Estrazione di radice in C: un esempio Determiniamo le radici cubiche di z = −8 in C. Forma trigonometrica/esponenziale di −8: z = −8 = 8(cos π + i sin π) = 8e

Estrazione di radice in C: un esempio

Determiniamo le radici cubiche di z = −8 in C.

Forma trigonometrica/esponenziale di −8:

z = −8 = 8(cos π + i sin π) = 8e^iπ .

• In R, −8 ha una radice cubica: −2

• In C, −8 ha tre radici cubiche distinte

• w = r(cos φ + i sin φ) = re^iφ `e una radice cubica di

−8 se e solo se:

w³ = 8e^iπ ⇔ r³e^i3φ = 8e^iπ ⇔ (r³ = 8

3φ = π + 2kπ , k ∈ Z ⇔

(r = √³

8 = 2 φ_k = π

3 + 2kπ

3 , k ∈ Z

1

Le uniche radici cubiche distinte sono:

k = 0 : z⁰ = 2 cos π

3 + i sin π

3
= 2e^iπ3 = 1 + i√ 3 k = 1 : z¹ = 2(cos π + i sin π) = 2e^iπ = −2

k = 2 : z² = 2 cos 5π

3 + i sin 5π

3
= 2e^i53π = 1 − i√ 3

2