VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 14 marzo 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
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Geometria
Una circonferenza g passa per i vertici A e B di un triangolo ABC e interseca i lati AC e BC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostrare che i triangoli ABC e DEC sono simili.
(Esercizio n.37 pag.360 Geometria)
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Equazioni e fisica
La legge s= vt+ s0 descrive lo spazio percorso da un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme; v è la velocità del corpo, t è il tempo impiegato e s0 è lo spazio iniziale. Due macchine viaggiano su un percorso rettilineo (nello stesso verso), la macchina A viaggia a 70 km/h mentre la macchina B viaggia a 55 km/h ma parte 5 km pià avanti della macchina A. Dopo quanto tempo si incontrano le due macchine?
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Equazioni e fisica
La temperatura può essere misurata in gradi Celsius, Kelvin o Fahrenheit. Per convertire le temperature espresse in gradi Kelvin o Faherenheit si utilizzano le seguenti equazioni:
TC=TK−273,15 TC=5
9(TF−32)
L'acqua manifesta un comportamento anomalo tra gli 0°C e i 4°C. Esprimere tale intervallo in gradi Kelvin e in gradi Fahrenheit.
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Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
1−∣2 x+1∣+∣x−3∣−∣x∣=0
5
Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
∣x+∣x−1∣ ∣+3∣x−1∣= x
Valutazione
Obiettivi: mantenimento degli argomenti di geometria; ripresa di equazioni e disequazioni collegandoli a problemi di fisica. Riuscire a gestire la risoluzione di equazioni con valore assoluto.
Riferimenti principali: capitolo 8 del libro di Geometria; capitolo 10 del libro di Algebra vol.1
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la penna rossa!
Non usare la “cancellina”!
1
Geometria
Una circonferenza g passa per i vertici A e B di un triangolo ABC e interseca i lati AC e BC rispettivamente nei punti D ed E. Dimostrare che i triangoli ABC e DEC sono simili.
(Esercizio n.37 pag.360 Geometria)
Ipotesi: ABC triangolo; g circonferenza A , B , D , E∈γ∧C ∉γ ;
D∈AC∧E∈BC
Tesi: i triangoli ABC e DEC sono simili Dimostrazione:
Osserviamo subito che i triangoli ABC e DEC hanno l'angolo in C in comune.
Inoltre osserviamo che il quadrilatero ABED è inscritto nella circonferenza g .
Per il teorema 29 pag.203 di MultiMath Geometria, “un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari”, dunque gli angoli ̂ADE +̂ABE ≡π .
D'altra parte ̂ADE è l'angolo esterno del triangolo ADE corrispondente all'angolo ̂DCE , perciò è pure vero che ̂ADE +̂CDE≡π .
Segue necessariamente che ̂ABE ≡̂CDE .
A questo punto possiamo dire che per il primo criterio di similitudine segue la tesi.
2
Equazioni e fisica
La legge s= vt+ s0 descrive lo spazio percorso da un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme; v è la velocità del corpo, t è il tempo impiegato e s0 è lo spazio iniziale. Due macchine viaggiano su un percorso rettilineo (nello stesso verso), la macchina A viaggia a 70 km/h mentre la macchina B viaggia a 55 km/h ma parte 5 km più avanti della macchina A. Dopo quanto tempo si incontrano le due macchine?
Evidentemente le due macchine si incontrano significa che sono nello stesso posto nello stesso tempo. Diciamo che si incontrano all'istante t al chilometro s.
La macchina A s=70 t La macchina B s=55t+5
Per la proprietà transitiva: 70 t=55 t+5 .
Risolvendo l'equazione in t: 15t=5 ovvero t=1 3
Le macchine si incontrano dopo un terzo di ora, ovvero dopo 20 minuti.
3
Equazioni e fisica
La temperatura può essere misurata in gradi Celsius, Kelvin o Fahrenheit. Per convertire le temperature espresse in gradi Kelvin o Faherenheit si utilizzano le seguenti equazioni:
TC=TK−273,15 TC=5
9(TF−32)
L'acqua manifesta un comportamento anomalo tra gli 0°C e i 4°C. Esprimere tale intervallo in gradi Kelvin e in gradi Fahrenheit.
0=TK−273,15 ovvero TK=273,15 4=TK−273,15 ovvero TK=277,15
0=5
9(TF−32) ovvero TF=32 4=5
9(TF−32) ovvero 36
5 =TF−32 ovvero TF=36
5 +32=39,2
Nella domanda si chiede di “esprimere l'intervallo in gradi Kelvin e in gradi Fahrenheit”, qualche studente ha interpretato questa richiesta (con qualche ragione, devo dire) in questo modo:
Intervallo in gradi Kelvin: 277,15−273,15=4 Intervallo in gradi Fahrenheit 39,2−32=7,2
4
Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
1−∣2 x+1∣+∣x−3∣−∣x∣=0
I valori cruciali sono −1
2;0 ;3 .
Caso I x<−1 2
L'equazione diventa: 1+2 x+1−x+3+ x=0 ovvero 2 x=−5 ovvero x=−5 2 . Tale soluzione è accettabile.
Caso II −1
2≤x<0
L'equazione diventa: 1−2 x−1−x+3+ x=0 ovvero −2 x=−3 ovvero x=3 2 Tale soluzione non è accettabile.
Caso III 0≤x<3 .
L'equazione diventa: 1−2 x−1−x+3−x=0 ovvero −4 x=−3 ovvero x=3 4 Tale soluzione è accettabile.
Caso IV x≥3
L'equazione diventa: 1−2 x−1+ x−3−x=0 ovvero −2 x=3 ovvero x=−3 2 Tale soluzione non è accettabile.
Conclusione:
Le soluzioni richieste sono x=3
4∧x=−5 2
5
Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:
∣x+∣x−1∣ ∣+3∣x−1∣= x
Osserviamo subito che le soluzioni di questa equazione sono necessariamente positive, visto x come somma di addendi positivi. Dunque x>0 .
Cominciamo a lavorare sul valore assoluto ∣x−1∣ . Caso I: x−1<0 ovvero x<1
L'equazione diventa: ∣x−x+1 ∣+3(1−x)=x ovvero 1+3−3 x=x ovvero 4=4 x e quindi x=1 che è tecnicamente non è accettabile, ma che scopriremo essere davvero soluzione.
Caso II: x−1≥0 ovvero x≥1
L'equazione diventa: ∣x+x−1∣+3( x−1)=x ovvero ∣2 x−1∣+3(x−1)= x .
Posso togliere anche il secondo valore assoluto, visto che il suo argomento è positivo per x>1 2 ma siamo nel caso x≥1 .
Dunque 2 x−1+3 x−3=x ovvero 4 x=4 ovvero x=1 che, anche se per un pelo, è accettabile.
Conclusione:
L'unica soluzione è: x=1
