s) = X

k 0

Z

[0,T ]

f (⌧ )e ^{s⌧ ksT} d⌧ = X

k 0

e ^ksT Z

[0,T ]

f (⌧ )e ^s⌧ d⌧.

La serie P

k 0 e ^ksT `e serie geometrica di ragione e ^sT e risulta convergente se e solo se |e ^sT | = e ^Re(s)T < 1 ovvero se e solo se Re(s) > 0. Quindi, se Re(s) > 0 otteniamo

⇤(f )(s) = 1 1 e ^sT

Z

[0,T ]

f (⌧ )e ^s⌧ d⌧.

⇤ Ad esempio, consideriamo l’onda quadra

q(t) =

( 1 se t 2 [2n, 2n + 1], n 2 N, 0 altrimenti.

Abbiamo che f (t) risulta periodica di periodo 2 e dal precedente risultato abbiamo

⇤(q)(s) = 1 1 e ^2s

Z

[0,2]

q(t)e ^st dt = 1 1 e ^2s

Z

[0,1]

e ^st dt

= 1

1 e ^2s

 e ^st s

1 0

= 1

1 e ^2s 1 e ^s

s = 1

s(1 + e ^s )

2. Propriet` a elementari

Si ha immediatamente che se ↵ 2 C e f `e L-trasformabile allora

⇤(↵f )(s) = ↵⇤(f )(s), 8s 2 S(f).

Ad esempio, consideriamo l’impulso unitario di durata h:

h (t) = 1

h ^[0,h) (t) = ( ₁

h se t 2 [0, h), 0 altrimenti.

Ricordando che la trasformata di Laplace dell’impulso di durata h, _[0,h) , `e

⇤( _[0,h) )(s) =

( _{1 e hs}

s se s 6= 0,

h se s = 0,

da quanto sopra otteniamo

⇤( _h )(s) = 1

h ⇤( _[0,h) )(s) =

( _{1 e} hs

hs se s 6= 0,

1 se s = 0.

Osserviamo ora che per ogni s 2 C, risulta

h lim !0 ⇤( _h )(s) = Z

R h (t)e ^st dt = 1 mentre

h!0 lim h (t) =

( 0 se t 6= 0, + 1 se t = 0 Si pu` o provare che per ogni funzione '(t) continua in R risulta

h lim !0

Z

R h (t)'(t) dt = '(0)

L’operatore ' 2 C(R) 7! '(0) viene detto delta di Dirac. Si pu`o dimostrare che non esiste alcuna funzione (t) tale che

Z

R (t)'(t) dt = '(0)

Viene comunque impropriamente indicata con (t) la delta di Dirac e si pone Z

R (t)'(t) dt := lim

h!0

Z

R h (t)'(t) dt = '(0)

La delta di Dirac e i precedenti concetti possono essere formalizzati nell’ambito della teoria delle distribuzioni.

Si ha inoltre che l’applicazione ⇤ `e lineare e precisamente vale il seguente risultato Proposizione 8.1. Se f e g sono L-trasformabili, con ascissa di convergenza ri- spettivamente ⇢(f ) e ⇢(g), allora f + g risulta L-trasformabile con ⇢(f + g) = max{⇢(f); ⇢(g)} e vale

⇤(f + g)(s) = ⇤(f )(s) + ⇤(g)(s), 8s > ⇢(f + g).

2. PROPRIET ` A ELEMENTARI 141

Dim. La dimostrazione segue dalla linearit` a dell’integrale una volta osservato che

S(f ) \ S(g) = {s 2 C | Re(s) ⇢(f ) e Re(s) ⇢(g)} = {s 2 C | Re(s) max{⇢(f), ⇢(g)}}.

dove le precedenti diseguaglianze possono essere strette. ⇤

Ad esempio, ricordando che ⇤(e ^at )(s) = _{s a} ¹ per s 2 C con Re(s) > Re(a), otteniamo che per ogni ! 2 R e s 2 C con Re(s) > 0 risulta

⇤(e ^i!t )(s) = 1

s i! e ⇤(e ^i!t )(s) = 1 s + i!

da cui, essendo cos(!t) = ^{e i!t +e} ₂ ^i!t e sin(!t) = ^{e i!t} _2i ^{e i!t} otteniamo

⇤(cos(!t))(s) = 1 2 ( 1

s i! + 1

s + i! ) = s

s ² + ! ² , Re(s) > 0, mentre

⇤(sin(!t))(s) = 1 2i ( 1

s i!

