Le grandezze fisiche

Le grandezze fisiche

Prof. Daniele Ippolito Liceo “Filippo Buonarroti”, Pisa

a.s. 2019/20

1 Cos’` e la fisica

Fisica deriva dal greco physis, che vuol dire “natura”. La fisica nasce come studio della natura. I primi uomini ad occuparsi della natura furono i filosofi dell’antica Grecia, che osservarono alcuni fenomeni, come l’alternarsi del d`ı e della notte o la caduta di un oggetto, e provarono ad interpretarli, cio`e a descrivere dei modelli teorici che spiegassero perch´e tali fenomeni si manifestassero.

Da allora, l’obiettivo della fisica `e rimasto quello di interpretare la realt`a che ci cir- conda. Tuttavia, la fisica `e diventata una scienza e non `e pi` u una “filosofia della natura”, come ancora la definiva Newton (che pure era uno scienziato a tutti gli effetti) nel Sei- cento. Essa si `e distinta da altre scienze che studiano la natura, come la geologia o la biologia, per il suo metodo scientifico e per il suo linguaggio matematico.

Possiamo dire che la fisica ` e la scienza che studia le relazioni matematiche che descrivono la natura. ` E una scienza teorica, nel senso che si prefigge di definire delle teorie, espresse in un linguaggio matematico, che possano interpretare determinati fenomeni. Ma, a differenza della matematica, `e anche una scienza sperimentale, perch´e le sue teorie hanno bisogno di essere verificate con l’esperienza.

1.1 Il metodo sperimentale galileiano

Il padre della fisica nel senso moderno del termine, ossia della fisica come scienza, `e stato Galileo Galilei. Oltre ad esser stato autore di grandi scoperte in diversi campi del sapere, come lo studio dei moti o le osservazioni astronomiche, Galileo ha definito per primo il metodo sperimentale di cui la fisica si avvale per formulare le sue teorie. Esso si articola in diversi passaggi:

1. In primo luogo, un fisico comincia con l’osservazione di un fenomeno, quale pu`o essere, ad esempio, il rallentamento di un corpo che scivola su una superficie piana orizzontale.

2. Si procede poi con la formulazione di un’ipotesi che serva a spiegare tale fenomeno.

Seguendo ancora l’esempio considerato, potremmo supporre che il corpo rallenti

perch´e frenato da una forza di attrito esercitata su di esso dalla superficie e potrem-

mo scrivere l’equazione di tale forza. Potremmo ipotizzare che la forza sia pro-

porzionale alla massa del corpo e che dipenda dalla natura delle sue superfici a

contatto.

3. Si passa, in seguito, alla verifica sperimentale di tale ipotesi. Disponendo di adeguati strumenti di misura, di cui in genere `e fornito un laboratorio, si cerca di appurare se l’ipotesi formulata sia vera oppure no. Nel primo caso, si passa al punto successivo. Nel secondo caso, bisogna formulare una nuova ipotesi, cio´e tornare al punto precedente e rifare una verifica sperimentale, fintanto che essa non dia un esito positivo.

4. Una volta confermata la nostra ipotesi, possiamo procedere alla formulazione di una legge. La nostra legge `e valida fintanto che nuovi esperimenti in nuove con- dizioni, magari eseguiti da altri sperimentatori, non falsifichino la nostra ipotesi. In tal caso, si cerca di definire una nuova legge per interpretare lo stesso fenomeno.

E questo il metodo di cui i fisici si sono serviti per scoprire tutto ci`o che sappiamo ` oggi sui fenomeni naturali, descritti in termini matematici.

1.2 I campi della fisica

Come abbiamo detto, la fisica si occupa dei fenomeni naturali. Si pu`o provare a classificare tali fenomeni e a definire alcuni campi di studio della fisica.

Uno dei primi interessi dei fisici `e stato lo studio dei moti, che ha dato vita alla meccanica. Meccanica deriva dal greco mechane (macchina) ed essa `e nata appunto come lo studio delle macchine di cui si `e occupato, tra i primi, Archimede. In seguito, il significato del termine `e stato esteso all’analisi di tutti gli stati di equilibrio e di movimento dei corpi.

