Modelli Matematici, 2004/05 Fioravante Patrone c 1

Modelli Matematici, 2004/05 Fioravante Patrone c 1

Equazioni differenziali lineari

Una equazione differenziale lineare del secondo ordine ` e:

y ⁰⁰ + a ₁ (x)y ⁰ + a ₂ (x)y = b(x) (1) Se le funzioni a 1 , a 2 sono definite e continue su un intervallo I ed x 0 ∈ I, allora il problema di Cauchy:







y ⁰⁰ + a ₁ (x)y ⁰ + a ₂ (x)y = b(x)

y(x ₀ ) = y ₀

y ⁰ (x ₀ ) = y ₁

ha una ed una sola soluzione.

L’equazione:

y ⁰⁰ + a ₁ (x)y ⁰ + a ₂ (x)y = 0 (2) viene detta omogenea (o anche “omogenea associata” se si intende fare rife- rimento alla (1)).

Si pu` o dimostrare che l’insieme delle soluzioni di (2) ` e uno spazio vettoria- le di dimensione due. Quindi ` e sufficiente trovare due soluzioni φ ₁ , φ ₂ linear- mente indipendenti di (2) per determinarne tutte le soluzioni, che saranno della forma c ₁ φ ₁ + c ₂ φ ₂ .

L’insieme delle soluzioni di (1), ovvero di (2), viene chiamato usualmente

“integrale generale”.

Per ottenere tutte le soluzioni di (1), occorre determinare una soluzione φ _b di (1), dopo di che tutte le soluzioni sono del tipo φ ₀ + φ _b , dove φ ₀ ` e una soluzione di (2).

Pertanto, l’integrale generale di (2) ` e:

c ₁ φ ₁ (x) + c ₂ φ ₂ (x) + φ _b (x)

dove φ ₁ e φ ₂ sono soluzioni di (2) linearmente indipendenti tra loro e φ _b ` e una qualsiasi soluzione di (1).

Se l’equazione (2) ` e a coefficienti costanti, possiamo trovare le soluzioni risolvendo l’equazione caratteristica:

λ ² + a ₁ λ + a ₂ = 0

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Distinguiamo tre casi:

- l’equazione caratteristica ha due soluzioni λ ₁ , λ ₂ reali e distinte. Allora l’equazione (2) ha due soluzioni linearmente indipendenti che sono: φ ₁ (x) = e ^λ

^x , φ ₂ (x) = e ^λ

^x

- l’equazione caratteristica ha una soluzione ˆ λ reale, di molteplicit` a 2. Al- lora l’equazione (2) ha due soluzioni linearmente indipendenti che sono:

φ ₁ (x) = e ^{λx ˆ} , φ ₂ (x) = xe ^{λx ˆ}

- l’equazione caratteristica ha due soluzioni complesse λ 1 , λ 2 . Poich´ e es- se sono necessariamente coniugate, avremo λ ₁ = α + iβ, λ ₂ = α − iβ.

Allora l’equazione (2) ha due soluzioni linearmente indipendenti che sono:

φ 1 (x) = e ^αx cos(βx), φ 2 (x) = e ^αx sin(βx)

Tutto quanto abbiamo visto per le equazioni del secondo ordine si pu` o

generalizzare alle equazioni di ordine n.