1

s + i! ) = !

s ² + ! ² Re(s) > 0.

In particolare si ha

⇤(cos t)(s) = s

s ² + 1 e ⇤(sin t)(s) = 1

s ² + 1 , Re(s) > 0.

Dal Teorema sull’olomorfia della trasformata, per Re(s) > 0 otteniamo allora che

⇤(t sin(!t)) = ⇤(sin(!t)) ⁰ (s) = 2s!

(s ² + ! ² ) ² mentre

⇤(t cos(!t)) = ⇤(cos(!t)) ⁰ (s) = s ² ! ² (s ² + ! ² ) ² . Analogalmente, per ogni ! 2 R e s 2 C con Re(s) > ! risulta

⇤(e ^!t )(s) = 1

s ! e ⇤(e ^!t )(s) = 1 s + !

da cui, ricordando che cosh(!t) = ^{e !t +e} ₂ ^!t e sinh(!t) = ^{e !t} ₂ ^{e !t} , ! 2 R otteniamo che per s 2 C con Re(s) > ! risulta

⇤(cosh(!t))(s) = s

s ² ! ² e ⇤(sinh(!t))(s) = ! s ² ! ² .

Riguardo al comportamento della trasformata rispetto a traslazioni e omotetie, come nel caso della trasformata di Fourier abbiamo

Proposizione 8.2. Se f `e funzione L-trasformabile con ascissa di convergenza ⇢(f), allora

(i) ⇤(f (at))(s) = ¹ _a ⇤(f (t))( ^s _a ) per ogni a > 0 e s 2 C con Re(s) > a⇢(f);

(ii) ⇤(f (t a))(s) = e ^as ⇤(f (t))(s) per ogni a > 0 e s 2 C con Re(s) > ⇢(f);

(iii) ⇤(e ^at f (t))(s) = ⇤(f )(s a) per ogni a 2 C e s 2 C con Re(s) > ⇢(f) +

Re(a).

Dim. Possiamo provare (i) operando la sostituzione ⌧ = at, ottenendo

⇤(f (at))(s) = Z

[0,+ 1)

f (at)e ^st dt = 1 a Z

[0,+ 1)

f (⌧ )e

^⌧ d⌧ = 1 a ⇤(f )( s

a ), per ogni s 2 C con Re( ^s a ) = ^Re(s) _a > ⇢(f ).

Per provare (ii), osserviamo che essendo f (t) = 0 per t < 0, avremo che f (t a) = 0 per t < a.

Posto allora ⌧ = t a otteniamo

⇤(f (t a))(s) = Z

[0,+1)

f (t a)e ^st dt = Z

[0,+1)

f (⌧ )e ^{s⌧ sa} d⌧ = e ^as ⇤(f )(s), per ogni s 2 C con Re(s) > ⇢(f).

Infine, per provare (iii) abbiamo

⇤(e ^at f (t))(s) = Z

[0,+ 1)

f (t)e ^st+at dt = Z

[0,+ 1)

f (t)e ^{(s a)t} dt = ⇤(f )(s a), per ogni s 2 C con Re(s a) > ⇢(f ).

Ad esempio, da (iii) con a = ±i!, essendo cos(!t) = ^{e i!t} ₂ ^{e i!t} e sin(!t) = ^{e i!t} _2i ^{e i!t} , otteniamo che per ogni funzione f L-trasformabile e ogni s 2 C con Re(s) > ⇢(f) risulta

⇤(f (t) cos(!t))(s) = 1

2 (⇤(f )(s i!) + ⇤(f )(s + i!)) e

⇤(f (t) sin(!t))(s) = 1

2i (⇤(f )(s i!) ⇤(f )(s + i!)).

Da (iii) otteniamo inoltre che per Re(s) > Re(a)

⇤(e ^at sin(!t))(s) = ⇤(sin(!t))(s a) = ! (s a) ² + ! ² e

⇤(e ^at cos(!t))(s) = ⇤(cos(!t))(s a) = s a (s a) ² + ! ² . In particolare, dalla prima ne segue che se c ^b ₄ ² > 0 e Re(s) > ^b ₂ allora

1

s ² + bs + c = 1

(s + ^b ₂ ) ² + ! ² = 1

! ⇤(sin(!t))(s + b 2 ) = 1

! ⇤(e ^{b 2 t} sin(!t))(s) dove abbiamo posto ! ² = c ^b ₄ ² .

