Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier

Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier

28 aprile 2009

In questi appunti prendiamo in considerazione funzioni di variabile reale che possono assumere per`o valori complessi. Una funzione F di variabile reale a valori complessi corrisponde a due funzioni di variabile reale a valori reali, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria di F . In altre parole possiamo scrivere:

F (x) = u(x) + iv(x),

dove u e v sono funzioni a valori reali. La funzione F sar`a continua, deriv- abile o integrabile, se sono rispettivamente continue, derivabili o integrabili ambdue le funzioni u e v. Scriveremo quindi

F ⁰ (x) = u ⁰ (x) + iv ⁰ (x)

e Z _b

a

F (x)dz = Z _b

a

u(x)dx + i Z _b

a

v(x)dx.

Una funzione di variabile reale e a valori complessi molto importante `e fornita dalla seguente formula (detta di Eulero):

e ^ix = cos x + i sin x.

Possiamo considerare questa formula come la definizione di e ^ix , a partire dalle funzioni note cos x e sin x. Dovremmo allora osservare che le formule di addizione del seno e del coseno, ci forniscono la seguente importante propriet`a della funzione e ^ix :

e ^i(x+y) = e ^ix e ^iy .

In particolare (e ^ix ) ⁿ = e ^inx . Inoltre risulta, sempre dalle propriet`a delle fun-

zioni trigonometriche che e ^−ix = cos x−i sin x, `e il coniugato di e ^ix . Possiamo

anche osservare che la funzione x 7→ e ^ix `e un omomorfismo (continuo!) del gruppo addittivo dei numeri reali nel gruppo moltiplicativo dei numeri comp- lessi di modulo uno. Infine possiamo ricordare che le funzioni trigonometriche sin x e cos x possono essere definite in termini di e ^ix , come segue:

cos x = e ^ix + e ^−ix

2 ,

sin x = e ^ix − e ^−ix 2i .

(Un’utile osservazione banale `e che l’inverso di i `e −i e, in generale che l’inverso di un numero complesso di modulo uno `e il suo coniugato.)

Il problema centrale della teoria delle cosiddette serie di Fourier si pu`o sintetizzare nella domanda seguente:

Ci si chiede sotto quali ipotesi una funzione reale f di variabile reale e periodica di periodo 2π, sia la somma di una serie del tipo

a ₀ 2 +

X ∞ k=1

(a _k cos kx + b _k sin kx) (1)

Quando parliamo della somma di una serie di funzioni, intendiamo in pri- mo luogo la convergenza punto per punto delle somme parziali, ed in secondo luogo la convergenza uniforme delle stesse somme parziali. In questi appunti cercheremo di dare risposte a questa domanda proprio nei termini della con- vergenza punto per punto e della convergenza uniforme. Vale per`o la pena di ricordare che lo sviluppo della teoria delle serie di Fourier, specialmente dopo l’introduzione, agli inizi del secolo scorso, della teoria della misura e dell’in- tegrazione ”secondo Lebesgue”, ha portato a considerare la ”somma” della serie, anche in termini diversi. Si considera cio`e la convergenza delle somme parziali della serie (1) rispetto a diverse nozioni di ”distanza”, e talvolta la convergenza punto per punto per punto ristretta ad insiemi il cui com- plemento `e considerato ”negligibile”. Questi problemi pi`u raffinati saranno considerati negli insegnamenti di Analisi Reale e/o Analisi Funzionale.

In questi appunti dimostreremo prima di tutto che se f (a valori reali)

`e continua e periodica ed ha derivata continua, allora f pu`o essere espressa attraverso una serie del tipo (1), che converge uniformemente ad f . Questo risultato pu`o essere esteso parzialmente a funzioni che possiedono alcune discontinuit`a di prima specie, come svolto nel libro di testo.

Prima di entrare nel merito della questione della convergenza `e opportuno esaminare pi`u da vicino le funzioni

a k cos kx + b k sin kx. (2)

Ricordando la formula di Eulero e ^ix = cos x + i sin x, possiamo osservare che a _k cos kx + b _k sin kx = (a _k − ib _k )

2 e ^ikx + (a _k + ib _k )

2 e ^−ikx = c _k e ^ikx + c _k e ^−ikx , dove abbiamo posto per ogni interno positivo k, c _k = ^a

^−ib ₂

. Questo significa che, posto, per k intero positivo c _−k = c _k = ^a

^+ib ₂

, e c ₀ = ^a ₂

, risulta per ogni n intero non negativo

a ₀ 2 +

X n k=1

(a _k cos kx + b _k sin kx) = X n k=−n

c _k e ^ikx .

