Onde elettromagnetiche 27 ottobre 2014

Onde elettromagnetiche

27 ottobre 2014

Predizione dell’esistenza di onde elettromagnetiche Velocita` di propagazione

L’opera di H. Hertz

Generazione delle onde e.m.. Antenne Soluzioni progressive e regressive Onde sinusoidali

Lunghezza d’onda e periodo dell’onda Polarizzazione

Trasporto di energia di un’onda Vettore di Poynting

Intensità di energia di un’onda sinusoidale

Equazioni di Maxwell nel vuoto

• L’assenza di cariche e correnti magnetiche rende le equazioni asimmetriche tra i campi E e B

• Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio ove non ci sono cariche ne’ correnti elettriche

dt E l d

d B

C

) (

0 0

 

 





0 )

( 

 E 

0 )

( 

 B 

B l d

d E

C

) ( 

     



Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto

• In forma differenziale:

• Consideriamo la prima equazione e facciamo la rotazione dei due membri:

t E B



 







 



t B E



 





 



0 0





 

t E B



 















 







 0



 E  

 0



 B  

3

Lemma

• Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per componenti cartesiane

• Sommiamo e sottraiamo un termine

 

 

x z

E z

E y

E x

y E

x E z

E z

y E x

E E y

x z y x

x z y x

x





 



 



 





 

 



 







 







 



 







 







 









2 2

2 2

2 2







 

 



   

 

 

 

 

 

 





 

 



 



 









 



 



 





 









E E E

E E

E

x E x

E x

z E z

E y

E x

y E E

y z x

x x

x

x x

z x

y x x

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2







Lemma

• La prima parentesi e` il laplaciano della componente E_x

• mentre la seconda e` la componente x del gradiente della divergenza di E

• Le componenti y e z si ricavano per permutazione ciclica degli indici; sommandole alla componente x troviamo

infine

x x

x

x E

z E y

E x

E  



 



 





2 2 2

2 2

2





x z

E y

E x

E x

x z

E x

y E x

Ex y z x y _z  



 

 



 







 



 







 





 





 



 ^{2 2}

2 2

  







e x E

E _k

k k

k k k

















       



 



















5

Soluzioni delle eq. di Maxwell nel vuoto

• La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione priva di cariche, quindi

• Per il secondo membro dell’eq.

• scambiamo l’ordine tra gradiente e derivata rispetto a t e quindi usiamo la legge di Faraday:

 

t E t

E B t

t t

B



 

 



 











 





 

 

 

 







 

 

    





    



 

t E B



 















 







Equazione delle onde

• Abbiamo infine:

• Se fossimo partiti dalla seconda equazione avremmo ottenuto

• Ciò significa che per ogni componente di E e di B, vale un’equazione del tipo

2

0

2 0

0

2





 

 t

E E

 

  

2

0

2 0 0

2





 

 t

B B

 

  

 

 

2 



 

 f r t

t t r

f  



 

7

Dimensioni di

• Cioè le dimensioni dell’inverso di una velocità al quadrato

• Possiamo scrivere

• L’equazione diventa

• che e` la famosa equazione delle onde

0 0









dim L

 T





0 0

1



  v

 

 

2 



 

 f r t

t t v

r

f  



Equazione delle onde

• Questa equazione descrive la propagazione della grandezza f con velocita` v

• Le equazioni di Maxwell predicono l’esistenza di onde elettromagnetiche

• Queste onde si propagano con velocita`

• Le grandezze che oscillano sono le componenti dei campi E e B

0

1 0

 v

9

Valore della velocita`

• Calcoliamo la velocita` delle onde elettromagnetiche

• Il valore coincide quasi esattamente con la velocita` della luce

• Maxwell penso` che questa coincidenza non potesse essere fortuita

• Fece l’ipotesi che la luce fosse un fenomeno elettromagnetico

s

v ⁸ m

12 0 7

0

10 999

. 10 2

85 . 8 10

4

1

1  





 

     

c

v 

Hertz e la

scoperta delle onde e.m.

• Hertz uso` un generatore di scariche comandato da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili lunghi un metro come trasmettitore

• Sfere capacitive erano presenti alle estremita`

per regolare la risonanza del circuito

• Il ricevitore era una semplice antenna dipolare

11

L’opera di Hertz

• Con i suoi esperimenti Hertz studio`

– Riflessione – Rifrazione

– Polarizzazione – Interferenza

• delle onde elettromagnetiche e ne misuro`

la velocita` di propagazione

Generazione delle onde

• Le onde e.m. sono generate quando cariche elettriche subiscono un’accelerazione

• Ad esempio quando le cariche oscillano, esse emettono onde e.m. la cui frequenza è uguale alla frequenza di oscillazione

• L’antenna è uno strumento per generare (e rivelare) onde e.m.