Abbiamo inoltre

Teorema 8.4. (Trasformata di Laplace della convoluzione)

Siano f e g funzioni L-trasformabili nulle per t < 0, allora f ⇤ g `e L-trasformabile con ⇢(f ⇤g)  max{⇢(f), ⇢(g)} e per ogni s 2 C con Re(s) > max{⇢(f), ⇢(g)} risulta

⇤(f ⇤ g)(s) = ⇤(f)(s)⇤(g)(s).

2. PROPRIET ` A ELEMENTARI 143 Dim. Abbiamo

Z

R

f ⇤ g(t)e ^st dt = Z

R

( Z

R f (t ✓)g(✓) dt)e ^st dt = Z

R

( Z

R f (t ✓)g(✓)e ^s✓ d✓)e ^{s(t ✓)} dt.

Osserviamo allora che I =

Z

R ( Z

R

|f(t ✓)e ^{s(t ✓)} | dt)|g(✓)e ^s✓ | d✓ = Z

R

( Z

R

e ^{Re(s)(t ✓)} |f(t ✓) | d✓)|g(✓)|e ^Re(s)✓ d✓

Posto ⌧ = t ✓, per s 2 C con Re(s) > max{⇢(f); ⇢(g)}, risulta allora I =

Z

R

( Z

R

|f(⌧)|e ^Re(s)⌧ d⌧ )|g(✓)|e ^Re(s)✓ d✓ = Z

R

|f(⌧)|e ^Re(s)⌧ d⌧

Z

R

|g(✓)|e ^Re(s)✓ d✓ < +1 Dal Teorema di Tonelli segue allora che h(t, ✓) = f (t ✓)g(✓)e ^st risulta sommabile in R ⇥ R. Ne segue allora f ⇤ g(t)e ^st 2 L ¹ ( R ⁺ ) per ogni Re(s) > max {⇢(f); ⇢(g)} e per tali valori si ha

⇤(f ⇤ g)(s) = Z

R

( Z

R f (t ✓)g(✓)e ^s✓ d✓)e ^{s(t ✓)} dt

= Z

R

( Z

R

f (t ✓)e ^{s(t ✓)} dt)g(✓)e ^s✓ d✓

= Z

R

f (⌧ )e ^s⌧ d⌧

Z

R

g(✓)e ^s✓ d✓ = ⇤(f )(s)⇤(g)(s).

⇤ Vediamo infine di determinare la trasformata della derivata, risultato che sar` a par- ticolarmente utile per le applicazioni alla risoluzione di equazioni di↵erenziali:

Teorema 8.5. (Trasformata di Laplace della derivata)

Sia f (t) funzione continua e C ¹ a tratti in R ⁺ con f ⁰ (t) L-trasformabile. Allora f (t) risulta L-trasformabile con ⇢(f)  max{⇢(f ⁰ ), 0 } e per ogni s 2 C con Re(s) >

max{⇢(f ⁰ ); 0} risulta

⇤(f ⁰ )(s) = s⇤(f )(s) f (0 ⁺ ).

dove f (0 ⁺ ) = lim

t !0 ⁺ f (t).

Dim. Osserviamo che dal Teorema fondamentale del calcolo per ogni t > 0 risulta f (t) = f (0 ⁺ ) +

Z t 0

f ⁰ (✓) d✓.

Inoltre, essendo f (t) = 0 per t < 0 e ricordando che H(t) = _R

(t0, otteniamo (H ⇤ f ⁰ )(t) =

Z

R H(t ✓)f ⁰ (✓) d✓ = Z t

0

f ⁰ (✓) d✓

Ne segue allora che per t 0 risulta

f (t) = f (0 ⁺ )H(t) + (H ⇤ f ⁰ )(t)

Dal Teorema sulla trasformata del prodotto di convoluzione otteniamo allora che f risulta L- trasformabile con ⇢(f ) max {⇢(H); ⇢(f ⁰ ) } = max{0, ⇢(f ⁰ ) } e che vale

⇤(f )(s) = f (0 ⁺ )⇤(H)(s) + ⇤(H)(s)⇤(f ⁰ )(s).

