Fioravante PATRONE e Silvia VILLA

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Appunti a cura di

Fioravante PATRONE e Silvia VILLA

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versione del: 16 maggio 2007 NB: versione preliminare

Indice

1 Giochi di ispezione 2

Riassunto - Abstract

E’ presentato e discusso, sia sul lato della modellizzazione che su quello della interpretazione dei risultati, un semplice gioco di ispezione.

Fioravante PATRONE http://www.diptem.unige.it/patrone homepage Dipartimento di Ingegneria della http://tdg.dima.unige.it web teaching Produzione, Termoenergetica e http://www.citg.unige.it/citg.htm web server “CITG”

Modelli Matematici http://www.scallywag.it web page del gruppo

P.le Kennedy - Pad D Scaλλywag

16129 Genova - ITALY

patrone@diptem.unige.it http://www.diptem.unige.it/patrone/DRI.htm Decisori (razionali) interagenti

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1 Giochi di ispezione

Un gioco di ispezione ` e un gioco a due giocatori che rappresenta una situazione in cui un ispettore deve decidere se verificare che un’altra persona, l’ispezionato, rispetti certe regole che ha interesse a non rispettare.

Prendiamo ad esempio un cliente che acquista una licenza per un software, accettandone alcune restrizioni sull’uso (ad esempio di non farne copie per gli amici). Il cliente ha chiaramente incentivi a violare queste restrizioni, quindi la societ` a che produce il software ha interesse a verificare se il consumatore rispetta gli accordi, oppure no. Tuttavia, poich´ e le ispezioni sono costose non verranno fatte sempre. Nel caso un’ispezione venga fatta, e si scopra che il consumatore abbia imbrogliato, la societ` a pu` o pretendere il pagamento di una multa.

Una situazione analoga a questa ` e rappresentata dal cittadino che deve decidere se pagare o meno le tasse, e lo Stato che deve decidere se controllare o meno. Altri esempi di situazioni rappresentabili in questo modo possono essere le ispezioni per la non proliferazione nucleare da parte di un’organiz- zazione internazionale, oppure il controllo della criminalit` a, o ancora, nel campo delle assicurazioni, le ispezioni fatte sugli assicurati per evitare gli

“azzardi morali”.

Torniamo comunque al primo caso e costruiamo la game form corri- spondente

¹

. A tal fine introduciamo alcuni parametri che descrivono la situazione:

sia α il costo di ispezione;

sia η il costo aggiuntivo per per provare che c’` e stata la violazione (in taluni casi, la prova dovr` a essere convincente per una parte “terza”, ad esempio un giudice) ;

sia β la multa che l’ispettore pu` o pretendere in caso di violazione;

sia γ la perdita in cui incorre l’ispettore, se il cliente imbroglia e non viene scoperto;

sia δ l’utilit` a del cliente che infrange gli accordi senza essere scoperto.

1

Non faremo alcuna distinzione fra la societ` a ed il suo agente (l’ispettore), per cui i due

decisori coinvolti saranno chiamati, sbrigativamente, “ispettore” e “cliente”. Si noti che,

in pratica, pu` o capitare che le preferenze dell’ispettore “in carne ed ossa” siano differenti

da quelle della societ` a per cui lavora: in tal caso, emergono problematiche tipiche dei

cosiddetti “contratti di agenzia”. Qui le trascuriamo, nel tentativo di fare un modello che

sia il pi` u semplice possibile, pur “dicendo” qualcosa.

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Certamente perch´ e il modello abbia senso tutti i parametri introdotti devono essere positivi. Inoltre ` e ragionevole supporre che η > 0, in quanto nel caso il cliente non collabori possono esserci spese aggiuntive per l’ispezione, e tempi pi` u lunghi. Allo stesso modo ` e ragionevole supporre che α < γ, altrimenti la societ` a non avrebbe mai interesse ad effettuare un’ispezione, essendo i costi di ispezione superiori alla perdita subita a causa di imbrogli

²

.