Altre branche di interesse sono la termodinamica (dal greco thermos, caldo), che `e lo studio degli scambi di calore tra i corpi; l’elettromagnetismo, che analizza i fenomeni elettrici e magnetici; l’ottica, che si occupa della visione. L’elenco potrebbe proseguire con altri campi di studio pi` u particolari.

Un’altra distinzione importante `e tra la fisica classica e la fisica moderna. Per fisica classica intendiamo la fisica studiata da Galileo fino a tutto l’Ottocento. Nei primi anni del Novecento, ci sono state delle scoperte che hanno portato ad uno stravolgimento della fisica allora conosciuta, delle vere e proprie rivoluzioni che ci hanno portato a parlare di una nuova fisica. Intendiamo per fisica moderna la scienza che ha preso vita dalla scoperta della relativit`a, ad opera di Albert Einstein, e da quella della meccanica quantistica.

2 Le grandezze fisiche fondamentali

Effettuare una misura di una determinata quantit`a vuol dire confrontarla una con un campione. Ad esempio, misurare la lunghezza di una penna vuol dire confrontarla con un campione di lunghezza, come pu`o essere un righello millimetrato, ossia osservare quanti millimetri sono contenuti nella lunghezza della penna. Si pu`o misurare la massa di un libro ponendolo su un piatto di una bilancia e confrontandola con altre masse campione poste sull’altro piatto.

Una grandezza fisica `e una qualunque quantit`a misurabile. Esempi di grandezze

fisiche sono la lunghezza, la massa, il volume, la temperatura o la pressione. Non sono

grandezze fisiche l’odore, l’intelligenza o l’audacia, ossia qualit`a su cui possiamo esprimerci

ma che non possiamo misurare.

2.1 Grandezze fondamentali

Per definire in maniera precisa una grandezza fisica, abbiamo bisogno di partire da altre grandezze a noi note e dire in che relazione la nuova grandezza sta con quelle che gi`a conosciamo. Ad esempio, per definire cos’`e l’area di un rettangolo, diciamo che essa `e il prodotto delle lunghezze di due lati. Oppure, definiamo la velocit`a media di un oggetto come il rapporto tra il cammino che esso percorre in un certo intervallo di tempo e tale intervallo.

E evidente che questo processo di ricorso ad altre grandezze a noi note non pu`o essere ` prolungato oltre un certo limite. Se ci chiedessimo cos’`e una lunghezza o cos’`e un intervallo di tempo, avremmo molte pi` u difficolt`a a rispondere, perch´e non riusciremmo a trovare altre grandezze da cui far derivare concetti come quello di lunghezza o di tempo.

I fisici hanno definito sette grandezze fondamentali, ossia grandezze che non si possono definire a partire da altre ma di cui `e possibile dare una definizione “operativa”, cio´e dire come vanno misurate. A ciascuna di tali grandezze `e associata un’unit`a di misura, la quale, invece, `e definita in maniera molto precisa. Esse sono elencate nella tabella 1.

Grandezza Unit`a di misura Simbolo

Lunghezza metro m

Massa kilogrammo kg

Tempo secondo s

Temperatura kelvin K

Quantit`a di sostanza mole mol Intensit`a di corrente ampere A

Intensit`a luminosa candela cd

Tabella 1: Le grandezze fondamentali del Sistema Internazionale di misura

Le prime tre grandezze elencate (lunghezza, massa e tempo) sono le grandezze che intervengono nello studio della meccanica, quindi le prime che incontreremo. La tempe- ratura la affronteremo nello studio della termodinamica, mentre la quantit`a di sostanza di sostanza la vedremo nello studio dei gas. Infine, l’intensit`a di corrente e l’intensit`a lu- minosa sono grandezze che incontreremo nell’elettromagnetismo (l’ultima, a dire il vero,

`e di uso piuttosto raro).

2.2 Le unit` a di misura della meccanica

Le prime unit`a di misura che adopereremo sono il metro, il kilogrammo e il secondo.

E importante allora conoscerne le loro definizioni e, in particolare, i passaggi storici che ` hanno portato ad esse, perch´e ci raccontano molte informazioni sull’evoluzione della fisica.