Essendo ⇤(H)(s) = ¹ _s per ogni Re(s) > 0, ne segue che

s⇤(f )(s) = f (0 ⁺ ) + ⇤(f ⁰ )(s), 8s 2 C, Re(s) > max{0, ⇢(f ⁰ ) }.

⇤

Iterando il precedente risultato si ottiene che se f (t) risulta di classe C ^m in R ⁺ , nulla per t < 0 con f ^(m) L-trasformabile, allora f ^(k) risulta L-trasformabile per ogni k = 0, ..., m 1 e vale

⇤(f ^(m) )(s) = s ^m ⇤(f )(s) s ^{m 1} f (0 ⁺ ) s ^{m 2} f ⁰ (0 ⁺ ) ... f ^{(m 1)} (0 ⁺ )

= s ^m ⇤(f )(s)

m 1 X

k=0

s ^k f ^{(m k 1)} (0 ⁺ )

per ogni s 2 C con Re(s) > max{⇢(f ^(m) ); 0}.

Osserviamo inoltre che dal precedente risultato, ricordando che ⇤(g)(s) ! 0 per Re(s) ! +1 per ogni g L-trasformabile, si ottiene che nelle precedenti ipotesi risulta

Re(s)!+1 lim s⇤(f )(s) = f (0 ⁺ ).

Tale risultato prende il nome di Teorema del valore iniziale. Si pu` o inoltre provare che se esiste finito f (+1) := lim

t!+1 f (t), allora

s!0, Re(s)>0 lim s⇤(f )(s) = f (+ 1), vale cio`e il Teorema del valore finale.

Tabella 1. Propriet` a della Trasformata di Laplace

⇤(f ) ^(m) (s) = ( 1) ^m ⇤(t ^m f (t))(s) Re(s) > ⇢(f )

⇤(↵f + g)(s) = ⇤(f )(s) + ⇤(g)(s) Re(s) max {⇢(f), ⇢(g)}, ↵, 2 C

⇤(f (at))(s) = _a ¹ ⇤(f )( ^s _a ) Re(s) > a⇢(f ), a > 0

⇤(f (t a)) = e ^sa ⇤(f )(s) Re(s) > ⇢(f ), a > 0

⇤(e ^at f (t))(s) = ⇤(f )(s a) Re(s) > ⇢(f ) + Re(a), a 2 C

⇤(cos(!t)f (t))(⌫) = ¹ ₂ (⇤(f )(s i!) + ⇤(f )(s + i!)) Re(s) > ⇢(f ), a 2 R

⇤(sin(!t)f (t))(⌫) = _2i ¹ (⇤(f )(⌫ i!) ⇤(f )(⌫ + i!)) Re(s) > ⇢(f ), a 2 R

⇤(f ⇤ g)(s) = ⇤(f)(s)⇤(g)(s) Re(s) > max {⇢(f); ⇢(g)}

⇤(f ^(m) )(⌫) = s ^m ⇤(f )(s) P m 1

k=0 s ^k f ^{(m k 1)} (0 ⁺ ) Re(s) > max {⇢(f ^(m) ); 0 }

3. CONFRONTO CON LA TRASFORMATA DI FOURIER E FORMULA DI INVERSIONE 145

3. Confronto con la Trasformata di Fourier e Formula di Inversione Ricordiamo che data f 2 L ¹ ( R, C) abbiamo denotato con

(f )(⌫) = Z

R f (t)e ^2⇡i⌫t dt, ⌫ 2 R,

la sua trasformata di Fourier. Supposta f (t) L-trasformabile con ascissa di conver- genza ⇢(f ), per ↵ > ⇢(f ) poniamo

g _↵ (t) =

( f (t)e ^↵t se t 0, 0 se t < 0.

Risulta allora che g ↵ (t) `e sommabile in R e per ogni ↵ > ⇢(f) e ⌫ 2 R si ha (g ↵ )(⌫) =

Z

R ⁺ f (t)e ^↵t e ^2⇡i⌫t dt = Z

R ⁺ f (t)e ^{(↵+2⇡i⌫)t} dt = ⇤(f )(↵ + 2⇡i⌫).