13

Antenna trasmittente dipolare

• Questa antenna è costituita da due sbarrette conduttrici alimentate da un generatore di fem alternata

• Per t=0 gli estremi delle sbarrette sono carichi e tra di esse c’è un campo elettrico E parallelo ad esse

• Attorno alle sbarrette c’è anche un campo magnetico B generato dalla corrente che percorre le sbarre

• Questi campi si propagano allontanandosi dall’antenna alla velocità della luce

• Per t=T/4 le sbarrette sono scariche ed E è nullo

• Per t=T/2 le sbarrette sono cariche, ma con segno opposto



E E

cos  t

Antenna trasmittente dipolare

• I campi elettrico e magnetico, a grande

distanza dall’antenna, oscillano in accordo di fase in direzioni perpendicolari fra loro e alla direzione di propagazione dell’onda

• L’onda è quindi trasversale

• L’intensità delle onde emesse è nulla lungo l’asse dell’antenna ed è massima nelle

direzioni perpendicolari all’asse

15





I  sin



Antenna ricevente dipolare

• Se al posto del generatore CA mettiamo un rivelatore (ad es. un oscilloscopio) l’antenna diventa un rivelatore di onde e.m.

• Per massimizzare il segnale, l’antenna dev’essere disposta parallelamente al

campo elettrico dell’onda incidente OS

Antenna ricevente a spira

• Questa antenna è costituita da una o più spire ed è sensibile al campo magnetico

• Per massimizzare il segnale, il piano dell’antenna dev’essere disposto perpendicolarmente al campo magnetico

17

os

Soluzioni dell’equazione delle onde

• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:

• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane

• Si può dimostrare che una qualunque funzione di

argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di

 

 

2

2 



 



 f x t

t t v

x x f

) ( x vt

g  h ( x  vt )

Significato della soluzione g

• Consideriamo il valore di g nel punto x=x

al tempo t=t

• Consideriamo poi il valore di g nel punto x=x

al tempo t=t

x1 g

x g(x1,t1)

t=t1

19

Significato della soluzione g

• Scriviamo l’argomento in x=x

al tempo t=t

• È lo stesso valore che in x=x

-  x al tempo t=t

• Questo vale per tutti i punti sull’asse x









2

1

vt x v ( t t ) vt x x vt

x         

g g(x1,t2)

t=t2

Significato della soluzione g

• Significa che la funzione al tempo t₂ si trova traslando la funzione all’istante precedente t₁ della quantità x

• La funzione g rappresenta quindi un’onda

progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con velocità v

x1 x₁-x

g

x g(x1,t2)

t=t2

21

Significato della soluzione h

• Similmente possiamo affermare che la funzione h rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta verso x negativi, con velocità -v

Onde piane e.m. ^- componenti longitudinali

• Studiamo la componente x del rot E

• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e`

dipendenza dalla sola coordinata spaziale x

• Otteniamo l’equazione

• Similmente, studiando la componente x del rot B otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel tempo

 



 B x t t ^x

 

t B z

E y

E _x E^{z y x}



 

 

 



 



 

 



 E x t t ^x

23

Onde piane e.m. ^- componenti longitudinali

• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell

• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata spaziale x, otteniamo

• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x

• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero

• Cio` significa che le componenti dei campi nella

direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero

 



 E x t

x ^x

 



 B x t x ^x

 0



 



 



 



 z

E y

E x

E E^{x y z}

  0



 



 



 



 z

B y

B x

B B^{x y z}



 

B_x ^E_x

 

Soluzioni sinusoidali

• Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g assume la forma seno o coseno

• L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui

– qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e

– qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali

• Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

 

 ^{k x vt} 

A vt

x

g (  )  sin 

25

 

 ^{k x vt} 

A vt

x

g (  )  cos 

Soluzioni sinusoidali

• Cerchiamo il significato di k: dimensioni

• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x₁ e x₂ tali per cui la funzione assume lo stesso valore per

periodicita`

) 1

dim(k  L^

x1 x2

Lunghezza d’onda

• Le fasi possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra x₁ e x₂

• La minima distanza tra x₁ e x₂ che soddisfa la richiesta si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda

• La costante k prende il

• nome di numero d’onda

• ( (o anche vettore d’onda)

 n vt

x k vt

x

k (

 )  (

 )  2

 n x

x

k (



)  2

 

x k

x



   ² 

x1 x2







 2 k

27

Periodo dell’onda

• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t₁ e t₂ tali che la funzione assuma lo stesso valore per periodicita`

• Le fasi possono differire per un multiplo di 2

• Questo definisce la relazione tra t1 e t2

• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa

richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda

 n vt

x k vt

x

k ( 

)  ( 

)  2

 n t

t

kv (



)  2

T kv t

t 2 

)

(



 



Soluzioni sinusoidali

• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda

• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque dei modi seguenti

 



 T kv 2

 

 

 

 

 



 



 

  





T t A x

t kx

A

vt x

k A

 

 2

sin sin sin

29

Soluzioni sinusoidali

• Tali soluzioni rappresentano onde dette monocromatiche

• Il motivo e` che nello spettro della luce visibile ad ogni frequenza corrisponde un colore