Delle tre unit`a di misura di misura menzionate, la pi` u antica `e il secondo. Esso nasce dall’esigenza di dividere un giorno solare in frazioni utili per misurare intervalli di tempo. La prima definizione del secondo nasce dalla divisione del giorno solare in 24 ore, di ciascuna ora in 60 minuti e ciascun minuto in 60 secondi. L’uso dei numeri 24 e 60 `e legato alla loro “praticit`a”: 24 `e divisibile per 2, 3, 4, 6, 8 e 12 (oltre che per s´e stesso);

60 `e divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30.

Sappiamo per`o che il giorno solare non `e costante durante l’anno e, per questo motivo,

si modific`o la prima definizione, facendo riferimento alla durata di un giorno solare medio.

Anche il giorno solare medio, tuttavia, `e una quantit`a soggetta ad una certa variabilit`a e cos`ı i fisici, con il perfezionamento di misure a livello atomico sono giunti a definire oggi il secondo in maniera differente rispetto al passato.

Definiamo oggi un secondo come l’intervallo di tempo pari alla durata di 9.192.631.770 oscillazioni dell’isotopo 133 del Cesio. Non `e questo il momento per spiegare cosa sia un isotopo e cosa siano le sue oscillazioni: ci`o che `e importante comprendere `e che la definizione attuale del secondo trae origine da una misura a livello atomico, pi` u precisa di una misura a livello astronomico.

Per quanto riguarda il metro, esso ha una vita abbastanza recente, se pensiamo alla storia dell’umanit`a, essendo stato introdotto con la rivoluzione francese. A quell’epoca, si riusc`ı ad effettuare una misura, relativamente precisa per quel tempo, del meridiano terrestre che passa per Barcellona e per Dunkerque (nel nord della Francia). Il metro venne inizialmente definito come la quarantamilionesima parte di tale meridiano.

Successivamente, sono state avanzate nuove definizioni di metro, all’insegna di una maggiore precisione. Tra queste, ricordiamo che nel 1899 il metro venne definito come la lunghezza di una barra campione di platino-iridio.

Oggi, definiamo un metro come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di 1/299.792.458 s. La misura della velocit`a della luce `e, infatti, una delle pi` u precise che si riescano a compiere e quindi si preferisce definire il metro indirettamente, a partire dalla definizione di secondo e da una misura di velocit`a.

Infine, quanto al kilogrammo, anch’esso nasce con la rivoluzione francese come la massa di un litro di acqua distillata alla temperatura di 3,96

C, che `e quella per cui la densit`a dell’acqua `e massima.

In seguito, analogamente a quanto previsto per il metro, si `e definito un kilogrammo come la massa di un campione di platino-iridio conservato al museo di Sevres (Parigi).

Il 20 Maggio 2019 `e stata adottata una nuova definizione di kilogrammo, molto com- plessa da riportare, che fa riferimento ad una costante fisica misurata con una precisione molto accurata, la costante di Planck.

2.3 Multipli e sottomultipli decimali

Per indicare i multipli e i sottomultipli di un’unit`a di misura, in genere si fa precedere un prefisso all’unit`a di misura considerata. La maggior parte delle unit`a di misura (tra queste il metro e il kilogrammo) ha multipli e sottomultipli che seguono una scala decimale, ossia di 10 in 10. Nella tabella 2 sono indicati alcuni multipli, mentre nella tabella 3 sono indicati alcuni sottomultipli.

Prefisso Simbolo Valore

deca da 10

etto h 100

kilo k 1.000

mega M 1.000.000

giga G 1.000.000.000

tera T 1.000.000.000.000

Tabella 2: Multipli delle unit` a di misura che seguono un sistema decimale

Prefisso Simbolo Valore

deci d 0,1

centi c 0,01

milli m 0,001

micro µ 0,000001

nano n 0,000000001

pico p 0,000000000001

Tabella 3: Sottomultipli delle unit` a di misura che seguono un sistema decimale

2.4 Multipli e sottomultipli del secondo

Altre unit`a di misura, ad esempio il secondo, hanno multipli che non seguono un sistema decimale. Vediamo quali sono nella tabella 4:

Multiplo Simbolo Valore

minuto min 60

ora h 3.600

giorno d 86.400

Tabella 4: Multipli del secondo

Per quanto riguarda invece i sottomultipli del secondo, essi seguono una scala decimale.