Pertanto dire che puntualmente o uniformemente risulta f (x) = a ₀

2 + X ∞

k=1

(a _k cos kx + b _k sin kx),

equivale a dire che in termini di convergenza puntuale o uniforme risulta lim n

X n k=−n

c _k e ^ikx = f (x),

cio`e con una notazione pi`u espressiva che f (x) =

X +∞

k=−∞

c k e ^ikx .

Ricordiamo che per quanto la serie a secondo membro si presenti come una serie a valori complessi, le somme parziali ( da −n a n) della serie risultano a valori reali, in virt`u del fatto che il coefficiente c −k `e il coniugato di c k , ed inoltre e ^ikx `e il coniugato di e ^−ikx . In altre parole a ciascun addendo c _k e ^ikx , corrisponde un addendo coniugato c _−k e ^−ikx .

Ma perch´e passare dalle funzioni seno e coseno all’esponenziale comp- lesso? Sostanzialmente perch´e questo ci consentir`a di semplificare molti cal- coli. Ricordiamo infatti che la semplice propriet`a moltiplicativa dell’esponen- ziale e ^i(x+y) = e ^ix e ^iy sostituisce efficacemente tutto il bagaglio delle formule trigonometriche. Un primo esempio di questa semplificazione `e fornito dalla seguente osservazione.

Osservazione 1 Se n ∈ Z, allora Z _π

−π

e ^inx dx =

½ 0 se n 6= 0

2π se n = 0

Questa osservazione, di verifica immediata, a partire, ad esempio dalla for- mula e ^inx = cos nx + i sin nx, sostituisce efficacemente le formule [14.8] a pag.

97 del secondo volume del libro di testo, per ottenere il seguente risultato preliminare:

Lemma 1 Supponiamo che f sia una funzione periodica di periodo 2π, e supponiamo inoltre che nella convergenza uniforme,

f (x) = a ₀ 2 +

X ∞ k=1

(a _k cos kx + b _k sin kx) = X ∞ k=−∞

c _k e ^ikx ,

dove c 0 = ^a ₂

, e c k = c −k = a k − ib k , per k positivo. Allora a _k = 1

π Z _π

−π

f (x) cos kxdx, b _k = 1 π

Z _π

−π

f (x) sin kxdx

e, per ogni intero k,

c _k = 1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−ikx .

dimostrazione. Le relazioni tra i coefficienti a _k , b _k e c _k e la linearit`a dell’integrale ci consentono di limitarci a considerare il calcolo di c _k . Poich´e si suppone che la serie converga uniformemente possiamo integrare termine a termine. Pertanto

1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−ikx dx = 1 2π

Z _π

−π

X ∞ h=−∞

c _h e ^ihx e ^−ikx dx =

X ∞ h=−∞

c _h 1 2π

Z _π

−π

e ^i(h−k)x dx.

Per la Osservazione 1, tutti gli integrali che appaiono nella somma sono zero tranne quello in cui h = k, che vale 2π. Ne segue che

c _k = 1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−ikx dx.

Il risultato che abbiamo appena dimostrato ci porta a definire per ogni funzione periodica integrabile f ed ogni intero n il coefficiente di Fourier n-esimo come

f (n) = c ˆ _n = 1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−inx dx,

e a chiederci se la serie _∞ X

n=−∞

f (n)e ˆ ^inx ,

converge alla funzione f . Osserviamo subito che se f ha valori reali (come supporremo sempre) ˆ f (−n) = ˆ f (n), pertanto la serie che abbiamo appena scritto e che vorremmo convergesse ad f , si pu`o scrivere anche nella for- ma (1), con coefficienti a _n e b _n definiti come nell’enunciato del Lemma 1.

Aggiungiamo che la serie

X ∞ n=−∞

f (n)e ˆ ^inx ,

prende il nome di serie di Fourier della funzione f . Con lo stesso nome si indica ovviamente la corrispondente serie scritta in termini di a _k cos kx + b _k cos kx, con i coefficienti a _k e b _k come nell’enunciato del Lemma.

Nota 1 Vale forse la pena di osservare che per funzioni periodiche di peri- odo 2π, l’integrazione sull’intervallo [−π, π] pu`o essere sostituita con uguale risultato dalla integrazione sull’intervallo [0, 2π] o su qualsiasi intervallo di lunghezza 2π. La scelta dell’intervallo [−π, π] `e stata fatta per discostarsi il meno possibile dalle notazioni del libro di testo.

