Analisi Matematica II
Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova di fine corso del 31/05/2017
A.A. 2016/2017
Problema 1: Studiare qualitativamente il problema di Cauchy
(y0= (y2− 4) arctan(1 + y2) , y(0) = 0 .
Problema 2: Sfruttando che 1 ≤ 1 + y2< +∞ ;) si dimostri che la soluzione massimale del problema di Cauchy
(y0= (y2− 4) arctan(1 + y2) , y(0) = 6 ,
`e definita su un intervallo del tipo (−∞, β), con 0 < β < +∞ e si trovi una stima sul valore di β.
Problema 3: Studiare la convergenza puntuale e calcolare la somma della serie di funzioni
+∞
X
n=1
x (1 − x)n . Studiare la convergenza uniforme.
Problema 4: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni
fn(x) = e−nxsinx n
.
Problema 5: Calcolare l’integrale
Z
R
cos x (x2+ 4)2dx .
Problema 6: Sia f (x) = π2− x2 per x ∈ [−π, π) e si denoti ancora con f (x) la sua estensione 2π- periodica a tutto l’asse reale. Calcolare la serie di Fourier associata a f , si discuta la convergenza e si ricavi l’identit`a di Parseval. Sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche
X
n∈N
(−1)n
n2 , X
n∈N
1
n2, X
n∈N
1 n4.