Abbiamo cio´e il ds, il cs, il ms e cos`ı via.

3 La notazione scientifica

In fisica spesso capita di avere a che fare con numeri “molto grandi”. Si consideri, ad esempio, la massa della Terra, pari a circa:

m

= 5.974.000.000.000.000.000.000.000 kg. (1) Rappresentare un numero del genere nella forma (1) `e molto sconveniente per due ra- gioni. In primo luogo, se volessimo avere un’idea di quanto effettivamente sia “grande”

tale numero, dovremmo contare i numerosi zeri che compaiono nell’espressione. Inoltre, tale rappresentazione sarebbe scomoda nel caso in cui volessimo impiegare tale numero in qualche operazione con altri numeri “molto grandi” come, ad esempio, se volessimo moltiplicarlo con la massa della Luna (operazione che in fisica capita di dover svolgere nel calcolo della forza gravitazionale):

m

= 73.480.000.000.000.000.000.000 kg. (2) Per numeri del genere, occorre allora ricorrere ad una rappresentazione differente. Una possibilit`a pu`o essere quella di usare le potenze di 10 (10, 100, 1000, ecc.), che si rivelano molto utili nel caso di moltiplicazioni o di divisioni. Notiamo allora che l’espressione (1) pu`o anche essere scritta come:

m

= 5, 974 · 1.000.000.000.000.000.000.000.000 kg, (3)

ossia come la moltiplicazione di un numero compreso tra 1 e 10, scritto in forma decimale, con una potenza di 10. Ricordiamo che, per la definizione di potenza di un numero (in questo caso in base 10), elevato ad un esponente naturale m:

10

=

mvolte

z }| {

10 · 10 · · · 10 = 1

mzeri

z }| {

0 . . . 0 . (4)

A questo punto, per scrivere in maniera pi` u “compatta” l’espressione (3), basta contare gli zeri che compaiono nella potenza di 10: in questo caso sono 24. Allora la (3) diventa:

m

= 5, 974 · 10

kg, (5)

che `e la forma in cui `e riportata la massa della Terra in tutti i libri di fisica. Una rappresentazione di questo tipo, con un numero compreso tra 1 e 10, detto mantissa, che moltiplica una potenza di 10 `e detta notazione scientifica.

Un procedimento intuitivo per trasformare un qualsiasi numero “grande” in notazione scientifica pu`o essere quello di contare di quante cifre occorre “spostare la virgola a sinis- tra” per ottenere una mantissa compresa tra 1 e 10. Il numero di tali cifre ci d`a l’esponente della potenza di 10 che moltiplica la mantissa ottenuta. Ad esempio, dato il numero che compare nella (1), bisogna spostare la virgola di 24 cifre a sinistra per ottenere 5,974 che, quindi, andr`a moltiplicato per 10

.

3.1 Prodotto tra potenze di 10

Notiamo adesso come la notazione scientifica ci consenta di eseguire rapidamente un’oper- azione come la moltiplicazione della massa della Terra con quella della Luna. Innanzitutto, trasformiamo anche la (2) in notazione scientifica:

m

= 7, 348 · 10

kg. (6)

Abbiamo allora:

m

m

= 5, 974 · 10

kg · 7, 348 · 10

kg = 5, 974 · 7, 348 · 10

· 10

kg

. (7) Per concludere, basta svolgere, separatamente, il prodotto delle due mantisse e il prodotto delle due potenze di 10. Il prodotto delle due mantisse si pu`o effettuare con una normale calcolatrice e viene circa 43,897. Per quanto riguarda il prodotto delle due potenze di 10, esso si pu`o svolgere senza calcolatrice, ricordando una delle propriet`a delle potenze.