Indicando con I l’ispettore, e con II il cliente, con N I, I le strategie del giocatore I (non eseguire/eseguire l’ispezione) e con C, N C (collaborare/ non collaborare) quelle del giocatore II, il gioco che otteniamo ` e il seguente:

I \

\II C NC

NI 0 0 −γ δ

I −α 0 β − α − η − γ δ − β

Calcoliamo ora l’equilibrio di Nash del gioco al variare dei parametri. La- sciando al lettore i casi in cui le disuguaglianze strette usate qui di seguito si trasformano in uguaglianza.

1) β < δ

In tal caso la multa che il giocatore II dovrebbe pagare al giocatore I garan- tisce comunque di guadagnare non collaborando, quindi in questa situazione non collaborare ` e una strategia fortemente dominante per il giocatore II.

Allora se β − α − η > 0 si ha l’unico equilibrio in strategie pure (I, N C).

Altrimenti, se β < α + η, l’unico equilibrio ` e (N I, N C), in quanto la perdita per la societ` a ` e comunque inferiore ai costi di ispezione in cui incorrerebbe, nonostante la multa.

2) β > δ, β < α + η

In tal caso non ispezionare ` e una strategia fortemente dominante per il giocatore I, quindi come nel caso precedente esiste un unico equilibrio in strategie pure, che questa volta ` e (N I, N C).

3) β > δ, β > α + η

2

Si noti che stiamo considerando una interazione uniperiodale. In un contesto, molto realistico e significativo, di interazione ripetuta fra ispettore e cliente, quanto detto pu` o non essere corretto. E’ evidente che vi possono essere effetti di deterrenza da tenere in conto:

un supermercato pu` o ritenere utile perseguire piccoli furti, per ragioni fondamentalmente

reputazionali.

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Questo ` e il caso pi` u interessante. Notiamo che le assunzioni fatte implicano che il giocatore I nel fissare l’ammontare della multa sia in grado di stimare sia δ, ovvero l’utilit` a del giocatore II che sta infrangendo le regole (cosa non cos`ı facilmente quantificabile in realt` a), sia i costi aggiuntivi necessari per provare la violazione da parte del cliente (anche questo non cos`ı scontato, in quanto non ` e prevedibile facilmente la resistenza opposta del cliente).

Con queste ipotesi sui parametri il gioco considerato non ha equilibrio in strategie pure, infatti: se il giocatore II sa che il giocatore I non eseguir` a il controllo, la sua miglior risposta ` e non collaborare, perch´ e δ > 0; se sa che il controllo sar` a eseguito, la sua miglior risposta ` e collaborare, perch´ e abbiamo scelto β > δ. Viceversa, se il giocatore I sa che il giocatore II

`

e collaborativo ha interesse a non controllare per non incorrere nei costi di ispezione (−α < 0), se sa che il giocatore II imbroglia, ha interesse ad effettuare il controllo, perch´ e in questo caso β − α − η − γ > −γ. Questo ci dice che non ci sono equilibri in strategie pure. Cerchiamo gli equilibri in strategie miste. Indichiamo con f (p, q) e g(p, q) l’utilit` a attesa per il primo giocatore e il secondo rispettivamente, nel caso il primo giocatore scelga la strategia mista che assegna probabilit` a p a N I e 1 − p a I e il secondo quella che assegna probabilit` a q a C e 1 − q a N C. Si ottiene:

f (p, q) = [(β − η)q + η + α − β]p − (β − η − γ)q + β − α − η − γ;

g(p, q) = (−βp + β − δ)q + βp + δ − β;

Quindi le funzioni di miglior risposta sono date da

M R

_I

(q) =



 

 

0 q <

^β−α−η_β−η

[0, 1] q =

1 q >

M R

_II

(p) =



 

 

0 p > 1 − δ/β [0, 1] p = 1 − δ/β 1 p < 1 − δ/β Questo gioco ha quindi un unico equilibrio in strategie miste dato da p

^∗

= 1 −

_β^δ

e q

^∗

=

.