Lemma 2 . Se f `e una funzione periodica di periodo 2π, integrabile nell’in- tervallo [−π, π], allora

X ∞

−∞

| ˆ f (n)| ² ≤ 1 2π

Z _π

−π

(f (x)) ² dx.

dimostrazione. Sia

S _n (x) = X n k=−n

f (n)e ˆ ^inx .

Allora

0 ≤ 1 2π

Z _π

−π

(f (x) − S _n (x)) ² dx = 1

2π Z _π

−π

(f (x)) ² dx − 1 2π 2

Z _π

−π

f (x)S _n (x)dx + 1 2π

Z _π

−π

(S _n (x)) ² dx.

Osserviamo ora che 1 2π

Z _π

−π

f (x)S _n (x)dx = X n

−n

f (k) ˆ 1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^ikx dx =

X n

−n

f (k) ˆ ˆ f (−k) = X n

−n

f (k) ˆ ˆ f (k) = X n

−n

| ˆ f (k)| ² .

Inoltre

1 2π

Z _π

−π

S _n (x) ² dx = X n h,k=−n

f (h) ˆ ˆ f (k) 1 2π

Z _π

−π

e ^i(h+k)x .

Gli integrali nell’ultima espressione sono tutti nulli eccetto quando h = −k, e pertanto

1 2π

Z _π

−π

S _n (x) ² dx = X n

−n

| ˆ f (k)| ² .

Questo significa che la disuguaglianza precedente si riduce a X n

−n

|f (k)| ² ≤ 1 2π

Z _π

−π

f (x) ² dx.

Da quest’ultima disuguaglianza segue la tesi passando al limite per n → ∞.

Corollario 1 Se f `e una funzione periodica di periodo 2π integrabile nel- l’intervallo [−π, π] allora

|n|→∞ lim

f (n) = 0 ˆ

dimostrazione. La convergenza della serie P _∞

−∞ | ˆ f (n)| ² implica che con- verge a zero il termine n-esimo da cui segue la tesi del corollario.

Lemma 3 Sia f una funzione periodica di periodo 2π. Supponiamo che la derivata Df di f esista e sia integrabile, allora

Df (n) = in ˆ c f (n) (3)

dimostrazione. Integrando per parti e sfruttando la periodicit`a della funzione f (x)e ^inx si ottiene:

1 2π

Z _π

−π

Df (x)e ^−inx dx = f (x)e ^−inx 2π

¯ ¯

¯ ^π

−π − −in 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−inx dx = in ˆ f (n).

Lemma 4 Sia f una funzione periodica di periodo 2π integrabile in ogni intervallo di R. Definiamo, per y ∈ R, f _y (x) = f (x − y). Allora

f ˆ y (n) = e ^−iny f (n). ˆ (4)

dimostrazione. Ricordiamo che l’integrale su un intervallo di lunghezza uguale al periodo, di una funzione periodica `e invariante per traslazione, come (quasi) dimostrato nella [14.2] a pag. 95 del libro di testo (Giusti, secondo volume). Pertanto

f ˆ _y (n) = 1 2π

Z _π

−π

f (x − y)e ^−inx dx = 1 2π

Z _π

−π

f (x)e ^−in(x+y) dx = e ^−iny f (n). ˆ Abbiamo ora a disposizione tutti gli ingredienti per dimostrare il primo teorema di convergenza della serie di Fourier.

Teorema 2 Sia f una funzione continua e periodica di periodo 2π. Sup- poniamo che esista la derivata di f in un punto y ∈ R. Allora la serie P _∞

−∞ f (n)e ˆ ^iny converge al valore f (y).

dimostrazione. Supponiamo prima che y = 0. Dimostreremo cio`e che se f `e derivabile in 0 allora,

N →∞ lim X N

−N

f (n) = f (0). ˆ

Consideriamo per x 6= 2kπ la funzione

g(x) = f (x) − f (0) e ^ix − 1 Osserviamo che

x→0 lim g(x) = lim

x→0

f (x) − f (0)

x lim

x→0

x

cos x − 1 + i sin x = −iDf (0).

Pertanto la funzione g pu`o essere definita in 0 e tutti i multipli interi di 2π in modo che risulti continua. Basta assegnarle in questi punti il valore

−iDf (0). Osserviamo ora che

f (x) = f (0) + e ^ix g(x) − g(x).