Ricordando la definizione (4), si ottiene che:

10

· 10

=

m+n volte

z }| {

10 · 10 · · · 10, ossia:

10

· 10

= 10

. (8)

Il prodotto di due potenze di 10 `e quindi una potenza di 10 che ha per esponente la somma degli esponenti dei due fattori. Tornando allora all’espressione (7), si ottiene:

m

m

= 43, 90 · 10

kg

= 4, 390 · 10 · 10

kg

= 4, 390 · 10

kg

.

3.2 Rapporto tra potenze di 10

Se volessimo invece calcolare il rapporto la massa della Terra e quella della Luna, dovrem- mo utilizzare un’altra propriet`a delle potenze. Ricordando la definizione (4), `e facile rendersi conto che, nel caso in cui m ed n siano due numeri naturali con m ≥ n:

10

10

=

m−n volte

z }| {

10 · 10 · · · 10, quindi:

10

10

= 10

. (9)

Il rapporto di due potenze di 10 `e quindi una potenza di 10 che ha per esponente la differenza tra l’esponente del numeratore e quello del denominatore. Nel caso delle due masse, abbiamo:

m

m

= 5, 974 · 10

kg

7, 348 · 10

kg = 5, 974 7, 348 · 10

10

= 0, 8130 · 10

= 81, 3

che, essendo un numero “piccolo”, rispetto a quelli finora considerati, possiamo anche riportarlo nella forma decimale a cui siamo abituati.

3.3 Potenze di 10 con esponente negativo

A questo punto, viene da chiedersi per`o se la relazione (9) del rapporto tra due potenze sia valida anche nel caso in cui m < n. In questo caso, abbiamo:

10

10

= 1

10 · 10 · · · 10

| {z }

n−m volte

,

ossia:

10

10

= 1 10

.

Per mantenere la validit`a della regola (9) nel rapporto tra due potenze aventi la stessa base anche nel caso in cui l’esponente del denominatore sia maggiore di quello del numeratore, in matematica si introducono le potenze con esponenti negativi, definendole come:

10

= 1

10

. (10)

cio`e, ad esempio:

10

= 1

10 = 0, 1 10

= 1

10

= 0, 01

Possiamo dire quindi che:

10

=

mzeri

z }| {

0, 0 . . . 0 1 (11)

Per illustrare meglio questo concetto, calcoliamo il rapporto inverso tra le due masse finora considerate:

m

m

= 7, 348 · 10

kg

5, 974 · 10

kg = 7, 348 5, 974 · 10

10

= 1, 230 · 10

.

Osserviamo ora come la notazione scientifica si riveli utile anche nella rappresentazione di numeri molto piccoli. Consideriamo, ad esempio, la massa di un elettrone, pari a circa:

m

= 0, 00000000000000000000000000000091 kg. (12) Per rappresentare un numero del genere, dobbiamo utilizzare le potenze di 10 ad esponente negativo appena introdotte con la definizione (10). Scriviamolo nella forma:

m

= 9, 1 · 0, 0000000000000000000000000000001 kg

e notiamo che nella potenza di 10 compaiono 31 zeri. Possiamo quindi scriverlo come:

m

= 9, 1 · 10

kg,

che `e la forma in cui `e riportata la massa dell’elettrone su tutti i testi di fisica.

In maniera analoga a quanto abbiamo visto per i numeri “grandi” un procedimento intuitivo per trasformare un qualsiasi numero “piccolo” in notazione scientifica pu`o essere quello di contare di quante cifre occorre “spostare la virgola a destra” per ottenere una mantissa compresa tra 1 e 10. Il numero di tali cifre ci d`a l’esponente negativo della potenza di 10 che moltiplica la mantissa ottenuta. Ad esempio, dato il numero che compare nella (12), bisogna spostare la virgola di 31 cifre a destra per ottenere 9,1 che, quindi, andr`a moltiplicato per 10

.