Il payoff atteso, in equilibrio, ` e (si noti che il coefficiente di p in f e di q in g sappiamo che si annullano, in quanto i valori di equilibrio trovati soddisfano appunto quella condizione. Come si vede bene dal disegno in figura (1):

f (p

^∗

, q

^∗

) = −(β − η − γ) β − α − η

β − η + β − α − η − γ g(p

^∗

, q

^∗

) = β(1 − δ

β ) + δ − β.

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- 6

I II

p

^∗

1 q

^∗

1 e

best reply di I

best reply di II

e

equilibrio di Nash

Figura 1: I grafici delle corrispondenze di miglior risposta

Da cui (conti un po’ noiosi per f , ma notare che si possono “organizzare”:

f (p

^∗

, q

^∗

) = −(β − η − γ) β − α − η

β − η + β − α − η − γ =

= −(β − η − γ)(β − α − η) + (β − α − η − γ)(β − η)

β − η =

= −((β − η) − γ)((β − η) − α) + ((β − η) − α − γ)(β − η)

β − η =

= −(β − η)

²

+ α(β − η) + γ(β − η) − αγ + (β − η)

²

− α(β − η) − γ(β − η)

β − η =

= −αγ β − η

f (p

^∗

, q

^∗

) = −αγ

β − η

g(p

^∗

, q

^∗

) = 0.

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Quindi il payoff atteso per il primo ` e negativo (non sorprendente!), mentre il secondo giocatore ottiene 0 (anche questo, ovvio: basta che lui scelga C). Interessante ` e il fatto che il payoff non dipenda da δ (neanche questo, sorprendente).

Riassumendo:

parametri parametri equilibrio Payoff att. I Payoff att. II

β < δ β < α + η (N I, N C) −γ δ

β < δ β > α + η (I, N C) β − α − η − γ δ − β

β > δ β < α + η (N I, N C) −γ δ

β > δ β > α + η eq. in miste −α γ

β − η 0

Consideriamo i payoff attesi nell’ultimo caso. Rispetto all’onest` a il giocatore II non ci guadagna, n´ e ci rimette, in quanto il suo payoff atteso ` e comunque 0. Il giocatore I invece ci rimette, infatti il suo payoff atteso ` e negativo, essendo β > η, e α > 0, γ > 0.

Vediamo come varia il payoff atteso di I rispetto ai parametri: decresce linearmente con α e γ, e si avvicina a 0, che sarebbe il miglior valore possibile, quando β → +∞. Per quel che riguarda η, osserviamo che se tende al suo limite superiore β − α, il payoff atteso si avvicina a −γ.

Supponiamo ora che il giocatore I abbia la possibilit` a di annunciare la propria strategia prima di sceglierla, e farla conoscere al giocatore II. Pas- sando alla rappresentazione in forma estesa del gioco l’effetto dell’annuncio si pu` o vedere nella figura seguente:

@

@ @ b

r r

r r r r

2 N I I

1 C N C C N C

0 0

−γ δ

−α 0

β − η − γ − α δ − β

@

@ @ b

r r

r r r r

2 2

N I I

1 C N C C N C

0 0

−γ δ

−α 0

β − η − γ − α

δ − β

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Troviamo, mediante l’induzione a ritroso, l’esito del gioco a destra. L’ana- lisi della situazione in questi termini ` e molto semplice, riassumiamo i risultati (ovvi) nella tabella seguente:

parametri parametri equilibrio Payoff att. I Payoff att. II β < δ β < α + η (N I, (N C, N C)) −γ δ β < δ β > α + η (I, (N C, N C)) β − η − α − γ δ − β

β > δ β < α + η (I, (N C, C)) −α 0

β > δ β > α + η (I, (N C, C)) −α 0

Chiaramente l’annuncio funziona da deterrente e l’esito ` e pi` u favorevole

al giocatore I, tranne che nell’ultimo caso che vediamo a parte, rispetto al-

l’esito del gioco a mosse simultanee. Nell’ultimo caso si ha un miglioramento

per il giocatore I rispetto a l gioco precedente, soltanto se β − η < γ, ovvero

la multa non ` e troppo alta.