Se calcoliamo i coefficienti di Fourier dei due lati di quest’ultima equasione, otteniamo

f (n) = f (0) ˆ 1 2π

Z _π

−π

e ^−inx dx + 1 2π

Z _π

−π

g(x)e ^−i(n−1)x dx − 1 2π

Z _π

−π

g(x)e ^−inx dx.

Nel caso n 6= 0 si ottiene dunque,

f (n) = ˆg(n − 1) − ˆg(n). ˆ

Mentre nel caso n = 0 si ottiene invece

f (0) = f (0) + ˆg(−1) − ˆg(0). ˆ

Combinando queste due formule e sommando da −N ad N, si ottiene X N

n=−N

f (n) = f (0) + ˆ X N n=−N

[ˆg(n − 1) − ˆg(n)] = f (0) + ˆg(−N − 1) − ˆg(N).

Sappiamo per`o che g `e una funzione integrabile e pertanto,

N →∞ lim ˆg(N) = lim

N →∞ ˆg(−N − 1) = 0.

Ne segue che

N →∞ lim X N n=

f (n) = f (0). ˆ

Supponiamo ora che y 6= 0, e consideriamo la funzione f _−y (x) = f (x + y). Se f `e differenziabile in y allora f −y `e differenziabile in zero. Si applica quindi quanto abbiamo dimostrato. Osserviamo per`o che d f _−y (n) = e ^iny f (n). Per- ˆ tanto la prima parte della dimostrazione applicata alla funzione f _−y fornisce direttamente:

N →∞ lim X N n=−N

f (n)e ˆ ^iny = f (y).

Osservazione 2 . Un esame accurato della dimostrazione ci porta a con- cludere che le ipotesi sulla funzione f possono essere alleggerite. Perch´e la serie di Fourier di f converga ad f nel punto y ∈ R `e sufficiente supporre che f sia una funzione periodica integrabile in [−π, π] e che per y fissato risulti integrabile (secondo Riemann) la funzione

f (x) − f (y) x − y .

Tanto basta infatti per ottenere che risulti integrabile la funzione, definita per x 6= 2kπ, e periodica,

g(x) = f _−y (x) − f _−y (0) e ^ix − 1 ,

che `e quanto necessario per concludere la dimostrazione. Questo risultato pi`u

generale pu`o essere utilizzato per dimostrare che la serie di Fourier di una

funzione periodica ”regolare a tratti” converge, in ogni punto, alla media tra

il limite destro ed il limite sinistro in quel punto.

Definizione 1 . Sia f una funzione periodica di periodo 2π, integrabile nell’intervallo [−π, pi]. Si dice che la serie di Fourier di f converge assolu- tamente se converge la serie,

X ∞

−∞

| ˆ f (n)| (5)

Osservazione 3 Osserviamo che | ˆ f (n)| = p

a ² _n + b ² _n , dove ˆ f (0) = ^a ₂

, ˆ f (n) = a _n − ib _n . Pertanto la serie (5) converge se e solo se converge la serie

X ∞ n=1

(|a _n | + |b _n |)

I coefficienti a n e b n sono, naturalmente, quelli ottenuti con le formule [14.9]

e [14.10] a pag. 98 del libro di testo.

Osservazione 4 La convergenza assoluta della serie di Fourier di f implica la convergenza totale, e quindi uniforme, della serie

X ∞

−∞

f (n)e ˆ ^inx ,

ed anche, naturalmente della corrispondente serie a ₀

2 + X ∞ n=1

(a _n cos nx + b _n sin nx).

E’ facile ora dimostrare il seguente risultato:

Teorema 3 . Sia f una funzione periodica continua con derivata continua, allora la serie di Fourier di f converge, assolutamente e quindi uniforme- mente.

dimostrazione. La derivata Df della funzione f `e integrabile pertanto , per il Lemma 2,

X ∞

−∞

| c Df (n)| ² = X ∞

−∞

|in ˆ f (n)| ² ≤ 1 2π

Z _π

−π

|Df (x)| ² dx.

Pertanto X

n6=0

| ˆ f (n)| = X ∞ n=1

1

n |in ˆ f (n)| + X −∞

n=−1

1

−n |in ˆ f (n)| ≤ X

n6=0

1

|n| | c Df (n)|.

Osserviamo ora che la nota disuguaglianza 2|xy| ≤ x ² + y ² , implica che 1

|n| | c Df (n)| ≤ 1 2 ( 1

n ² + | c Df (n)| ² ).

Ne segue che X ∞ n=−∞

| ˆ f (n)| ≤ | ˆ f (0)| + X

n6=0

1

n ² + X

n6=0

| c Df (n)| ² < ∞.