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Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie

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Academic year: 2021

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(1)

Es. 9.

Sia

g (x ) = ( 1

2 − |x| se |x| ≤ 1 2 , 0 altrimenti .

Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie

+∞

X

n=1

√ 1

n g (x − n) Poniamo f n (x ) = 1 n g (x − n).

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 55 / 76

(2)

Convergenza puntuale

(3)

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 57 / 76

(4)
(5)

Convergenza uniforme Per ogni n ≥ 1 sia:

S n =

n

X

k=1

f k

La serie

+∞

P

n=1

f n converge uniformemente ad S in R se e solo se {S n } n≥1 converge ad S uniformemente in R, cio`e

n→+∞ lim sup

x ∈R

|S n (x ) − S (x )|

= lim

n→+∞ sup

x ∈R

n

P

k=1

f k (x ) −

+∞

P

k=1

f k (x )

= lim

n→+∞ sup

x ∈R

+∞

P

k=n+1

f k (x )

= 0

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 59 / 76

(6)
(7)

Convergenza totale?

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 63 / 76

(8)

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