Osserviamo come le relazioni finora viste per il prodotto e per il rapporto tra due poten- ze di 10 siano valide anche qualora compaiano esponenti negativi, a patto di effettuare somme o differenze algebriche. Ad esempio, calcoliamo:

m

m

= 5, 974 · 10

kg · 9, 1 · 10

kg = 5, 974 · 9, 1 · 10

· 10

kg

=

= 54, 36 · 10

kg

= 5, 436 · 10 · 10

kg

= 5, 436 · 10

kg

. Il rapporto tra le due masse invece viene:

m

m

= 5, 974 · 10

kg

9, 10 · 10

kg = 5, 974

9, 10 · 10

10

= 0, 6565 · 10

= 6, 565 · 10

10

= 6, 565 · 10

. Infine, ricordiamo la regola della potenza di una potenza di un numero, ossia:

(10

)

= 10

, (13)

che occorre adoperare, ad esempio, nel calcolo di:

m

= (5, 974 · 10

kg)

= 5, 974

· (10

)

kg

= 35, 69 · 10

kg

= 3, 569 · 10

kg

.

3.4 Riepilogo

Per comodit`a, riportiamo le regole principali che occorre adoperare nelle operazioni tra potenze di 10.

Esponente negativo 10

=

Prodotto 10

· 10

= 10

Rapporto

= 10

Potenza (10

)

= 10

Tabella 5: Regole delle operazioni tra potenze di 10

Infine, riscriviamo nelle tabelle 6 e 7 i multipli e i sottomultipli delle unit`a di misura che seguono un sistema decimale, introducendo la notazione scientifica:

Prefisso Simbolo Valore

deca da 10

etto h 10

kilo k 10

mega M 10

giga G 10

tera T 10

Tabella 6: Multipli delle unit` a di misura, espressi in notazione scientifica

Prefisso Simbolo Valore

deci d 10

centi c 10

milli m 10

micro µ 10

nano n 10

pico p 10

Tabella 7: Sottomultipli delle unit` a di misura, espressi in notazione scientifica

ubsection

3.5 Ordine di grandezza di un numero

Quando si ha a che fare con grandezze espresse in notazione scientifica, come la massa della Terra:

m

= 5, 974 · 10

kg,

spesso l’informazione pi` u significativa non `e tanto la mantissa (5,974) del numero che la esprime, quanto la potenza di 10 che la moltiplica. Si introduce allora il concetto di ordine di grandezza di un numero.

L’ordine di grandezza di un numero `e la potenza di 10 a cui tale numero pi` u si

avvicina.

Esempio 1 Determinare l’ordine di grandezza della massa della Terra.

Notiamo che:

10

kg < 5, 974 · 10

kg < 10

kg,

cio`e essa `e compresa tra 10

kg e 10

kg. Tra queste due potenze, la massa della Terra

`e pi` u vicina a 10

kg, in quanto 5,974 `e pi` u vicino a 10 che ad 1. Quindi il suo ordine di grandezza `e 10

kg.

Esempio 2 Determinare l’ordine di grandezza della massa di un protone.

La massa di un protone `e m

= 1,67 ·10

kg. In questo caso: esempio 10

kg < 1, 67 · 10

kg < 10

kg.

Tra le due potenze, riconosciamo che la massa di un protone `e pi` u vicina a 10

kg, in quanto 1,67 `e pi` u vicino ad 1 che a 10. Quindi l’ordine di grandezza della massa di un protone `e 10

kg.

4 Grandezze fisiche derivate

Una grandezza derivata `e una grandezza fisica, la cui definizione deriva da grandezze fondamentali. L’unit`a di misura di una grandezza derivata dipende dalla sua definizione.

Vediamone alcuni esempi.

4.1 Superficie

E il prodotto di due lunghezze. Ad esempio, la superficie di un rettangolo di lati a e b `e: `

S = ab. (14)

La sua unit`a di misura `e quindi il m

. Vediamo come fare una trasformazione di unit`a di misura, ad esempio, da cm

a m

:

1 cm

= (1 cm)

= (10

m)

= 10

m

.

Per comodit`a, riportiamo i principali multipli e sottomultipli del m

nella tabella 8.

Simbolo Valore in m

km

10

hm

10

dam

10

dm

10

cm

10

mm

10

Tabella 8: Multipli e sottomultipli del m

4.2 Volume

E il prodotto di tre lunghezze. Ad esempio, il volume di un parallelepipedo di spigoli a, ` b e c `e:

V = abc. (15)

La sua unit`a di misura `e il m

. Ad esempio, vediamo come trasformare dam

in m

: 1 dam

= (1 dam)

= (10 m)

= 1000 m

.

