Università degli Studi di Siena

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Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2019-20) 15 marzo 2021

Compito Unico

") Costruiamo la tavola di verità richiesta considerando solo i casi in cui una e solo una delle tre proposizioni è falsa.

: ; < c: Ê < ; Ê c< c: Ê < Í ; Ê c<

Z Z J Z Z Z

Z J Z Z Z Z

J Z Z Z J J




#) La parola R ET SPM è formata da sei lettere tutte distinte; i suoi anagrammi anche privi di senso sono 'x œ (#!. per quanto riguarda la parola R ET SPIX ER S, questa è composta da dieci lettere di cui tre: , e , che si ripetono; i suoiN A O anagrammi anche privi di senso sono pertanto "!x .

#x œ %&$Þ'!!

^$

$ $B  " œ  ( Þ a  ! $B  "   ( œ

# # # #

)

637

B Ä  # % ¹ Œ ¹

¹$B $ '¹ $¹ ¹ $¹ ¹

# œ # B $ # , posto # B $ # % % risulta lB $ #l % # Î$% da cui

$_% œ # Î$% , limite verificatoÞ

%) 637 œ 637 $ œ

B Ä ! B Ä !

691 " $ B  691 "  B 691 " $ B 691 "  B

B B  B

^#
^#
^#
^#

# # #

Ä " $ Ä " œ # .


637 œ 637 † œ

B Ä !=/8 B † B  " B Ä !B =/8 B  =/8 B

B B

# # # #

# #

Œ  #

Ä!
† Ä! 
Ä " œ  ".

& GÞIÞ $B Á ! Ê B Á ! GÞIÞ œ) : ; ‘^‡ œ‘ÏÖ!× œ Ó  ∞ß !Ò ∪ Ó!ß $ ∞Ò.

C  B œ / œ  / C  B C B  C B

$  B $B







" B
 "$B

. è diversa sia da che da ; funzione né pari né dispari.

Segno ed intersezioni con gli assi: C  ! se /  ! Ê $B  ! Ê B  !, in

$B

"B

quanto /^"B è un'esponenziale, quindi positiva. Funzione negativa in Ó  ∞ß !Ò, positiva in Ó!ß $ ∞Ò. Nessuna intersezione con gli assi.

Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä  ∞

637

/ Ä $ ∞

$B œ Ä  ∞ œ J M

"B


 , possiamo risolvere il limite applicando il Teorema di de l'Hôpital:

637 637

B Ä  ∞ B Ä  ∞

/  /

$B^"B ÊL $^"B œ  ∞

.

637 637 637

B Ä  ∞ B Ä  ∞ B Ä  ∞

C / Ä $ ∞

B œ B œ $B œ Ä $ ∞ œ J M

/

$B "B

#

"B



 , anche in

questo caso possiamo risolvere il limite applicando il Teorema di de l'Hôpital per due volte consecutivamente:

637 637 637

B Ä  ∞ B Ä  ∞ B Ä  ∞

/  / Ä  ∞ /

$B^"B ÊL 'B^"B œ Ä  ∞ œ J M ÊL ^"B' œ

#





$ ∞. La funzione a sinistra non presenta asintoti.

B Ä !

637

/ Ä /

$B œ Ä ! œ „ ∞ EZ B œ !

"B

„



 . di equazione .

B Ä $ ∞

637

/ Ä !

$B œ Ä $ ∞ œ ! ES .B C œ !

"B


 . di equazione .

Crescenza e decrescenza: C œ  / † $B  / † $ œ  $ / B $ " œ

$B Î

Î

* B

w "B "B "B

# $ #





 / B $ "  / B $ "

$B C  ! Ê $B  ! Ê B $ " % ! Ê B %  "

"B "B

# #

 w


. .

Funzione strettamente crescente in Ó  ∞ß  "Ó; strettamente decrescente in Ò  "ß !Ò e in Ó!ß $ ∞Ò. Punto di massimo relativo per B œ  ", con C  " œ  / Î$
 ^# . Concavità e convessità: l'esistenza del punto di massimo relativo di ascissa negativa, insieme ai due asintoti prima determinati ed al fatto che la funzione non presenta punti di flesso, implica che tale funzione è strettamente concava in Ó  ∞ß !Ò, strettamente convessa in Ó!ß $ ∞Ò.

Grafico (in rosso l'asintoto verticale della funzione, in verde quello orizzontale):

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

grafico funzione

.

' œ B  # œ

$ B

) ( Œ  k k

"

$

B ^# " ##

B $ B .B Œ ^$ 691 B  

"

$

Œ*  # Œ"  # œ "! 

$ $

691 $  691 "  691 $.

7) La funzione proposta è composizione di funzioni continue e derivabili in tutto l'insieme , ne consegue che essa è continua e derivabile nell'intervallo ‘ Ò  "ß "Ó, C  " œ C " œ "

 ; a tale funzione è applicabile il Teorema di Rolle nell'intervallo proposto. C œ  #B/^{w #B#}, per determinare B_! è quindi necessario risolvere

l'equazione: C œ ! Ê  #B/^{w #B} œ ! Ê B œ !! .

#

8) f0 œ Ð#B  % C  #(ß $ ^# Ñ.

J SG # œ ! Ê Ê T Ð#ß „ $Ñ

$ œ !

œ # œ *

œ # œ „ $

: œ B  % œ œ , due punti critici .

C  #(^# C^#

B B

C ^"ß#

[0 œ ! à l 0 l œ "[

! '

”# •

C #C.

WSG l 0 ÐT Ñl œ $'  ! 0 ÐT Ñ œ: [ _" , _"  ! T. _" punto di minimo.

BBww #

l 0 ÐT Ñl œ  $' % ! T[ _# . _# punto di sella.