Infomazioni Infomazioni utili..utili.. 1. 1. VettoriVettori FisicaFisicaGeneraleGeneraleLL--AA

Fisica

Fisica Generale Generale L- L -A A

http://ishtar.df.unibo.it http://ishtar.df.unibo.it

1. Vettori 1. Vettori

3/02/2003 3/02/2003

2

Infomazioni

Infomazioni utili.. utili..

uu dott. A. Carbonedott. A. Carbone

uu ricevimentoricevimento

n quando: mercoledì 9.30–11.30, mandare e-mail per conferma.

n dove: Via Irnerio 46, Dipartimenro di Fisica, stanza 168 u

u e-e-mail:mail:

n carbone@bo.infn.it

uu DocumentazioneDocumentazione

n esercizi + soluzioni

n presto su internet….

n http://ishtr.df.unibo.it/Uni/bo/ingegneria/all/semprini_cesari/stuff/homepage.htm

3

y

x

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) αααα ββββ ββββ

ββββ αααα αααα

cos sin cos sin

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

c b

c b

tg a b

c a

c a

tg b a

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( αααα ββββ )))) (((( )))) (((( )))) αααα ββββ (((( )))) (((( )))) ββββ αααα ππππ αααα (((( )))) αααα αααα ππππ αααα

αααα ββββ

ββββ αααα

ββββ αααα

2 sin cos sin

sin cos

cos cos

2 cos sin cos

sin cos

sin sin

====





−−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

±±±±

====





−−−−

⋅⋅⋅⋅ 

±±±±

⋅⋅⋅⋅

====

±±±±



αααα b

a

c

O

Teorema di

Teorema di Carnot Carnot

αααα b

a c

Consideriamo i vettori a e b

b a c

====

−−−−

elevando al quadrato:

(((( ))))

(((( ))))

cos 2

2

2 2

2 2 2 2

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

====

====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

====

−−−−

====

b a b

a

b a b

a b a

c

conversione gradi-radianti

y

x O

(((( )))) γγγγ

2 2

2

2 ====a ++++b −−−− ⋅⋅⋅⋅a⋅⋅⋅⋅b⋅⋅⋅⋅

c

(((( ))))

(((( ))))

((((

))))

αααα ⁼⁼⁼⁼₁₈₀^⋅⋅⋅⋅

5

Es. 1 Es . 1

uu Dati due vettori e l’angolo tra essi compreso Dati due vettori e l’angolo tra essi compreso , , determinare modulo direzione e verso dei vettori determinare modulo direzione e verso dei vettori e .

e .

d d bb

aa -

-bb

--

v v

bb a a Somma

Differenza

--

b

a , ^

ϑϑϑϑ

b a v ====  ++++ ^ b

a

d ^



 -====

6

Rappresentazione

Rappresentazione cartesiana cartesiana di di vettori

vettori

uu Terna d’assi cartesiana Terna d’assi cartesiana ortogonale

ortogonale

n Tre rette cartesiane (o assi) x,y,z, ortogonali a due a due aventi un punto in comune O detta origine.

u Terna di versori cartesiani

n Vettori di modulo unitario indicati con i,j,k,

corrispondenti

rispettivamente agli assi x,y,z

((((

))))

ˆ ====

i

((((

))))

ˆj ====

((((

))))

ˆ ====

k

k j i ˆ ∧∧∧∧ ˆ ==== ˆ

x

kˆ iˆ

jˆ

y z

O

7

vettori vettori



 

v_y v_z

v_x

P

k v j v i v v

v v v v

z y

x

z y x

ˆ ˆ

ˆ

) , , (

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

====



Componenti cartesiane Componenti cartesiane

del vettore del vettore

Rappresentazione Rappresentazione

cartesiana del vettore cartesiana del vettore

O v

Es Es. 2 . 2

u

u Trovare le componeti Trovare le componeti del vettore b proiettato sulla direzione del vettore b proiettato sulla direzione del vettore a dove

del vettore a dove

1.

1. a = (0,4,a = (0,4,--3)3) b = (1,1,1)b = (1,1,1)

2.

2. a = (a = (--2,3,2,3,--1)1) b = (4,-b = (4,-2,0)2,0)

3.

3. a = (8,2,a = (8,2,--3)3) b = (1,0,-b = (1,0,-1)1)

O y z

b

9

Es. 3 Es . 3

u

u Un automobile viaggia verso est per 5 Km, quindi devia Un automobile viaggia verso est per 5 Km, quindi devia verso nord per 8 Km e prima di fermarsi, torna indietro con verso nord per 8 Km e prima di fermarsi, torna indietro con direzione sud

direzione sud--est per 4 Km. Calcolare il vettore est per 4 Km. Calcolare il vettore spostamento.

spostamento.

s

x y

O 5 Km

8 Km 4 Km

s^’

A B

C

10

Coordinate polari Coordinate polari



 