Ricordiamo ora che per la formula di inversione della trasformata di Fourier, se (g ↵ ) 2 L ¹ (R, C) allora g ↵ 2 C 0 (R, C) e

g _↵ (t) = Z

R (g _↵ )(⌫)e ^2⇡i⌫t d⌫, 8t 2 R, 8t 2 R, ovvero, per t > 0, risulta

f (t)e ^↵t = Z

R ⇤(f )(↵ + 2⇡i⌫)e ^2⇡i⌫t d⌫

da cui, moltiplicando entrambi i membri per e ^↵t e ponendo ! = 2⇡⌫ si deduce f (t) =

Z

R ⇤(f )(↵ + 2⇡i⌫)e ^{(↵+2⇡i⌫)t} d⌫ = 1 2⇡

Z

R ⇤(f )(↵ + i!)e ^(↵+i!)t d!.

Si ha allora

Teorema 8.6. (Formula di inversione)

Sia f (t) funzione L-trasformabile (nulla per t < 0) con ascissa di convergenza ⇢(f).

Se per ↵ > ⇢(f ) si ha che ⇤(f )(↵ + i!) risulta sommabile rispetto a ! in R, allora f (t) `e continua e

f (t) = 1 2⇡

Z

R ⇤(f )(↵ + i!)e ^(↵+i!)t d!, 8t 0.

Ad esempio, consideriamo la funzione sin t. Abbiamo visto che per ogni ↵ > 0 risulta

⇤(sin t)(↵ + i!) = 1

1 + (↵ + i!) ² = 1

1 + ↵ ² ! ² + 2↵! ⇠ 1

! ² , ! ! ±1.

Dunque ⇤(sin t)(↵ + i!) risulta sommabile rispetto a ! in R e dalla formula di inversione

sin t = 1 2⇡

Z

R

e ^(↵+i!)t

1 + (↵ + i!) ² d!, 8t 0, 8↵ > 0.

Osserviamo per` o che la condizione ⇤(f )(↵ + i!) sommabile rispetto a ! in R non `e invece verificata dalla trasformata di Laplace di cos(t),

⇤(cos t)(s) = s 1 + s ² .

Vale per` o il seguente risultato, che fornisce un analogo del Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier.

Teorema 8.7.

Se f (t) `e funzione C ¹ a tratti in R ⁺ , L-trasformabile allora per ogni ↵ > ⇢(f) risulta f (t ⁺ ) + f (t )

2 = 1

2⇡ v.p.

Z ₊₁

1

⇤(f )(↵ + i!)e ^(↵+i!)t d!, 8t 0.

Quindi ad esempio otteniamo che per ogni ↵ > 0 e t 0 risulta cos t = 1

2⇡ v.p.

Z + 1 1

↵ + i!

1 + (↵ + i!) ² e ^(↵+i!)t d!.

Vediamo ora come esempio di determinare, se esiste, la funzione f (t) per la quale

⇤(f )(s) = 1 s ² (s ² + 1) .

Osservato che ⇤(f )(s) risulta sommabile in R rispetto alla parte immaginaria di s, dalla formula di inversione abbiamo che

f (t) = 1 2⇡

Z

R

e ^(↵+i!)t

(↵ + i!) ² ((↵ + i!) ² + 1) d!, t 0.

Scelto ↵ = 1 (ma potremo scegliere un qualunque ↵ > 0) e posto g(z) = e ^zt

z ² (z ² + 1) otteniamo

f (t) = 1 2⇡

Z

R

e ^(1+i!)t

(1 + i!) ² ((1 + i!) ² + 1) d! = 1 2⇡

Z

R g(1 + i!)d!, t 0.

Calcoliamo l’ultimo integrale utilizzando il metodo dei residui. La funzione g(z) ri- sulta olomorfa in C eccetto che nei poli z 0 = 0 e z _± = ±i. Preso R > 1, consideriamo la curva R frontiera positivamente orientata del domino D R = {z 2 C | |z 1 | <

R, Re(z)  1}. Dal Teorema dei residui abbiamo allora che per ogni R > 1 risulta 1

2⇡i Z

R

g(z) dz = Res(g, 0) + Res(g, i) + Res(g, i).

Essendo

Res(g, 0) = lim

z!0 D(z ² g(z)) = lim

z!0 D( e ^zt

z ² + 1 ) = lim

z!0

te ^zt (1 + z ² ) e ^zt 2z

(z ² + 1) ² = t

3. CONFRONTO CON LA TRASFORMATA DI FOURIER E FORMULA DI INVERSIONE 147

mentre

Res(g, ±i) = e ^zt

2z(z ² + 1) + 2z 3 z=±i = ±ie ^±it 2 otteniamo

1 2⇡i

Z

R

g(z) dz = t + ie ^it

2 + ie ^it

2 = t sin t, 8R > 1.