Riportiamo i principali multipli e sottomultipli del m

nella tabella 9.

Simbolo Valore in m

km

10

hm

10

dam

10

dm

10

cm

10

mm

10

Tabella 9: Multipli e sottomultipli del m

4.3 Velocit` a

E il rapporto tra una lunghezza ed un intervallo di tempo. Di essa parleremo in maniera ` pi` u dettagliata pi` u avanti. Per il momento, tanto per cominciare a familiarizzare con questa grandezza, definiamo la velocit`a media di un corpo che percorre un cammino di lunghezza l in un intervallo di tempo t come:

v

= l

t . (16)

La sua unit`a di misura `e il

. Vediamo come trasformare una velocit`a da

a

: 1 km

h = 1000 m 3600 s = 1

3,6 m

s .

Riportiamo il risultato appena ricavato, lasciandolo nella forma in cui l’abbiamo scritto, perch´e `e di grande utilit`a nei calcoli:

1 km h = 1

3,6 m

s . (17)

Se vogliamo trasformare una velocit`a da

a

, dobbiamo quindi dividere per 3,6.

Ad esempio:

72 km

h = 72 · 1 3,6

m s = 72

3,6 m

s = 20 m s .

Se invece vogliamo passare da

a

, conviene invertire la formula che abbiamo

appena ricavato. Otteniamo quindi:

1 m

s = 3,6 km

h . (18)

Quindi, per trasformare una velocit`a da

a

, dobbiamo moltiplicare per 3,6. Ad esempio:

3 m

s = 3 · 3,6 km

h = 10,8 km h .

4.4 Densit` a

E il rapporto tra la massa e il volume di un corpo: ` d = m

V . (19)

La sua unit`a di misura `e

. Vediamo come trasformare una densit`a da

in

: 1 g

cm

= 10

kg

10

m

= 10

kg m

.

4.5 Formule inverse

In alcuni problemi, pu`o essere richiesto, ad esempio, di calcolare il tempo necessario a percorrere un certo cammino, procedendo ad una determinata velocit`a media; oppure di calcolare la massa di un corpo di cui si conosce volume e densit`a. Si tratta allora di invertire le formule che abbiamo appena visto, ossia di risolvere un’equazione di primo grado di cui una delle grandezze fisiche `e incognita e le altre sono note.

La regola da seguire `e che, per esplicitare un’equazione di primo grado rispetto ad una grandezza, ` e possibile eseguire la stessa operazione elementare (addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione) su entrambi i membri dell’equazione, ad eccezione della divisione per zero.

Esempio 3 Calcolare il cammino percorso l, conoscendo la velocit`a media v

e il tempo impiegato t.

Partiamo dalla relazione che lega tra loro le tre grandezze citate, cio´e la definizione di velocit`a media (16):

v

= l t .

Per ricavare l, che rappresenta la nostra incognita, dobbiamo far “scomparire” il de- nominatore t. A tale scopo, moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per t.

Abbiamo:

v

· t = l t · t.

A questo punto, possiamo semplificare le due t al secondo membro, ottenendo:

v

t = l,

che possiamo anche riscrivere scambiando i due membri:

l = v

t. (20)

Esempio 4 Calcolare il volume V di un corpo, conoscendo la sua densit`a d e la sua massa m.

Anche per questo problema, cominciamo scrivendo la relazione tra V , d e m, ossia la definizione di densit`a (19):

d = m V .

A differenza dell’esempio precedente, stavolta l’incognita V dell’equazione `e al denom- inatore. Dobbiamo allora “portarla” al numeratore, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per V :

d · V = m V · V.

Semplificando le due V al secondo membro, abbiamo:

dV = m.

Adesso, per esplicitare quest’ultima equazione rispetto a V , dobbiamo “eliminare” la quantit`a che la moltiplica, cio´e d. Per farlo, dividiamo entrambi i membri dell’equazione per d. Otteniamo:

dV d = m

d .

Semplificando le due d al primo membro, ricaviamo infine:

V = m

d . (21)