θθθθ

u

u Terna di versori polari:Terna di versori polari:

n La terna così costruita dipende dal punto P, cioè i valori dei versori cambiano punto a punto a differenza della

rappresentazione in coordinate cartesiane

r P

ϕϕϕϕ O

iˆr

iˆϑϑϑϑ

iˆϕϕϕϕ v_z

v_x v_y

iˆr iˆ_ϑϑϑϑ iˆ_ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ϑϑϑϑ ϑϑϑϑ ϕϕϕϕ ϑϑϑϑ

i v i v i v v

v v v v

r r

r

ˆ ˆ

ˆ ) , , (

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

====



Rappresentazione in Rappresentazione in coordinate polari coordinate polari

I versori sono sempre applicati al vettore in questo caso particolare nell’origine O. Sono stati disegnati in P per rendere più chiaro il disegno

v

11



 

u

u Terna di versori polari:Terna di versori polari:

n La terna così costruita dipende dal punto P, cioè i valori dei versori cambiano punto a punto a differenza della

rappresentazione in coordinate cartesiane

P

ϕϕϕϕ O

iˆr

iˆϕϕϕϕ

v_x v_y

iˆr iˆz iˆ_ϕϕϕϕ

k v i v i v v

v v v v

z r

r z r

ˆ ˆ

ˆ ) , , (

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

====

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ



Rappresentazione in Rappresentazione in coordinate cilindriche coordinate cilindriche

r V_z = z

kˆ ^v

Es Es. 4 . 4

uu Nell’origine di un sistema cartesiano di coordinate sono Nell’origine di un sistema cartesiano di coordinate sono applicate le forze

applicate le forze

calcolare modulo e direzione della risultante delle forze in calcolare modulo e direzione della risultante delle forze in coordinate cartesiane e polari

coordinate cartesiane e polari

. .



k j i f k j i f

k j f

k j i f

3 ˆ 7 ˆ ˆ

5 ˆ 2 ˆ 3 ˆ

3 ˆ 2 ˆ 4 ˆ ˆ 5 ˆ

4 3

2 1

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

Per la rappresentazione grafica supponiamo di trovarci sul piano (x,y)

O f₁

f₂

13

Es. 5 Es . 5

u

u Calcolare l’area del parallelogrammo definito dai tre Calcolare l’area del parallelogrammo definito dai tre vettori

vettori v^ ₁==== −−−−6⋅⋅⋅⋅iˆ , v^ ₂ ====9⋅⋅⋅⋅ˆj , v^ ₃ ====4⋅⋅⋅⋅ˆj++++6⋅⋅⋅⋅kˆ

  

v₂ θθθθv₁

v₃

O

A

B C

D E

14

Es Es. 6 . 6

u

u Calcolare l’area del triangolo determinato dai vettoriCalcolare l’area del triangolo determinato dai vettori

k j i v

j i v

7 ˆ 3 ˆ 4 ˆ

7 ˆ 2 ˆ

2 1

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

====

 



θθθθ A

H B

O

v₀ r₀

La figura è un esempio di una rappresentazione generica in due dimensioni, non corrispondente ai vettori dell’esercizio.

15

k j i v j i

v^₁====2⋅⋅⋅⋅ˆ++++7⋅⋅⋅⋅ˆ , ^₂====4⋅⋅⋅⋅ˆ++++−−−−3⋅⋅⋅⋅ˆ−−−−7⋅⋅⋅⋅ˆ













====











++++

==== ++++

++++

++++

====

−−−−

−−−−

x y

z y x

z z y x r

v v v

v v v v v

v v v v

1

2 2 2 1

2 2 2

tan cos

ϕϕϕϕ ϑϑϑϑ

!!!!

!!!!""""####

====

====

++++

====

−−−−

z y z z

y x r

v tg v v

v v

v v v

1 2 2

ϕϕϕϕ u

u Dati i vettori in rappresentazione Dati i vettori in rappresentazione cartesiana passare alla rappresentazione in coordinate cartesiana passare alla rappresentazione in coordinate polari e cilindriche. Calcolare il prodotto scalare nella polari e cilindriche. Calcolare il prodotto scalare nella rappresentazione cartesiana e quella cilindrica.

rappresentazione cartesiana e quella cilindrica.

Trasformazioni componenti di Trasformazioni componenti di un vettore cartesiane

un vettore cartesiane--polaripolari Trasformazioni componenti di Trasformazioni componenti di un vettore cartesiane

un vettore cartesiane--cilindrichecilindriche

Es Es. 8 . 8

u

u Sia un vettore in coordinate polari Sia un vettore in coordinate polari

disposto su un piano. Determinare il modulo della velocità disposto su un piano. Determinare il modulo della velocità all’istante sapendo che e

all’istante sapendo che e . .

$$$$

%%%%

&&&&

''''(((())))

⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

==== ++++ g t

t

a c ,

1 1

*

2 ⁻⁻⁻⁻1

==== s

s c rad g====5 / s

t ====3



t g⋅⋅⋅⋅

ϕϕϕϕ====

t = 3s

La velocità di un vettore è definita :

(((( )))) (((( ))))

dt t v t d v

+

+ ====