Osserviamo ora che _R = [1 iR, 1 + iR] [ R dove _R (✓) = 1 + Re ^i✓ , ✓ 2 [ ^⇡ ₂ , ^3⇡ ₂ ].

Abbiamo che

R!+1 lim Z

R

g(z) dz = 0.

Infatti osserviamo che essendo t 0 e Re(z)  1 per ogni s 2 R , otteniamo che |e ^zt | = e ^{Re (z)t}  e ^t per ogni z 2 ^R . Allora, poich`e |z| |z 1 | 1 = R 1 e |z ² + 1 | |z| ² 1 (R 1) ² 1 per ogni z 2 R , otteniamo

|g(z)|  e ^t

(R 1) ² ((R 1) ² 1) , z 2 R

e dunque

| Z

R

g(z) dz |  e ^t

(R 1) ² ((R 1) ² 1) Z

R

dz  2⇡Re ^t

(R 1) ² ((R 1) ² 1) ! 0, per R ! +1.

Inoltre, essendo (!) = 1 + i! con ! 2 [ R, R] una parametrizzazione del segmento [1 iR, 1 + iR], si ha che

Z

[1 iR,1+iR]

g(z) dz = i Z R

R

g(1 + i!) d!.

Ne concludiamo allora che per t 0 risulta f (t) = 1

2⇡

Z

R g(1 + i!)d! = 1 2⇡ lim

R !+1

Z R R

g(1 + i!)d!

= 1 2⇡i lim

R!+1

Z

[1 iR,1+iR]

g(z) dz = lim

R!+1

1 2⇡i

Z

R

g(z) dz = t sin t.

Dalla formula di inversione segue in particolare che la trasformata di Laplace risulta iniettiva. Infatti se f (t) e g(t) risultano L-trasformabili con ⇤(f)(s) = ⇤(g)(s) per ogni s 2 C con Re (s) > max{⇢(f); ⇢(g)}, allora f g risulta L-trasformabile con

⇤(f g)(s) = 0 per ogni Re (s) > max {⇢(f); ⇢(g)}. In particolare ⇤(f g)(↵ + i!) risulta sommabile rispetto a ! in R per ogni ↵ > max{⇢(f); ⇢(g)} e dalla formula di inversione si ottiene che f (t) = g(t) per ogni t 0.

Utilizzando l’iniettivit` a della trasformata e le propriet` a elementari, deduciamo nuo- vamente la funzione f (t) per la quale risulta

⇤(f )(s) = 1 s ² (s ² + 1) . Osserviamo che

1

s ² (s ² + 1) = 1 s ²

1

1 + s ²

e che per Re(s) > 0 abbiamo 1

s ² = ⇤(t)(s) e 1

1 + s ² = ⇤(sin t)(s) Ne segue allora che

⇤(f )(s) = ⇤(t sin t)(s)

e dunque, dall’iniettivit` a della trasformata, che per t 0 risulta f (t) = t sin t.

Tabella 2. Alcune Trasformate di Laplace

f (t) per t 0 ⇤(f )(s) ⇢(f )

1 ¹ _s 0

e ^at _{s a} ¹ Re(a)

[0,h) (t)

( _{1 e} hs

s s 6= 0

h s = 0 1

1

h [0,h) (t)

( _{1 e hs}

hs s 6= 0

1 s = 0 1

sin(!t) _s 2 +! ^{! 2} 0

cos(!t) _s 2 +! ^{s 2} 0

sinh(!t) _s 2 ^! ! ² !

cosh(!t) _s 2 ^s ! ² !

e ^at sin(!t) _{(s a)} ^! 2 +! ² Re(a) e ^at cos(!t) _{(s a)} ^{s a} 2 +! ² Re(a)

t ⁿ _s n+1 ^n! 0

e ^at t ⁿ _{(s a)} ^n! n+1 Re(a)

t sin(!t) _(s 2 ^2s! +! ² ) ² 0

t cos(!t) _(s ^s 2 ² +! ^{! 2 2} ) ² 0