Es. 9.
Sia
g (x ) = ( 1
2 − |x| se |x| ≤ 1 2 , 0 altrimenti .
Discutere la convergenza puntuale e uniforme della serie
+∞
X
n=1
√ 1
n g (x − n) Poniamo f n (x ) = √ 1 n g (x − n).
Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 55 / 76
Convergenza puntuale
Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 57 / 76
Convergenza uniforme Per ogni n ≥ 1 sia:
S n =
n
X
k=1
f k
La serie
+∞
P
n=1
f n converge uniformemente ad S in R se e solo se {S n } n≥1 converge ad S uniformemente in R, cio`e
n→+∞ lim sup
x ∈R
|S n (x ) − S (x )|
= lim
n→+∞ sup
x ∈R
n
P
k=1
f k (x ) −
+∞
P
k=1
f k (x )
= lim
n→+∞ sup
x ∈R
+∞
P
k=n+1
f k (x )
= 0
Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 59 / 76
Convergenza totale?
Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Serie di funzioni Analisi II 63 / 76