• e che le onde sinusoidali contengono una sola frequenza (o pulsazione)

 ^{kx t} 

A x ft

A 

   

 

 

 

 

   sin

2

sin

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali

• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale

• Troviamo la soluzione per B_z integrando rispetto al tempo l’equazione

• Ottenendo

• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase

• Esiste una relazione analoga tra Ez e By

 ^{kx t} 

E t

x

E

( , ) 

sin  

 

 





t x x

t B^{z y}   ^y 



 

 

 , , ₀ cos

 









B_{z y y} 

   









, _{0 0}

   

 

t c kx

c E t

x

B_{z y} 1 _y ,

1 sin

,  ₀  

31

 

 

t c x

B_y 1 _z ,

,  

Onde e.m. sinusoidali - componenti trasversali

• Da queste relazioni segue che i moduli dei campi sono proporzionali

• E che i campi sono ortogonali

c E c

E c

E B

B

B 













1 0

1   



 

 









E

E c c E

E B

E B

E B

E  

Polarizzazione

• Le onde e.m. piane sono puramente trasversali

• I gradi di libertà trasversali sono due

• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà corrispondono alle componenti E

, E

• Potremmo fare le stesse considerazioni con il campo B

• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché ad ogni componente di E è associata una

componente di B

33

Polarizzazione lineare

• Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E oscilla di moto armonico lungo un segmento di direzione fissa rispetto agli assi

• La proiezione di E lungo y varia da -E_y0 a E_y0 e lungo z da -E_z0 a E_z0

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata

 ^{kx t}  ^{j E}  ^{kx t}  ^k

E t

x

E  ( , ) 

sin   ˆ 

sin   ˆ

 ^{kx t}  ^{j B}  ^{kx t}  ^k

B t

x

B  ( , )  

sin   ˆ 

sin   ˆ

E_y,B_y

E_z,B_z E

B

Onda entrante

Polarizzazione circolare

• Supponiamo che il campo E sia

• Quindi il campo B risulta essere

• Nel piano trasversale il vettore E descrive un cerchio di raggio E

• Un’onda siffatta le cui

componenti oscillano sfasate di

 /2, è detta polarizzata circolarmente

 ^{kx t}  ^{j E}  ^{kx t}  ^k

E t

x

E  ( , ) 

sin   ˆ 

cos   ˆ

 ^{kx t}  ^{j B}  ^{kx t}  ^k

B t

x

B  ( , )  

cos   ˆ 

sin   ˆ

E_y,B_y

E_z,B_z E

B

35 x fisso

t crescente onda entrante

Polarizzazione ellittica

• Il caso piu` generale e` quello della polarizzazione ellittica

• con due ampiezze e due fasi differenti

 ^{kx t}  ^{j E}  ^{kx t}  ^k

E t

x

E  ( , ) 

sin     ˆ 

sin     ˆ

E_y,B_y

E_z,B_z E

B

 ^{kx t}  ^{j B}  ^{kx t}  ^k

B t

x

B  ( , )  

sin     ˆ 

sin     ˆ

Trasporto di energia

• L’energia e.m. di un’onda piana monocromatica che

attraversa l’area A nel tempo

 t è uguale all’energia

contenuta nel volume di base A e altezza c  t

• Questa si trova moltiplicando la densità di energia per il

volume del cilindro

• C’è un contributo elettrico ed uno magnetico

A ct

37

Trasporto di energia

• Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche per i campi rapidamente variabili di un’onda

• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita come l’energia incidente diviso l’area e il tempo

t Ac E

V u

U_E  _E  ₀ ²   2

1 

A ct

t Ac B

V u

U_M  _M  ²   2 0

1



c B c

E c

u c

U u

S 1

1

lim      

 

• Parte elettrica

• Parte magnetica

Vettore di Poynting

• Tenendo conto che

• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme

• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per modulo e direzione e verso dell’onda

• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il flusso istantaneo di energia e.m.

0 0

2 1



 

c c

B  E

EB c E

c B c

E S

0 2

0 2

0 2

0

1 1

1











B E

S   





0

1



39

Vettore di Poynting

• Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti cartesiane del vettore S per un’onda piana

monocromatica

• Si vede facilmente che la sola componente non nulla e` quella longitudinale (x)

• Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x positivo, cioe` il verso di propagazione dell’onda

   

0 2

2 0

0 0

1 1

1 1

1

1 E

E c c E

c E E

c E E B

E B

E

S_{x y z z y y y z z y z}







 ^_ ^{  }

 



 



 











Intensità media

• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la media nel tempo di S

• Calcolo di I per un’onda sinusoidale







T

T EBdt S

I

0 0

1 1



2 0

2 0

2 0

2 0 0

2 0 0

2 0

1 2

1 1

1 1

eff eff

eff T

c B cE

c E E

E c dt c

c E I T

 



















 

41